Funcțiile Bickley-Naylor

Funcțiile Bickley-Naylor $\mathrm {Ki} _{n}(x)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {n} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {n} (x)}$ , unde este $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ Și $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ $x \ in \ mathbb {R}$ sunt definite ca:

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x\cosh u}}{\cosh ^{n}u}}\,du,

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {n} (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x \ cosh u}} {\ cosh ^ {n} u} } \, du,}

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {n} (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x \ cosh u}} {\ cosh ^ {n} u} } \, du,}

unde este $c sau s h$ ${\ displaystyle cosh}$ ${\ displaystyle cosh}$ este funcția cosinusului hiperbolic .

Proprietate

Avem:

{\frac {d}{dx}}\mathrm {Ki} _{n}(x)=-\mathrm {Ki} _{n-1}(x).

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ mathrm {Ki} _ {n} (x) = - \ mathrm {Ki} _ {n-1} (x).}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ mathrm {Ki} _ {n} (x) = - \ mathrm {Ki} _ {n-1} (x).}

Pentru $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ ,

\mathrm {Ki} _{0}(x)=\mathrm {K} _{0}(x)

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {0} (x) = \ mathrm {K} _ {0} (x)}

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {0} (x) = \ mathrm {K} _ {0} (x)}

unde este $\mathrm {K} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {K} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {K} _ {0}}$ este o funcție Bessel modificată.

Pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$

\mathrm {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{\infty }\mathrm {K} _{0}(t)\,dt.

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {1} (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} \ mathrm {K} _ {0} (t) \, dt.}

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {1} (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} \ mathrm {K} _ {0} (t) \, dt.}

Functia $\mathrm {Ki} _{1}(x)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {1} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {1} (x)}$ este, de asemenea, conectat cu integrala Sievert :

\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi e^{-x/\cos \phi }=\mathrm {Ki} _{1}(x).

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} d \ phi e ^ {- x / \ cos \ phi} = \ mathrm {Ki} _ {1} (x).}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} d \ phi e ^ {- x / \ cos \ phi} = \ mathrm {Ki} _ {1} (x).}

Mai general,

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi \cos ^{n-1}\phi e^{-x/\cos \phi }

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {n} (x) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} d \ phi \ cos ^ {n-1} \ phi e ^ { -x / \ cos \ phi}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ki} _ {n} (x) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} d \ phi \ cos ^ {n-1} \ phi e ^ { -x / \ cos \ phi}}

.

Aplicații

Funcțiile Bickley-Naylor se întâlnesc în probleme de răspândire a neutronilor și probleme de convecție .

Bibliografie

( EN ) WG Bickley, Unele soluții ale problemei convecției forțate , în Revista filosofică , vol. 20, nr. 132, Londraid = DOI : 10.1080 / 14786443508561482 , Taylor & Francis, 1935, pp. 322-343.
( EN ) WG Bickley, John Nayler, Un scurt tabel al funcțiilor Ki _n (x), de la n = 1 la n = 16 , în Revista Filozofică , vol. 20, nr. 132, Londra, Taylor & Francis, 1935, pp. 343-347, DOI : 10.1080 / 14786443508561483 .
(EN) JM Blair, CA Edwards; JH Johnson, Rational Chebyshev Approximations for the Bickley Functions Ki _n (X) , în Mathematics of Computation , vol. 32, nr. 143, American Mathematical Society, iulie 1978, pp. 876-886, JSTOR 2006492 .

linkuri externe

FUNCȚII BICKLEY-NAYLOR Ki _n (x) ȘI PROPRIETĂȚILE LOR ( PDF ), pe www2.ogu.edu.tr.
( EN ) Biblioteca digitală a funcțiilor matematice , integrale fracționare , la dlmf.nist.gov . Adus la 11 noiembrie 2012 .