Ecuația Steinhart-Hart

Ecuația Steinhart-Hart este un model matematic al rezistenței electrice a unui semiconductor pe măsură ce temperatura variază.
A fost dezvoltat de John S. Steinhart și Stanley R. Hart pentru utilizare cu termistori de tip NTC, unde oferă o precizie bună.

Ecuația este:

{1 \over T}=A+B\ln(R)+C[\ln(R)]^{3}

{\ displaystyle {1 \ over T} = A + B \ ln (R) + C [\ ln (R)] ^ {3}}

{1 \ peste T} = A + B \ ln (R) + C [\ ln (R)] ^ {3}

unde este:

T este temperatura (în kelvin )
R este rezistența (în ohmi )
A, B și C sunt coeficienții Steinhart-Hart care variază în funcție de tipul și modelul termistorului și de intervalul de temperatură ales.

În forma sa cea mai generală, ecuația conține și termenul $[\ln(R)]^{2}$ ${\ displaystyle [\ ln (R)] ^ {2}}$ $[\ ln (R)] ^ {2}$ , dar acest coeficient este adesea trecut cu vederea deoarece este mult mai mic decât ceilalți.

Utilizarea ecuației

Ecuația este adesea utilizată pentru a obține o temperatură precisă a unui termistor, deoarece oferă o aproximare mai mare a temperaturii reale decât ecuațiile mai simple și este utilizabilă pentru gama completă de temperatură de lucru a senzorului.

Coeficienții Steinhart - Hart sunt de obicei furnizați de producătorii de termistori.

Dacă coeficienții Steinhart-Hart nu sunt disponibili, dar se pot face trei măsurători exacte ale rezistenței și temperaturii, coeficienții sunt derivați dintr-un sistem de trei ecuații liniare .

Cunoscute rezistențele din trei puncte R ₁ , R ₂ , R ₃ și cele trei temperaturi corespunzătoare (t ₁ , t ₂ , t ₃ exprimate în Celsius (° C) sistemul devine:

{1 \over t_{1}+273,15}=A+B\ln(R_{1})+C(\ln(R_{1}))^{3}

{\ displaystyle {1 \ over t_ {1} +273.15} = A + B \ ln (R_ {1}) + C (\ ln (R_ {1})) ^ {3}}

{1 \ over t_ {1} +273.15} = A + B \ ln (R_ {1}) + C (\ ln (R_ {1})) ^ {3}

{1 \over t_{2}+273,15}=A+B\ln(R_{2})+C(\ln(R_{2}))^{3}

{\ displaystyle {1 \ over t_ {2} +273.15} = A + B \ ln (R_ {2}) + C (\ ln (R_ {2})) ^ {3}}

{1 \ over t_ {2} +273.15} = A + B \ ln (R_ {2}) + C (\ ln (R_ {2})) ^ {3}

{1 \over t_{3}+273,15}=A+B\ln(R_{3})+C(\ln(R_{3}))^{3}

{\ displaystyle {1 \ over t_ {3} +273.15} = A + B \ ln (R_ {3}) + C (\ ln (R_ {3})) ^ {3}}

{1 \ over t_ {3} +273.15} = A + B \ ln (R_ {3}) + C (\ ln (R_ {3})) ^ {3}

în cele trei necunoscute A , B și C.

Plasând pe primul loc:

L_{1}=\ln(R_{1})

{\ displaystyle L_ {1} = \ ln (R_ {1})}

{\ displaystyle L_ {1} = \ ln (R_ {1})}

,

L_{2}=\ln(R_{2})

{\ displaystyle L_ {2} = \ ln (R_ {2})}

{\ displaystyle L_ {2} = \ ln (R_ {2})}

Și

L_{3}=\ln(R_{3})

{\ displaystyle L_ {3} = \ ln (R_ {3})}

{\ displaystyle L_ {3} = \ ln (R_ {3})}

,

Y_{1}={1 \over t_{1}+273,15}

{\ displaystyle Y_ {1} = {1 \ over t_ {1} +273.15}}

{\ displaystyle Y_ {1} = {1 \ over t_ {1} +273.15}}

Y_{2}={1 \over t_{2}+273,15}

{\ displaystyle Y_ {2} = {1 \ over t_ {2} +273.15}}

{\ displaystyle Y_ {2} = {1 \ over t_ {2} +273.15}}

Y_{3}={1 \over t_{3}+273,15}

{\ displaystyle Y_ {3} = {1 \ over t_ {3} +273.15}}

{\ displaystyle Y_ {3} = {1 \ over t_ {3} +273.15}}

,

atunci:

\gamma _{2}={Y_{2}-Y_{1} \over L_{2}-L_{1}}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = {Y_ {2} -Y_ {1} \ peste L_ {2} -L_ {1}}}

\ gamma _ {2} = {Y_ {2} -Y_ {1} \ peste L_ {2} -L_ {1}}

Și

\gamma _{3}={Y_{3}-Y_{1} \over L_{3}-L_{1}}

{\ displaystyle \ gamma _ {3} = {Y_ {3} -Y_ {1} \ peste L_ {3} -L_ {1}}}

\ gamma _ {3} = {Y_ {3} -Y_ {1} \ peste L_ {3} -L_ {1}}

soluțiile urmează:

\Rightarrow C=\left({\gamma _{3}-\gamma _{2} \over L_{3}-L_{2}}\right)\times \left({1 \over L_{1}+L_{2}+L_{3}}\right)

{\ displaystyle \ Rightarrow C = \ left ({\ gamma _ {3} - \ gamma _ {2} \ over L_ {3} -L_ {2}} \ right) \ times \ left ({1 \ over L_ { 1} + L_ {2} + L_ {3}} \ dreapta)}

\ Rightarrow C = \ left ({\ gamma _ {3} - \ gamma _ {2} \ over L_ {3} -L_ {2}} \ right) \ times \ left ({1 \ over L_ {1} + L_ {2} + L_ {3}} \ dreapta)

\Rightarrow B=\gamma _{2}-C\cdot (L_{1}^{2}+L_{1}\cdot L_{2}+L_{2}^{2})

{\ displaystyle \ Rightarrow B = \ gamma _ {2} -C \ cdot (L_ {1} ^ {2} + L_ {1} \ cdot L_ {2} + L_ {2} ^ {2})}

\ Rightarrow B = \ gamma _ {2} -C \ cdot (L_ {1} ^ {2} + L_ {1} \ cdot L_ {2} + L_ {2} ^ {2})

\Rightarrow A=Y_{1}-(B+L_{1}^{2}\cdot C)\cdot L_{1}

{\ displaystyle \ Rightarrow A = Y_ {1} - (B + L_ {1} ^ {2} \ cdot C) \ cdot L_ {1}}

\ Rightarrow A = Y_ {1} - (B + L_ {1} ^ {2} \ cdot C) \ cdot L_ {1}

Ecuația inversă

Pentru a găsi rezistența unui semiconductor, cunoscută temperatura și cei trei coeficienți ( A , B și C ), trebuie să folosim forma inversă a ecuației Steinhart-Hart.

Pentru a rezolva ecuația față de R se observă că este o ecuație de gradul III cu ln (R) necunoscut.

$R=exp\left({\sqrt[{3}]{x-{y \over 2}}}-{\sqrt[{3}]{x+{y \over 2}}}\right)$ ${\ displaystyle R = exp \ left ({\ sqrt [{3}] {x- {y \ over 2}}} - {\ sqrt [{3}] {x + {y \ over 2}}} \ right )}}$ $R = exp \ left ({\ sqrt [{3}] {x- {y \ over 2}}} - {\ sqrt [{3}] {x + {y \ over 2}}} \ right)$

unde este:

y={A-{1 \over T} \over C}

{\ displaystyle y = {A- {1 \ peste T} \ peste C}}

y = {A- {1 \ peste T} \ peste C}

x={\sqrt {\left({B \over 3C}\right)^{3}+{y^{2} \over 4}}}

{\ displaystyle x = {\ sqrt {\ left ({B \ over 3C} \ right) ^ {3} + {y ^ {2} \ over 4}}}}

x = {\ sqrt {\ left ({B \ over 3C} \ right) ^ {3} + {y ^ {2} \ over 4}}}

John S. Steinhart și Stanley R. Hart

Ecuația poartă numele lui John S. Steinhart și Stanley R. Hart, care au publicat-o prima dată în 1968 ^[1] . Profesorul Steinhart (1929-2003), membru al Uniunii Geofizice Americane și al Asociației Americane pentru Avansarea Științei , a fost membru al facultății Universității din Wisconsin-Madison în perioada 1969-1991. ^[2] .

Dr. Hart, om de știință senior la Woods Hole Oceanographic Institution din 1989 și membru al Societății Geologice din America , al Uniunii Geofizice Americane , al Societății Geochimice și al Asociației Europene pentru Geochimie , ^[3] lucra cu profesorul Steinhart la Carnegie Institution for Science (Washington) când au dezvoltat ecuația.

Notă

^ (EN) John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Curbe de calibrare pentru termistori, în Deep Sea Research, vol. 15, 1968, pp. pp. 497-503.
^(EN) University of Wisconsin (Madison) Facultatea Document 1775 (5 aprilie 2004) Depus 10 iunie 2010 în Internet Archive .
^(EN) Pagina doctorului Hart despre Woods Hole Oceanographic Institution Depusă la 5 iunie 2009 în Internet Archive .

Elemente conexe

Termistor

linkuri externe

( RO ) Calculator on-line pentru ecuația Steinhart-Hart (de asemenea, cu patru coeficienți) pe Daycounter, Inc. , pe daycounter.com .

[1] (EN) John S. Steinhart, Stanley R. Hart, Curbe de calibrare pentru termistori, în Deep Sea Research, vol. 15, 1968, pp. pp. 497-503.

[2] (EN) University of Wisconsin (Madison) Facultatea Document 1775 (5 aprilie 2004) Depus 10 iunie 2010 în Internet Archive .

[3] (EN) Pagina doctorului Hart despre Woods Hole Oceanographic Institution Depusă la 5 iunie 2009 în Internet Archive .

[1]

[2]

[3]