Geometria epipolară

O aplicație simplă a geometriei epipolare. Două imagini realizate de două camere plasate în două poziții diferite. Geometria epipolară descrie relațiile care există între cele două imagini și obiectele reale.

Geometria epipolară este geometria viziunii stereoscopice . Descrie relațiile geometrice și constrângerile care leagă două imagini 2D ale aceleiași scene 3D captate de două camere cu poziție și orientare distincte.

Geometria epipolară

Elemente esențiale ale unei geometrii epipolare

Să ne imaginăm că vrem să fotografiem un element din spațiul 3D în punctul X prin două camere centrate în O _L și O _R. Punctul în cauză va fi proiectat pe planul de imagine al camerei stânga în x _L și _respectiv x _R în planul de imagine al camerei din dreapta.

Proiecția punctului X pe planul de imagine al camerelor respective are loc printr-o transformare proiectivă P _L (și P _R ), adică o matrice care ia în considerare poziția, orientarea și parametrii formali ai camerei respective. Relația poate fi exprimată matematic ca

$x_{L}=P_{L}X$ ${\ displaystyle x_ {L} = P_ {L} X}$ ${\ displaystyle x_ {L} = P_ {L} X}$

$x_{R}=P_{R}X$ ${\ displaystyle x_ {R} = P_ {R} X}$ ${\ displaystyle x_ {R} = P_ {R} X}$

Puncte epipolare

Deoarece centrele O _L și O _R ale fiecărei camere sunt în poziții distincte, este posibil să se proiecteze unul pe planul de imagine al celuilalt.

$e_{L}=P_{L}O_{R}$ ${\ displaystyle e_ {L} = P_ {L} O_ {R}}$ ${\ displaystyle e_ {L} = P_ {L} O_ {R}}$

$e_{R}=P_{R}O_{L}$ ${\ displaystyle e_ {R} = P_ {R} O_ {L}}$ ${\ displaystyle e_ {R} = P_ {R} O_ {L}}$

Colonul și _L și _R și sunt numite epipoles sau puncte epipolar.

Liniile epipolare

Punctul x _L poate fi văzut ca intersecția liniei drepte prin O _L și X , numită raza de proiecție , cu planul de imagine al camerei din stânga.

Deci, să ne imaginăm că proiectăm această linie pe planul corect al imaginii. Deoarece transformarea proiectivă este o omografie dacă raza de proiecție conectează X cu O _L, atunci proiecția sa va conecta proiecțiile celor două puncte. Adică va fi linia dreaptă care trece prin x _R și proiecția lui O _L , adică punctul epipolar drept și _R. Prin exprimarea celor două puncte în coordonate omogene, linia poate fi exprimată ca

$l_{R}=x_{R}\times e_{R}$ ${\ displaystyle l_ {R} = x_ {R} \ times e_ {R}}$ ${\ displaystyle l_ {R} = x_ {R} \ times e_ {R}}$

Această linie se numește linie epipolară . Același raționament se poate face în mod analog cu razele de proiecție ale camerei potrivite.

Planul epipolar

Ca o interpretare alternativă, considerăm planul pe care se află punctele X , O _L și O _R. Acest plan se numește plan epipolar . Planul epipolar asociat cu un punct X interceptează planurile de imagine exact în liniile epipolare asociate cu X. Toate planurile epipolare se întâlnesc în linia dreaptă care unește cele două epipole care se numește linia de bază .

Reconstrucția scenei

Geometria epipolară joacă un rol fundamental în reconstrucția unei scene tridimensionale pornind de la o pereche de imagini stereoscopice. Reconstrucția are loc prin următorii pași:

Având în vedere o listă de puncte corespunzătoare din cele două imagini, se calculează matricea fundamentală F , adică o matrice 3x3 de rangul doi astfel încât $x_{L}^{T}Fx_{R}=0$ ${\ displaystyle x_ {L} ^ {T} Fx_ {R} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {L} ^ {T} Fx_ {R} = 0}$ .
Din matricea fundamentală, matricile reprezentând transformările proiective ale celor două camere se obțin prin relațiile:
$P_{L}=[I|0]$ ${\ displaystyle P_ {L} = [I | 0]}$ ${\ displaystyle P_ {L} = [I | 0]}$
$P_{R}=[[e_{R}]\times F|e_{R}]$ ${\ displaystyle P_ {R} = [[e_ {R}] \ times F | e_ {R}]}$ ${\ displaystyle P_ {R} = [[e_ {R}] \ times F | e_ {R}]}$ .
Pentru fiecare pereche de puncte corespunzătoare din imagine, punctul X este estimat prin informațiile obținute din cele două matrice de proiecție.

Bibliografie

(EN) Richard Hartley, Andrew Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, ediția a doua, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54051-3 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre geometria epipolară

Controlul autorității	GND ( DE ) 7759349-2