Funcții Lommel

În matematică , cu funcții Lommel , în referință la Eugen von Lommel , sunt identificate diferite tipuri de funcții, inclusiv soluțiile ecuației Lommel , o generalizare a ecuației Bessel . Ei pot fi:

funcții dependente de o singură variabilă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , indicat cu $s_{\mu ,\nu }(z)$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z)}$ Și $S_{\mu ,\nu }(z)$ ${\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z)}$ , unde este $\mu ,\nu$ ${\ displaystyle \ mu, \ nu}$ ${\ displaystyle \ mu, \ nu}$ sunt parametri. Au fost studiate de Lommel în 1876.
funcții dependente de două variabile $w, z$ ${\ displaystyle w, z}$ ${\ displaystyle w, z}$ notat cu $U_{n}(w,z)$ ${\ displaystyle U_ {n} (w, z)}$ ${\ displaystyle U_ {n} (w, z)}$ Și $V_{n}(w,z)$ ${\ displaystyle V_ {n} (w, z)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (w, z)}$ , studiat de Lommel în 1886.

Funcțiile Lommel depind de o singură variabilă

Funcțiile lui Lommel depind de o singură variabilă $s_{\mu ,\nu }(z)$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z)}$ Și $S_{\mu ,\nu }(z)$ ${\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z)}$ satisfac ecuația diferențială liniară numită ecuația lui Lommel:

z^{2}{\frac {dy}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}

{\ displaystyle z ^ {2} {\ frac {dy} {dz ^ {2}}} + z {\ frac {dy} {dz}} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = z ^ {\ mu +1}}

{\ displaystyle z ^ {2} {\ frac {dy} {dz ^ {2}}} + z {\ frac {dy} {dz}} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = z ^ {\ mu +1}}

Functia $s_{\mu ,\nu }(z)$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z)}$ este soluția, care poate fi dezvoltată ca o serie de puteri :

s_{\mu ,\nu }(z)=z^{\mu -1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(z/2)^{2n+2}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\Gamma ((\mu -\nu +3)/2+n)\Gamma ((\mu +\nu +3)/2+n)}}

{\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z) = z ^ {\ mu -1} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} ( z / 2) ^ {2n + 2} \ Gamma ((\ mu - \ nu +1) / 2) \ Gamma ((\ mu + \ nu +1) / 2)} {\ Gamma ((\ mu - \ nu +3) / 2 + n) \ Gamma ((\ mu + \ nu +3) / 2 + n)}}}

{\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z) = z ^ {\ mu -1} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} ( z / 2) ^ {2n + 2} \ Gamma ((\ mu - \ nu +1) / 2) \ Gamma ((\ mu + \ nu +1) / 2)} {\ Gamma ((\ mu - \ nu +3) / 2 + n) \ Gamma ((\ mu + \ nu +3) / 2 + n)}}}

Soluțiile ecuației diferențiale liniare sunt $s_{\mu ,\nu }(z)+AJ_{\nu }(z)+BJ_{-\nu }(z)$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z) + AJ _ {\ nu} (z) + BJ _ {- \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle s _ {\ mu, \ nu} (z) + AJ _ {\ nu} (z) + BJ _ {- \ nu} (z)}$ unde este $J_{\pm \nu }$ ${\ displaystyle J _ {\ pm \ nu}}$ ${\ displaystyle J _ {\ pm \ nu}}$ sunt funcții ale lui Bessel .

Funcția Lommel $S_{\mu ,\nu }(z)$ ${\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z)}$ ${\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z)}$ este definit ca:

S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+{\frac {2^{\mu -1}\Gamma ((\mu -\nu +1)/2)\Gamma ((\mu +\nu +1)/2)}{\sin \pi \nu }}\left[\cos(\pi (\mu -\nu )/2)\;J_{-\nu }(z)-\cos(\pi (\mu +\nu )/2)\;J_{\nu }(z)\right]

{\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z) = s _ {\ mu, \ nu} (z) + {\ frac {2 ^ {\ mu -1} \ Gamma ((\ mu - \ nu +1) / 2) \ Gamma ((\ mu + \ nu +1) / 2)} {\ sin \ pi \ nu}} \ left [\ cos (\ pi (\ mu - \ nu) / 2) \ ; J_ {- \ nu} (z) - \ cos (\ pi (\ mu + \ nu) / 2) \; J _ {\ nu} (z) \ right]}

{\ displaystyle S _ {\ mu, \ nu} (z) = s _ {\ mu, \ nu} (z) + {\ frac {2 ^ {\ mu -1} \ Gamma ((\ mu - \ nu +1) / 2) \ Gamma ((\ mu + \ nu +1) / 2)} {\ sin \ pi \ nu}} \ left [\ cos (\ pi (\ mu - \ nu) / 2) \ ; J_ {- \ nu} (z) - \ cos (\ pi (\ mu + \ nu) / 2) \; J _ {\ nu} (z) \ right]}

.

Funcțiile furiei , funcțiile Weber și funcțiile Struve sunt cazuri speciale ale funcțiilor Lommel.

Funcțiile Lommel depind de două variabile

Funcții $U_{n}(w,z)$ ${\ displaystyle U_ {n} (w, z)}$ ${\ displaystyle U_ {n} (w, z)}$ Și $V_{n}(w,z)$ ${\ displaystyle V_ {n} (w, z)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (w, z)}$ sunt definite ca o serie Neumann, adică ca o dezvoltare bazată pe funcțiile Bessel :

U_{\nu }(w,z)=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}\left({\frac {w}{z}}\right)^{\nu +2m}J_{\nu +2m}(z)

{\ displaystyle U _ {\ nu} (w, z) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} \ left ({\ frac {w} {z}} \ dreapta) ^ {\ nu + 2m} J _ {\ nu + 2m} (z)}

{\ displaystyle U _ {\ nu} (w, z) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} \ left ({\ frac {w} {z}} \ dreapta) ^ {\ nu + 2m} J _ {\ nu + 2m} (z)}

V_{\nu }(w,z)=\cos \left({\frac {w}{2}}+{\frac {z}{2w}}+{\frac {\nu \pi }{2}}\right)+U_{2-\nu }(w,z)

{\ displaystyle V _ {\ nu} (w, z) = \ cos \ left ({\ frac {w} {2}} + {\ frac {z} {2w}} + {\ frac {\ nu \ pi } {2}} \ right) + U_ {2- \ nu} (w, z)}

{\ displaystyle V _ {\ nu} (w, z) = \ cos \ left ({\ frac {w} {2}} + {\ frac {z} {2w}} + {\ frac {\ nu \ pi } {2}} \ right) + U_ {2- \ nu} (w, z)}

Aceste funcții sunt importante în teoria difracției .

Bibliografie

( DE ) E. Lommel Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function Math. Ann. 9 , 425 (1876)
( DE ) GN Watson Un tratat despre teoria funcțiilor Bessel (Cambridge University Press, 1922) pp. 345-352
( DE ) E. Lommel Abh. der Math. Fizic. class der kb Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 229 (1886)
( DE ) E. Lommel Abh. der Math. Fizic. class der kb Akad. der Wiss. (Munchen) 15 P. 529 (1886)
(EN) J. Walker Teoria analitică a luminii (Cambridge University Press, 1904)
( EN ) GN Watson Un tratat despre teoria funcțiilor Bessel (Cambridge University Press, 1922) pp. 537-550
( EN ) A. Gray și GB Mathews Un tratat despre funcțiile Bessel și aplicațiile lor la fizică pp. 165-209 (Londra: Macmillan și colab., 1895)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, funcția Lommel , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(RO) Eric W. Weisstein, Funcția Lommel în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Lommel Differential Equation în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică