Funcțiile Bourget-Giuliani

Funcțiile Bourget-Giuliani au fost introduse în 1861 de matematicianul francez Bourget , în raport cu problemele astronomiei . Ele sunt definite de integral:

$J_{n,k}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }(\cos \theta )^{k}\cos(n\theta -z\sin \theta )d\theta$ ${\ displaystyle J_ {n, k} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ cos \ theta) ^ {k} \ cos (n \ theta -z \ sin \ theta) d \ theta}$ ${\ displaystyle J_ {n, k} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} (\ cos \ theta) ^ {k} \ cos (n \ theta -z \ sin \ theta) d \ theta}$ unde este $n\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}, k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {Z}, k \ in \ mathbb {N}}$ .

Pentru $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ , funcțiile Bourget-Giuliani sunt reduse la funcțiile Bessel :

$J_{n,0}(z)=J_{n}(z)$ ${\ displaystyle J_ {n, 0} (z) = J_ {n} (z)}$ ${\ displaystyle J_ {n, 0} (z) = J_ {n} (z)}$ .

În 1888, matematicianul italian Giuliani a demonstrat că funcțiile Bourget-Guiliani sunt soluții ale ecuației diferențiale de ordinul patru:

$z^{2}{\frac {d^{4}}{dz^{4}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d^{3}}{dz^{3}}}J_{n,k}(z)+[2z^{2}+(k+2)^{2}-n^{2}]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}J_{n,k}(z)+(2k+5)z{\frac {d}{dz}}J_{n,k}(z)+(z^{2}+k+2-n^{2})J_{n,k}(z)=0$ ${\ displaystyle z ^ {2} {\ frac {d ^ {4}} {dz ^ {4}}} J_ {n, k} (z) + (2k + 5) z {\ frac {d ^ {3 }} {dz ^ {3}}} J_ {n, k} (z) + [2z ^ {2} + (k + 2) ^ {2} -n ^ {2}] {\ frac {d ^ { 2}} {dz ^ {2}}} J_ {n, k} (z) + (2k + 5) z {\ frac {d} {dz}} J_ {n, k} (z) + (z ^ {2} + k + 2-n ^ {2}) J_ {n, k} (z) = 0}$ ${\ displaystyle z ^ {2} {\ frac {d ^ {4}} {dz ^ {4}}} J_ {n, k} (z) + (2k + 5) z {\ frac {d ^ {3 }} {dz ^ {3}}} J_ {n, k} (z) + [2z ^ {2} + (k + 2) ^ {2} -n ^ {2}] {\ frac {d ^ { 2}} {dz ^ {2}}} J_ {n, k} (z) + (2k + 5) z {\ frac {d} {dz}} J_ {n, k} (z) + (z ^ {2} + k + 2-n ^ {2}) J_ {n, k} (z) = 0}$

Transformata Laplace a funcțiilor Bourget-Giuliani a fost obținută în 1935 de matematicianul francez Humbert . În 1938, matematicianul american J. Rosen a definit funcțiile Bourget-Guiliani pentru fiecare $n,k\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle n, k \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle n, k \ in \ mathbb {R}}$ pornind de la ecuația lui Giuliani .

Bibliografie

( FR ) J. Bourget Mémoire sur les nombres de Cauchy J. Math. Pures App. 6 p. 33 (1861)
G. Giuliani Câteva observații asupra funcțiilor sferice de ordin superior decât a doua și asupra altor funcții care pot fi deduse din acestea , Giornale di Mat. (Battaglini) 26 p. 155 (1888).
( EN ) GN Watson The Theory of Bessel functions cap. 10, p. 326 (Cambridge University Press, 1922)
( EN ) P. Humbert Câteva noi reprezentări operaționale Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 4 , p. 232 (1935)
( FR ) NW Mc Lachlan și P. Humbert Formulaire pour le calcul symbolique coll. Mémorial des sciences mathématiques, fasc. 100, p. 31 (Gauthier-Villars, Paris, 1950)
( EN ) J. Rosen Unele generalizări ale funcțiilor Bessel ^{[ link rupt ]} Tohoku Math. J. 45 , p. 229 (1939)

linkuri externe

( RO ) Bourget Functions on MathWorld

Portalul de astronomie

Portalul de matematică