Imunizarea financiară

Termenul de imunizare financiară se referă la o metodologie matematică menită să neutralizeze efectele variației ratei de evaluare asupra unui portofoliu activ ( credite ) sau pasiv ( datorii ).

Un portofoliu imunizat vă permite să aveți o anumită sumă la un moment dat, indiferent de fluctuațiile ratei de evaluare și de valorile mobiliare disponibile pe piață. Prin urmare, vă permite să recreați situația ideală de a avea o garanție care va fi rambursată exact în momentul în care aveți nevoie de suma stabilită; chiar dacă o astfel de garanție nu este disponibilă pe piață, ci sunt în vânzare doar valorile mobiliare care expiră înainte sau după timpul luat în considerare și cu sau fără cupoane.

Prin urmare, un portofoliu este imunizat dacă titularul care îl vinde este imun de consecințele unei modificări nefavorabile a ratelor dobânzii.

Teorema lui Redington

Să presupunem că structura activului / pasivului este imunizată local la rata i dacă pentru micile mișcări ale ratei i valoarea actuală a întregului portofoliu nu scade. În termeni matematici, structura este imunizată local dacă V are un minim local în i. Cele două condiții pentru care o funcție (care poate fi diferențiată cel puțin de două ori) admite un minim local sunt V '= 0 și V' '> 0. Prin urmare, calculând cele două derivate, consideră că:

O condiție suficientă pentru ca structura activului / pasivului să fie imunizată local la rata i este ca aceasta să dețină

$D^{A}\cdot V^{A}=D^{L}\cdot V^{L}$ ${\ displaystyle D ^ {A} \ cdot V ^ {A} = D ^ {L} \ cdot V ^ {L}}$ ${\ displaystyle D ^ {A} \ cdot V ^ {A} = D ^ {L} \ cdot V ^ {L}}$

$V^{A}\cdot C^{A}>V^{L}\cdot C^{L}$ ${\ displaystyle V ^ {A} \ cdot C ^ {A}> V ^ {L} \ cdot C ^ {L}}$ ${\ displaystyle V ^ {A} \ cdot C ^ {A}> V ^ {L} \ cdot C ^ {L}}$

Foarte des se întâmplă ca activele să fie finanțate în totalitate din pasive ( $V^{A}=V^{L}$ ${\ displaystyle V ^ {A} = V ^ {L}}$ ${\ displaystyle V ^ {A} = V ^ {L}}$ ). Prin urmare, teorema anterioară este simplificată, în sensul de a putea lua în considerare doar convexitatea și durata.

Cu alte cuvinte, teorema ne permite să afirmăm că pentru a avea un portofoliu imunizat local este suficient ca activele și pasivele să aibă aceeași durată și ca activele să fie mai dispersate decât pasivele, adică au o convexitate mai mare.

Teorema lui Fisher-Weil

Efectul unei modificări a ratei dobânzii „de piață” asupra valorii unui portofoliu de capitaluri proprii la un moment dat în viitor este, în general, ambiguu. Într-adevăr, dacă o creștere a ratei duce la o reducere a valorii actuale a valorilor mobiliare încă deținute de operator, aceasta conduce, de asemenea, la o îmbunătățire a oportunităților de investiții pentru acele valori mobiliare care au fost deja rambursate.

În practică, teoria ne oferă o metodă de acoperire a riscului ratei dobânzii pe care o putem rezuma după cum urmează: dată o succesiune de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ flux de fonduri $f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ , $f_{2}$ ${\ displaystyle f_ {2}}$ $f_ {2}$ , ..., $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ la termenele limită $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ , ..., $t_{n}$ ${\ displaystyle t_ {n}}$ $t_n$ valoarea lor la o maturitate generică $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este o funcție a ratei de evaluare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ :

$P(i,t)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {f_{j}}{(1+i)^{t_{j}-t}}}$ ${\ displaystyle P (i, t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {f_ {j}} {(1 + i) ^ {t_ {j} -t}}}}$ ${\ displaystyle P (i, t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {f_ {j}} {(1 + i) ^ {t_ {j} -t}}}}$

și este expus riscului ratei dobânzii ca și cum rata în sine variază de la $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ la $i+\Delta i$ ${\ displaystyle i + \ Delta i}$ ${\ displaystyle i + \ Delta i}$ noua valoare a fluxurilor în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , $P(i+\Delta i,t)$ ${\ displaystyle P (i + \ Delta i, t)}$ ${\ displaystyle P (i + \ Delta i, t)}$ , poate fi mai mare sau mai mic decât a $P(i,t)$ ${\ displaystyle P (i, t)}$ ${\ displaystyle P (i, t)}$ . Acolo $P(i+\Delta i,t)$ ${\ displaystyle P (i + \ Delta i, t)}$ ${\ displaystyle P (i + \ Delta i, t)}$ , aplicându-i seria Taylor arestată la prima comandă se poate scrie ca:

$P(i+\Delta i,t)=P(i,t)+{\frac {\partial }{\partial i}}P(i,t)\cdot \Delta i+o\left(\Delta i\right)$ ${\ displaystyle P (i + \ Delta i, t) = P (i, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial i}} P (i, t) \ cdot \ Delta i + o \ left ( \ Delta i \ right)}$ ${\ displaystyle P (i + \ Delta i, t) = P (i, t) + {\ frac {\ partial} {\ partial i}} P (i, t) \ cdot \ Delta i + o \ left ( \ Delta i \ right)}$

Efectul datorat riscului ratei dobânzii este anulat când ${\frac {\partial }{\partial i}}P(i,t)=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial i}} P (i, t) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial i}} P (i, t) = 0}$ iar starea care îl anulează este

${\frac {\partial }{\partial i}}P(i,t)=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {f_{j}\cdot \left(t_{j}-t\right)}{\left(1+i\right)^{t_{j}}}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial i}} P (i, t) = - \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {f_ {j} \ cdot \ left (t_ {j} -t \ right)} {\ left (1 + i \ right) ^ {t_ {j}}}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial i}} P (i, t) = - \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {f_ {j} \ cdot \ left (t_ {j} -t \ right)} {\ left (1 + i \ right) ^ {t_ {j}}}} = 0}$

din care derivă afecțiunea

$t={\frac {\sum _{j=1}^{n}f_{j}\cdot t_{j}\cdot \left(1+i\right)^{-t_{j}}}{\sum _{j=1}^{n}f_{j}\cdot \left(1+i\right)^{-t_{j}}}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} \ cdot t_ {j} \ cdot \ left (1 + i \ right) ^ {- t_ {j}} } {\ sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} \ cdot \ left (1 + i \ right) ^ {- t_ {j}}}}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {\ sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} \ cdot t_ {j} \ cdot \ left (1 + i \ right) ^ {- t_ {j}} } {\ sum _ {j = 1} ^ {n} f_ {j} \ cdot \ left (1 + i \ right) ^ {- t_ {j}}}}}$ .

Acest raport indică durata financiară medie (sau durata) fluxului. La această scadență (și numai la acea scadență) valoarea $P(i,t)$ ${\ displaystyle P (i, t)}$ ${\ displaystyle P (i, t)}$ fluxul este imunizat împotriva modificărilor ratei de evaluare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ .

Prin urmare, putem afirma teorema lui Fisher-Weil:

Dacă, la momentul respectiv $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ în care se produce modificarea ratei, durata portofoliului este egală cu timpul rămas înainte de un anumit moment $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , apoi prețul portofelului în $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ va fi mai mare sau egală cu cea anterioară schimbării.

În formule:

de sine $duration(s,j)=T-s$ ${\ displaystyle duration (s, j) = Ts}$ ${\ displaystyle duration (s, j) = T-s}$

asa de $VA(T,j)\leq \ VA(T,j+e)$ ${\ displaystyle VA (T, j) \ leq \ VA (T, j + e)}$ ${\ displaystyle VA (T, j) \ leq \ VA (T, j + e)}$ cu $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ tot ceea ce.

Teorema Fisher-Weil și componentele lichide

Teorema Fisher-Weil este valabilă numai dacă toate sumele pe care le va plăti portofelul sunt plasate în viitor; cu alte cuvinte, teorema Fisher-Weil nu garantează imunizarea portofoliilor formate și din componente lichide (bani). Prin urmare, la expirarea primei plăți, va trebui să fie construit un nou portofoliu imunizat, variind compoziția valorilor mobiliare.

Ajustarea la noua rată

Dacă rata de evaluare se modifică, portofoliul nu mai este imunizat la noua rată. Există într-adevăr posibilitatea ca o modificare suplimentară a ratei să reducă valoarea portofoliului în timp $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ; dacă nu altceva, o revenire a ratei la nivelul său anterior. Dacă doriți să vă asigurați avantajul creat de o modificare favorabilă a ratei, trebuie să vă reajustați portofoliul astfel încât să fie imunizat la noua rată a dobânzii. În practică, totuși, aceasta implică costuri de tranzacționare, astfel încât să descurajeze manevrele de ajustare frecvente (sau continue, așa cum ar fi ideal la un nivel pur matematic). ^[1]

Notă

^ Matematică financiară clasică și modernă pentru cursurile de trei ani, Fabrizio Cacciafesta, G. Giappichelli editore, 2006, Anexa A

[1] Matematică financiară clasică și modernă pentru cursurile de trei ani, Fabrizio Cacciafesta, G. Giappichelli editore, 2006, Anexa A

[1]