Identitate Cassini

Identitatea Cassini, descoperită în 1680 de matematicianul și astronomul italian Giovanni Cassini , este o identitate care se aplică numerelor Fibonacci.

Secvența Fibonacci este o secvență de numere întregi naturale definite prin atribuirea primelor două valori $F_{0}=0$ ${\ displaystyle F_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle F_ {0} = 0}$ și $F_{1}=1$ ${\ displaystyle F_ {1} = 1}$ $F_ {1} = 1$ și ulterior definind valorile rămase ale secvenței ca suma celor două precedente, și anume:

$F_{n}:=F_{n-1}+F_{n-2}$ ${\ displaystyle F_ {n}: = F_ {n-1} + F_ {n-2}}$ ${\ displaystyle F_ {n}: = F_ {n-1} + F_ {n-2}}$ $\forall n\geq 2$ ${\ displaystyle \ forall n \ geq 2}$ ${\ displaystyle \ forall n \ geq 2}$

Identitatea lui Cassini afirmă că pentru fiecare n≥2 avem:

$F_{n+1}*F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} * F_ {n-1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} * F_ {n-1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}$

Demonstrație

Vom demonstra acest lucru prin inducție pe n.

Baza inductiva:

Pentru n = 2 avem: $F_{3}*F_{1}-F_{2}^{2}=2*1-1=1=(-1)^{2}$ ${\ displaystyle F_ {3} * F_ {1} -F_ {2} ^ {2} = 2 * 1-1 = 1 = (- 1) ^ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {3} * F_ {1} -F_ {2} ^ {2} = 2 * 1-1 = 1 = (- 1) ^ {2}}$ . Deci, afirmația se dovedește a fi valabilă pentru n = 2.

Ipoteză inductivă:

Să presupunem că acest lucru este adevărat pentru n: $F_{n+1}*F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} * F_ {n-1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} * F_ {n-1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}$ și demonstrați-l pentru n + 1 $F_{n+2}*F_{n}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$ ${\ displaystyle F_ {n + 2} * F_ {n} -F_ {n + 1} ^ {2} = (- 1) ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle F_ {n + 2} * F_ {n} -F_ {n + 1} ^ {2} = (- 1) ^ {n + 1}}$

Din modul în care este definită, derivă secvența Fibonacci $F_{n-1}=F_{n+1}-F_{n}$ ${\ displaystyle F_ {n-1} = F_ {n + 1} -F_ {n}}$ ${\ displaystyle F_ {n-1} = F_ {n + 1} -F_ {n}}$ , substituind în ipoteza inductivă obținem:

$F_{n+1}*(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} * (F_ {n + 1} -F_ {n}) - F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} * (F_ {n + 1} -F_ {n}) - F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}$

Din care rezultă în mod trivial:

$F_{n+1}^{2}-F_{n+1}*F_{n}-F_{n}^{2}=F_{n+1}^{2}-F_{n}*(F_{n+1}+F_{n})=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} ^ {2} -F_ {n + 1} * F_ {n} -F_ {n} ^ {2} = F_ {n + 1} ^ {2} -F_ {n} * (F_ {n + 1} + F_ {n}) = (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} ^ {2} -F_ {n + 1} * F_ {n} -F_ {n} ^ {2} = F_ {n + 1} ^ {2} -F_ {n} * (F_ {n + 1} + F_ {n}) = (- 1) ^ {n}}$

Dar $F_{n+1}+F_{n}=F_{n+2}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} + F_ {n} = F_ {n + 2}}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} + F_ {n} = F_ {n + 2}}$ asa de:

$F_{n+1}^{2}-F_{n}*F_{n+2}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} ^ {2} -F_ {n} * F_ {n + 2} = (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle F_ {n + 1} ^ {2} -F_ {n} * F_ {n + 2} = (- 1) ^ {n}}$

Înmulțind ambele părți cu (-1) avem:

$F_{n}*F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$ ${\ displaystyle F_ {n} * F_ {n + 2} -F_ {n + 1} ^ {2} = (- 1) ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle F_ {n} * F_ {n + 2} -F_ {n + 1} ^ {2} = (- 1) ^ {n + 1}}$

sau teza.

Generalizări

în 1879, matematicianul belgian Eugene Catalan a propus următoarea generalizare:

$F_{n-r}F_{n+r}-F_{n}^{2}=(-1)^{n-r+1}F_{r}^{2}$ ${\ displaystyle F_ {nr} F_ {n + r} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n-r + 1} F_ {r} ^ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {n-r} F_ {n + r} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n-r + 1} F_ {r} ^ {2}}$

asta, prin plasare $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ , devine

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}F_{1}^{2}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle F_ {n-1} F_ {n + 1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n} F_ {1} ^ {2} = (- 1) ^ {n} }$ ${\ displaystyle F_ {n-1} F_ {n + 1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n} F_ {1} ^ {2} = (- 1) ^ {n} }$

aceasta este identitatea lui Cassini.

Mai recent, în 1989, Steven Vajda a publicat această generalizare suplimentară:

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$ ${\ displaystyle F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j} = (- 1) ^ {n} F_ {i} F_ {j}}$ ${\ displaystyle F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j} = (- 1) ^ {n} F_ {i} F_ {j}}$

Evident, de asemenea, din această identitate, celelalte două sunt derivate ca cazuri speciale:

Identitatea lui Cassini se obține prin plasare $i=-1;\quad j=1$ ${\ displaystyle i = -1; \ quad j = 1}$ ${\ displaystyle i = -1; \ quad j = 1}$
identitatea catalană se obține prin plasare $i=-r;\quad j=r$ ${\ displaystyle i = -r; \ quad j = r}$ ${\ displaystyle i = -r; \ quad j = r}$

aplicarea extensiei Fibonacci la indicii negativi: $F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}$ ${\ displaystyle F _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}}$ ${\ displaystyle F _ {- n} = (- 1) ^ {n + 1} F_ {n}}$ .

Demonstrarea identității generalizate

Vrem să arătăm asta

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}$ ${\ displaystyle F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j} = (- 1) ^ {n} F_ {i} F_ {j}}$ ${\ displaystyle F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j} = (- 1) ^ {n} F_ {i} F_ {j}}$

În cursul prezentei dovezi pe care o prezentăm

${\begin{aligned}\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \\\ varphi = {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} { 2}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \\\ varphi = {\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} { 2}} \ end {align}}}$

Pentru prima expresie din primul membru, se aplică formula Binet care este

$F_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ ${\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ Phi ^ {n} - \ varphi ^ {n}} {\ sqrt {5}}}}$ ${\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {\ Phi ^ {n} - \ varphi ^ {n}} {\ sqrt {5}}}}$

și observând că $\Phi \varphi =-1$ ${\ displaystyle \ Phi \ varphi = -1}$ ${\ displaystyle \ Phi \ varphi = -1}$ da ai

${\textstyle 5F_{n+i}F_{n+j}=(\Phi ^{n+i}-\varphi ^{n+i})(\Phi ^{n+j}-\varphi ^{n+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{j}\varphi ^{i}+\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}}$ ${\ textstyle 5F_ {n + i} F_ {n + j} = (\ Phi ^ {n + i} - \ varphi ^ {n + i}) (\ Phi ^ {n + j} - \ varphi ^ {n + j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi \ varphi) ^ {n} (\ Phi ^ {j} \ varphi ^ {i} + \ Phi ^ {i} \ varphi ^ {j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi ^ {j} \ varphi ^ {i} + \ Phi ^ {i} \ varphi ^ {j}) (- 1) ^ {n}}$ ${\ textstyle 5F_ {n + i} F_ {n + j} = (\ Phi ^ {n + i} - \ varphi ^ {n + i}) (\ Phi ^ {n + j} - \ varphi ^ {n + j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi \ varphi) ^ {n} (\ Phi ^ {j} \ varphi ^ {i} + \ Phi ^ {i} \ varphi ^ {j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi ^ {j} \ varphi ^ {i} + \ Phi ^ {i} \ varphi ^ {j}) (- 1) ^ {n}}$

În ceea ce privește a doua expresie din primul membru pe care îl avem

${\textstyle 5F_{n}F_{n+i+j}=(\Phi ^{n}-\varphi ^{n})(\Phi ^{n+i+j}-\varphi ^{n+i+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi \varphi )^{n}(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})=\Phi ^{2n+i+j}+\varphi ^{2n+i+j}-(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j})(-1)^{n}}$ ${\ textstyle 5F_ {n} F_ {n + i + j} = (\ Phi ^ {n} - \ varphi ^ {n}) (\ Phi ^ {n + i + j} - \ varphi ^ {n + i + j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi \ varphi) ^ {n} (\ Phi ^ {i + j} + \ varphi ^ {i + j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi ^ {i + j} + \ varphi ^ {i + j}) (- 1) ^ {n}}$ ${\ textstyle 5F_ {n} F_ {n + i + j} = (\ Phi ^ {n} - \ varphi ^ {n}) (\ Phi ^ {n + i + j} - \ varphi ^ {n + i + j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi \ varphi) ^ {n} (\ Phi ^ {i + j} + \ varphi ^ {i + j}) = \ Phi ^ {2n + i + j} + \ varphi ^ {2n + i + j} - (\ Phi ^ {i + j} + \ varphi ^ {i + j}) (- 1) ^ {n}}$

Se scade a doua expresie din prima

${\textstyle 5(F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j})=(\Phi ^{i+j}+\varphi ^{i+j}-\Phi ^{j}\varphi ^{i}-\Phi ^{i}\varphi ^{j})(-1)^{n}=\Phi ^{i}(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})-\varphi ^{j}(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})=(\Phi ^{i}-\varphi ^{i})(\Phi ^{j}-\varphi ^{j})=5F_{i}F_{j}}$ ${\ textstyle 5 (F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j}) = (\ Phi ^ {i + j} + \ varphi ^ {i + j} - \ Phi ^ {j} \ varphi ^ {i} - \ Phi ^ {i} \ varphi ^ {j}) (- 1) ^ {n} = \ Phi ^ {i} (\ Phi ^ {j} - \ varphi ^ {j}) - \ varphi ^ {j} (\ Phi ^ {i} - \ varphi ^ {i}) = (\ Phi ^ {i} - \ varphi ^ {i}) (\ Phi ^ { j} - \ varphi ^ {j}) = 5F_ {i} F_ {j}}$ ${\ textstyle 5 (F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j}) = (\ Phi ^ {i + j} + \ varphi ^ {i + j} - \ Phi ^ {j} \ varphi ^ {i} - \ Phi ^ {i} \ varphi ^ {j}) (- 1) ^ {n} = \ Phi ^ {i} (\ Phi ^ {j} - \ varphi ^ {j}) - \ varphi ^ {j} (\ Phi ^ {i} - \ varphi ^ {i}) = (\ Phi ^ {i} - \ varphi ^ {i}) (\ Phi ^ { j} - \ varphi ^ {j}) = 5F_ {i} F_ {j}}$

și în cele din urmă, împărțind la $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$

{\ displaystyle F_ {n + i} F_ {n + j} -F_ {n} F_ {n + i + j} = F_ {i} F_ {j}}

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica