Set neclar

Un set fuzzy sau împreună sfumato (în engleză fuzzy set) este o colecție care face parte dintr-o extensie a teoriei clasice a seturilor . Conceptul a fost introdus de Lotfi A. Zadeh , în 1965, ca o extensie a definiției clasice a unui întreg.

Un set fuzzy este caracterizat de o funcție de grad de membru , care mapează elementele unui univers într-un interval real continuu [0; 1].

Valoarea 0 (zero) indică faptul că elementul nu este deloc inclus în setul fuzzy, valoarea 1 (una) indică faptul că elementul este cu siguranță inclus în set (aceste două valori corespund teoriei clasice a seturilor), în timp ce valorile cuprinse între zero și unu indică gradul de apartenență al elementului la setul neclar în cauză.

Dat fiind un univers U și o funcție a gradului de apartenență f : U → [0; 1], definim neclaritatea lui U față de A și indicăm A (U) , setul de perechi.

A = { ( u , f ( u ) ) | u ∈ U } .

Exemplu

Un set fuzzy A (U) este o pereche ordonată (U, A) cu:

U , numit univers, un set clasic de teorie a mulțimilor

A , o funcție de membru f : U → [0; 1]

Să o luăm împreună

U = {4, 2, 0, 9}

Și ca funcție de apartenență

A = "Numere în U apropiate de 2"

A (x): = 1 / (1+ (x-2) ^ 2)

Încețoșarea lui U față de A este atunci

A (U) = {(4,0.2), (2,1), (0,0.2), (9,0.02)}

Singura constrângere în ceea ce privește funcțiile de apartenență este că în intervalul de sosire, dar, într-un mod mai puțin general, dar mai pragmatic, se poate spune că acestea sunt de obicei: funcții monotone, triunghiulare, trapezoidale și gaussiene. Este evident posibil să se efectueze operațiile clasice de seturi, cum ar fi unirea, intersecția și complementul între seturi fuzzy. Trebuie remarcat faptul că nu se poate vorbi despre un set neclar fără a lua în considerare funcția sa de estompare și că acest lucru, cel puțin în principiu, este pur arbitrar.

Proprietățile seturilor fuzzy

Seturile fuzzy nu se bucură de relații de unicitate și biunivocitate între elementele diferitelor seturi. Prin urmare, mulțimile fuzzy sunt o extensie, dar nu o generalizare, a mulțimilor teoriei clasice; adică sunt o teorie care se extinde, dar este inclusă în cea a mulțimilor, mai degrabă decât să o includă într-o teorie nouă și mai mare.

O simplă trecere a notației de la un discret între 0 și 1 la un interval continuu de apartenență între aceleași două extreme reprezintă un salt conceptual considerabil și este un exemplu al importanței de a avea o notație matematică sintetică și puternică.

Operatorii de seturi se aplică seturilor fuzzy: uniune, intersecție și complementare. Se aplică și legile lui De Morgan ; pe de altă parte, principiul treimii excluse nu este valid (pentru care unirea unei mulțimi cu complementara sa are o sumă egală cu 1) și principiul non-contradicției (intersecția unei mulțimi cu complementara sa este o set gol). Argumentul este evident valabil deoarece complementaritatea este definită independent de aceste principii fundamentale ale logicii (și de toate celelalte, care sunt o derivare a acestora) ca proprietate a unui singur set și nu a două sau mai multe mulțimi în raport unul cu celălalt.

Există diferite modalități posibile de generalizare a operatorilor logicii clasice. Operația de unire pe două mulțimi fuzzy A și B se realizează prin aplicarea fiecărui element x al lui A și y al lui B a unei funcții numite s-normă; de obicei se ia maximul celor două valori:

U={1,2,3,4,5}

{\ displaystyle U = {1,2,3,4,5}}

U = {1, 2, 3, 4, 5}

A={0,2/1+0,3/2+0,6/3+0,3/4+0,4/5}

{\ displaystyle A = {0,2 / 1 + 0,3 / 2 + 0,6 / 3 + 0,3 / 4 + 0,4 / 5}}

A = {0,2 / 1 + 0,3 / 2 + 0,6 / 3 + 0,3 / 4 + 0,4 / 5}

B={1/1+0,1/2+0,7/3+0,6/4+0,1/5}

{\ displaystyle B = {1/1 + 0,1 / 2 + 0,7 / 3 + 0,6 / 4 + 0,1 / 5}}

B = {1/1 + 0,1 / 2 + 0,7 / 3 + 0,6 / 4 + 0,1 / 5}

Gradul de apartenență la A ∪ B de 1 = Max (1 - 0,2) = 1

A ∪ B = {1/1 + 0,3 / 2 + 0,7 / 3 + 0,6 / 4 + 0,4 / 5}

Operația de intersecție, pe de altă parte, este realizată utilizând funcții normă t, de obicei funcția minimă; pentru a defini în schimb complementul unui set, noul grad de apartenență al unui element la noul set B este calculat ca 1-Grad de apartenență la A , ca în exemplul următor:

A={0,4/1+0,6/2+0/8}

{\ displaystyle A = {0,4 / 1 + 0,6 / 2 + 0/8}}

A = {0,4 / 1 + 0,6 / 2 + 0/8}

A^{c}={0,6/1+0,4/2+1/8}

{\ displaystyle A ^ {c} = {0,6 / 1 + 0,4 / 2 + 1/8}}

A ^ c = {0,6 / 1 + 0,4 / 2 + 1/8}

Utilizare

Valabilitatea operatorilor booleeni (cu care funcționează algebra relațională ) vă permite să interogați baze de date fuzzy cu FSQL ( Fuzzy SQL ), un limbaj născut în 1998 ca o extensie a SQL .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un set neclar

linkuri externe

( EN ) Ansamblu neclar , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57852 · LCCN (EN) sh85052627 · BNF (FR) cb11944583j (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică