Forța centrifugă

Exemplu al efectului forței centrifuge asupra unui fluid

Forța centrifugă este o forță de inerție care apare ca acționând asupra unui corp care se mișcă cu mișcare circulară, atunci când această mișcare este analizată într -un sistem de referință non-inerțial integrat cu corpul: prin urmare, forța centrifugă nu se aplică efectiv corpului, deoarece forțele efective sunt doar centripete ; Christiaan Huygens , referindu-se la analiza mișcării de René Descartes, a fost primul care a furnizat o analiză geometrică a naturii mișcării circulare ca urmare a echilibrului dintre forțele centripete și centrifuge.

Considerații

De regulă, dinamica analizează mișcarea corpurilor în sistemele de referință inerțiale , adică sistemele de referință care se mișcă cu mișcare rectilinie uniformă unul față de celălalt. Deoarece un sistem de referință integrat cu un corp rotativ nu este unul dintre acestea, vor apărea interacțiuni aparente în acesta, legate de inerția corpurilor, adică de înclinația lor de a nu se îndoaie, menținând o mișcare rectilinie uniformă.

De exemplu, în cazul unui observator $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care este pe un carusel, reprezentat de o platformă rotativă, care se rotește cu viteză unghiulară constantă, un observator extern vede $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ faceți o mișcare circulară uniformă, apoi observați aplicată pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ accelerație directă spre centrul de rotație al caruselului. La rândul său, $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se vede nemișcat pe carusel și dacă vrea să mențină valabilitatea celei de-a doua legi a lui Newton ( $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ) trebuie să creadă că nici o forță nu acționează asupra sa. Cu toate acestea, el știe, de asemenea, că o forță îndreptată spre centrul caruselului, forța constrângerii, se aplică asupra sa: pentru a valida a doua lege a lui Newton, el trebuie să creadă că acționează o altă forță care echilibrează exact forța constrângerii , forța centrifugă. Singura forță fizică reală care acționează asupra $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este, în toate cazurile, reacția de constrângere, care determină traiectoria circulară în sistemul de referință al Pământului (aproximativ inerțial).

Formule

Având în vedere că o mișcare curbiliniară determină o forță centripetă , de exemplu forța gravitațională , forța centrifugă poate fi determinată prin rotirea unui sistem de referință inerțial în jurul unei axe fixe. Procedând astfel, suntem plasați într-un sistem rotativ și, prin urmare, neinerțial, cu viteză unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}={\text{costante}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ text {constant}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ text {constant}}}$ direct de-a lungul axei de rotație. Prin urmare, în ceea ce privește forța centripetă, forța centrifugă are același modul, dar direcția opusă, deoarece este direcționată spre exteriorul traiectoriei:

\mathbf {F} _{c}=-m\mathbf {a} _{c}=-m[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )]=-m(\omega ^{2}r){\hat {\mathbf {r} }}=-m{\frac {v_{t}^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {c} = - m \ mathbf {a} _ {c} = - m [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r})] = - m (\ omega ^ {2} r) {\ hat {\ mathbf {r}}} = - m {\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r}} { \ hat {\ mathbf {r}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {c} = - m \ mathbf {a} _ {c} = - m [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r})] = - m (\ omega ^ {2} r) {\ hat {\ mathbf {r}}} = - m {\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r}} { \ hat {\ mathbf {r}}}}

unde este $\mathbf {v} _{t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {t}}$ viteza tangențială .

Demonstrație

Având o circumferință și luând un unghi în interiorul ei $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , între două raze în lungime $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , și arcul $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , subtensionat de acest unghi. Viteza unghiulară, orientată ortogonal față de planul circumferinței, este dată de derivată în raport cu timpul unghiului bătut de vectorul radial rotativ:

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {d\varphi }{dt}}{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {d \ varphi} {dt}} {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {d \ varphi} {dt}} {\ hat {\ mathbf {n}}}}

atunci, fiind un generic $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ egal cu raportul arcului $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ pe grindă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , avem:

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {d\varphi }{dt}}{\hat {\mathbf {n} }}={\frac {1}{r}}{\frac {ds}{dt}}{\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\lVert \mathbf {v} _{t}\rVert }{r}}{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {d \ varphi} {dt}} {\ hat {\ mathbf {n}}} = {\ frac {1} {r}} {\ frac { ds} {dt}} {\ hat {\ mathbf {n}}} = {\ frac {\ lVert \ mathbf {v} _ {t} \ rVert} {r}} {\ hat {\ mathbf {n}} }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {d \ varphi} {dt}} {\ hat {\ mathbf {n}}} = {\ frac {1} {r}} {\ frac { ds} {dt}} {\ hat {\ mathbf {n}}} = {\ frac {\ lVert \ mathbf {v} _ {t} \ rVert} {r}} {\ hat {\ mathbf {n}} }}

Se indică cu vârful $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ termenii care se referă la sistemul inerțial și cu vârful $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ termenii care se referă la sistemul non-inerțial și cu indicele $x_{i}^{(I)}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {(I)}}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {(I)}}$ proiecția pe axa i inerțială; avem că ecuațiile pentru a exprima o rotație sunt:

{\begin{cases}x^{(I)}=x^{(R)}\cos(\omega t)-y^{(R)}\sin(\omega t)\\y^{(I)}=x^{(R)}\sin(\omega t)+y^{(R)}\cos(\omega t)\\z^{(I)}=z^{(R)}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {(I)} = x ^ {(R)} \ cos (\ omega t) -y ^ {(R)} \ sin (\ omega t) \\ y ^ {(I)} = x ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + y ^ {(R)} \ cos (\ omega t) \\ z ^ {(I)} = z ^ {(R )} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {(I)} = x ^ {(R)} \ cos (\ omega t) -y ^ {(R)} \ sin (\ omega t) \\ y ^ {(I)} = x ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + y ^ {(R)} \ cos (\ omega t) \\ z ^ {(I)} = z ^ {(R )} \ end {cases}}}

Obținând mai întâi viteza și apoi accelerația în sistemul inerțial, în funcție de aceleași cantități din sistemul rotativ , se obține expresia forței centripete.

Prin urmare, viteza este:

\left\{{\begin{aligned}&(\mathbf {v^{(I)}} )_{x^{(I)}}={\frac {dx^{(I)}}{dt}}=\underbrace {{\dot {x}}^{(R)}\cos(\omega t)-{\dot {y}}^{(R)}\sin(\omega t)} _{\displaystyle {(\mathbf {v^{(R)}} )_{x^{(I)}}}}-\omega (x^{(R)}\sin(\omega t)+y^{(R)}\cos(\omega t))\\&(\mathbf {v^{(I)}} )_{y^{(I)}}={\frac {dy^{(I)}}{dt}}=\underbrace {{\dot {x}}^{(R)}\sin(\omega t)+{\dot {y}}^{(R)}\cos(\omega t)} _{\displaystyle {(\mathbf {v^{(R)}} )_{y^{(I)}}}}+\omega (x^{(R)}\cos(\omega t)-y^{(R)}\sin(\omega t))\\&(\mathbf {v^{(I)}} )_{z^{(I)}}={\frac {dz^{(I)}}{dt}}={\dot {z}}^{(R)}\\\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & (\ mathbf {v ^ {(I)}}) _ {x ^ {(I)}} = {\ frac {dx ^ {(I)}} {dt}} = \ underbrace {{\ dot {x}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t) - {\ dot {y}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}}} - \ omega (x ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + y ^ {(R)} \ cos (\ omega t)) \\ & (\ mathbf {v ^ {(I)}}) _ {y ^ {(I)}} = {\ frac {dy ^ {(I )}} {dt}} = \ underbrace {{\ dot {x}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + {\ dot {y}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} + \ omega (x ^ {(R)} \ cos (\ omega t ) -y ^ {(R)} \ sin (\ omega t)) \\ & (\ mathbf {v ^ {(I)}}) _ {z ^ {(I)}} = {\ frac {dz ^ {(I)}} {dt}} = {\ dot {z}} ^ {(R)} \\\ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & (\ mathbf {v ^ {(I)}}) _ {x ^ {(I)}} = {\ frac {dx ^ {(I)}} {dt}} = \ underbrace {{\ dot {x}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t) - {\ dot {y}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}}} - \ omega (x ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + y ^ {(R)} \ cos (\ omega t)) \\ & (\ mathbf {v ^ {(I)}}) _ {y ^ {(I)}} = {\ frac {dy ^ {(I )}} {dt}} = \ underbrace {{\ dot {x}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + {\ dot {y}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} + \ omega (x ^ {(R)} \ cos (\ omega t ) -y ^ {(R)} \ sin (\ omega t)) \\ & (\ mathbf {v ^ {(I)}}) _ {z ^ {(I)}} = {\ frac {dz ^ {(I)}} {dt}} = {\ dot {z}} ^ {(R)} \\\ end {align}} \ right.}

În timp ce accelerațiile sunt:

\left\{{\begin{aligned}&(\mathbf {a^{(I)}} )_{x^{(I)}}={\frac {d^{2}x^{(I)}}{dt^{2}}}=\underbrace {{\ddot {x}}^{(R)}\cos(\omega t)-{\ddot {y}}^{(R)}\sin(\omega t)} _{\displaystyle {(\mathbf {a^{(R)}} )_{x^{(I)}}}}-2\omega \underbrace {({\dot {x}}^{(R)}\sin(\omega t)+{\dot {y}}^{(R)}\cos(\omega t))} _{\displaystyle {(\mathbf {v^{(R)}} )_{y^{(I)}}}}-\omega ^{2}\underbrace {(x^{(R)}\cos(\omega t)-y^{(R)}\sin(\omega t))} _{\displaystyle {(\mathbf {r^{(R)}} )_{x^{(I)}}}}\\&(\mathbf {a^{(I)}} )_{y^{(I)}}={\frac {d^{2}y^{(I)}}{dt^{2}}}=\underbrace {{\ddot {x}}^{(R)}\sin(\omega t)+{\ddot {y}}^{(R)}\cos(\omega t)} _{\displaystyle {(\mathbf {a^{(R)}} )_{y^{(I)}}}}+2\omega \underbrace {({\dot {x}}^{(R)}\cos(\omega t)-{\dot {y}}^{(R)}\sin(\omega t))} _{\displaystyle {(\mathbf {v^{(R)}} )_{x^{(I)}}}}-\omega ^{2}\underbrace {(x^{(R)}\sin(\omega t)-y^{(R)}\cos(\omega t))} _{\displaystyle {(\mathbf {r^{(R)}} )_{y^{(I)}}}}\\&(\mathbf {a^{(I)}} )_{z^{(I)}}={\frac {d^{2}z^{(I)}}{dt^{2}}}={\ddot {z}}^{(R)}\\\end{aligned}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {x ^ {(I)}} = {\ frac {d ^ {2} x ^ { (I)}} {dt ^ {2}}} = \ underbrace {{\ ddot {x}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t) - {\ ddot {y}} ^ {(R) } \ sin (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {a ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}}} - 2 \ omega \ underbrace {({\ dot {x}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + {\ dot {y}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} - \ omega ^ {2} \ underbrace {(x ^ {(R)} \ cos (\ omega t) -y ^ {( R)} \ sin (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}} \\ & (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {y ^ {(I)}} = {\ frac {d ^ {2} y ^ {(I)}} {dt ^ {2}}} = \ underbrace {{\ ddot {x}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + {\ ddot {y}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {a ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} + 2 \ omega \ underbrace {({\ dot {x}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t) - { \ dot {y}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}} } - \ omega ^ {2} \ underbrace {(x ^ {(R)} \ sin (\ omega t) -y ^ {(R)} \ cos (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} \\ & (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {z ^ {(I)}} = {\ frac {d ^ {2} z ^ {(I)}} {dt ^ {2}}} = { \ ddot {z}} ^ {(R)} \\\ end {align}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {x ^ {(I)}} = {\ frac {d ^ {2} x ^ { (I)}} {dt ^ {2}}} = \ underbrace {{\ ddot {x}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t) - {\ ddot {y}} ^ {(R) } \ sin (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {a ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}}} - 2 \ omega \ underbrace {({\ dot {x}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + {\ dot {y}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} - \ omega ^ {2} \ underbrace {(x ^ {(R)} \ cos (\ omega t) -y ^ {( R)} \ sin (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}} \\ & (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {y ^ {(I)}} = {\ frac {d ^ {2} y ^ {(I)}} {dt ^ {2}}} = \ underbrace {{\ ddot {x}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t) + {\ ddot {y}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t)} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {a ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} + 2 \ omega \ underbrace {({\ dot {x}} ^ {(R)} \ cos (\ omega t) - { \ dot {y}} ^ {(R)} \ sin (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}}} } - \ omega ^ {2} \ underbrace {(x ^ {(R)} \ sin (\ omega t) -y ^ {(R)} \ cos (\ omega t))} _ {\ displaystyle {(\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}}}} \\ & (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {z ^ {(I)}} = {\ frac {d ^ {2} z ^ {(I)}} {dt ^ {2}}} = { \ ddot {z}} ^ {(R)} \\\ end {align}} \ right.}

Amintindu-mi asta

{\begin{cases}{\boldsymbol {\omega }}_{x}=0\\{\boldsymbol {\omega }}_{y}=0\\{\boldsymbol {\omega }}_{z}=\omega \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {x} = 0 \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {y} = 0 \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {z} = \ omega \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ boldsymbol {\ omega}} _ {x} = 0 \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {y} = 0 \\ {\ boldsymbol {\ omega}} _ {z} = \ omega \ end {cases}}}

pentru componentă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , de exemplu, pot fi exprimate următoarele cantități:

{\begin{aligned}&-2\omega (\mathbf {v^{(R)}} )_{y^{(I)}}=2[\omega _{y^{(I)}}(\mathbf {v^{(R)}} )_{z^{(I)}}-\omega _{z^{(I)}}(\mathbf {v^{(R)}} )_{y^{(I)}}]=2({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v^{(R)}} )_{x^{(I)}}\\&-\omega ^{2}(\mathbf {r^{(R)}} )_{x^{(I)}}=-\omega [\omega _{z^{(I)}}(\mathbf {r^{(R)}} )_{x^{(I)}}-\omega _{x^{(I)}}(\mathbf {r^{(R)}} )_{z^{(I)}}]=-\omega ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )_{y^{(I)}}=-\omega _{z^{(I)}}({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )_{y^{(I)}}+\omega _{y^{(I)}}({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )_{z^{(I)}}=[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )]_{x^{(I)}}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & - 2 \ omega (\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}} = 2 [\ omega _ {y ^ {(I) }} (\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {z ^ {(I)}} - \ omega _ {z ^ {(I)}} (\ mathbf {v ^ {(R)}} ) _ {y ^ {(I)}}] = 2 ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} \\ & - \ omega ^ {2} (\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} = - \ omega [\ omega _ {z ^ {(I)}} (\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} - \ omega _ {x ^ {(I)}} (\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {z ^ {(I)}}] = - \ omega ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}} = - \ omega _ { z ^ {(I)}} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}} + \ omega _ {y ^ {( I)}} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {z ^ {(I)}} = [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ( {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})] _ {x ^ {(I)}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & - 2 \ omega (\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}} = 2 [\ omega _ {y ^ {(I) }} (\ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {z ^ {(I)}} - \ omega _ {z ^ {(I)}} (\ mathbf {v ^ {(R)}} ) _ {y ^ {(I)}}] = 2 ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} \\ & - \ omega ^ {2} (\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} = - \ omega [\ omega _ {z ^ {(I)}} (\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} - \ omega _ {x ^ {(I)}} (\ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {z ^ {(I)}}] = - \ omega ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}} = - \ omega _ { z ^ {(I)}} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {y ^ {(I)}} + \ omega _ {y ^ {( I)}} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}}) _ {z ^ {(I)}} = [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ( {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})] _ {x ^ {(I)}} \\\ end {align}}}

Componenta $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ accelerarea în sistemul inerțial este deci:

(\mathbf {a^{(I)}} )_{x^{(I)}}=(\mathbf {a^{(R)}} )_{x^{(I)}}+2({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v^{(R)}} )_{x^{(I)}}+[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )]_{x^{(I)}}

{\ displaystyle (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {x ^ {(I)}} = (\ mathbf {a ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} +2 ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} + [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})] _ {x ^ {(I)}}}

{\ displaystyle (\ mathbf {a ^ {(I)}}) _ {x ^ {(I)}} = (\ mathbf {a ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} +2 ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}}) _ {x ^ {(I)}} + [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})] _ {x ^ {(I)}}}

Luând în considerare toate cele trei componente, obținem:

\mathbf {a^{(I)}} =\mathbf {a^{(R)}} +2({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v^{(R)}} )+[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )]

{\ displaystyle \ mathbf {a ^ {(I)}} = \ mathbf {a ^ {(R)}} +2 ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}} ) + [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})]}

{\ displaystyle \ mathbf {a ^ {(I)}} = \ mathbf {a ^ {(R)}} +2 ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}} ) + [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})]}

Pentru a păstra validitatea celei de-a doua legi a dinamicii $\mathbf {F} ^{(e)}=m\mathbf {a^{(I)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = m \ mathbf {a ^ {(I)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = m \ mathbf {a ^ {(I)}}}$ în sistemul rotativ, ultimii doi termeni ai ecuației anterioare sunt mutați și ulterior înmulțiți cu masa, obținându-se astfel

\mathbf {F^{(R)}} =m\mathbf {a^{(R)}} =\mathbf {F} ^{(e)}+\mathbf {F} ^{(a)}=m\mathbf {a^{(I)}} -2m({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v^{(R)}} )-m[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )]

{\ displaystyle \ mathbf {F ^ {(R)}} = m \ mathbf {a ^ {(R)}} = \ mathbf {F} ^ {(e)} + \ mathbf {F} ^ {(a) } = m \ mathbf {a ^ {(I)}} -2m ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}}) -m [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})]}

{\ displaystyle \ mathbf {F ^ {(R)}} = m \ mathbf {a ^ {(R)}} = \ mathbf {F} ^ {(e)} + \ mathbf {F} ^ {(a) } = m \ mathbf {a ^ {(I)}} -2m ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}}) -m [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})]}

unde este:

$\mathbf {F} ^{(a)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(a)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(a)}}$ este suma forțelor aparente, adică acelor forțe care nu există în sistemul inerțial ci doar în cel de rotație;
$-2m({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v^{(R)}} )$ ${\ displaystyle -2m ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}})}$ ${\ displaystyle -2m ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v ^ {(R)}})}$ este forța Coriolis , prezentă numai atunci când corpul se mișcă în cadrul de rotație de rotație;
$-m[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r^{(R)}} )]$ ${\ displaystyle -m [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})]}$ ${\ displaystyle -m [{\ boldsymbol {\ omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r ^ {(R)}})]}$ este forța centrifugă , prezentă și în sistemul rotativ.