Maimuța și vânătorul

Curbele corespund traiectoriilor gloanțelor lansate la viteze diferite. Maimuțele și gloanțele de aceeași culoare corespund pozițiilor lor în același moment de timp. În fișierul SVG , plasați mouse-ul peste maimuță sau glonț pentru a evidenția punctele contemporane. Rețineți că maimuța și gloanțele rămân pe o linie paralelă cu segmentul care leagă pozițiile lor de plecare.

„Maimuța și vânătorul” este un experiment de gândire folosit adesea pentru a ilustra efectul gravitației asupra mișcării unui glonț.

O posibilă formulare a problemei este următoarea. Un vânător cu suflantă intră în pădure să vâneze maimuțe și îl vede pe unul atârnat de un copac. Să presupunem că maimuța își eliberează strângerea în același moment în care vânătorul trage. Unde și când ar trebui să tragă vânătorul pentru a lovi maimuța?

Pentru a răspunde la întrebare, amintiți-vă că toate obiectele din apropierea suprafeței pământului cad pe pământ cu aceeași accelerație constantă de 9,81 m / s ² , indiferent de masa obiectului. Mai mult, mișcările orizontale și verticale sunt independente: gravitația acționează numai asupra componentei verticale a vitezei obiectului, nu asupra celei orizontale. Astfel glonțul vânătorului cade cu aceeași accelerație ca și maimuța.

Să presupunem pentru moment că nu există gravitație. În acest caz, traiectoria proiectilului ar fi o linie dreaptă și s-ar deplasa cu o viteză constantă ( prima lege a lui Newton ). Gravitația face ca glonțul să se îndepărteze de această linie, urmând o traiectorie parabolică. Să luăm acum în considerare ce se întâmplă dacă vânătorul țintește direct la maimuță și săracul se lasă să plece în momentul în care vânătorul trage. Deoarece forța gravitațională accelerează glonțul și maimuța deopotrivă, cei doi parcurg aceeași distanță verticală în același timp: maimuța cade de pe ramură și proiectilul se deplasează vertical de-a lungul aceleiași distanțe față de calea dreaptă pe care ar fi urmat-o în absență de gravitate. Deci glonțul va lovi întotdeauna maimuța, indiferent de viteza inițială a glonțului.

Schimbarea sistemului de referință

Un alt mod de a studia problema este printr-o transformare a cadrului de referință . Anterior am discutat problema într-un cadru de referință în repaus cu privire la Pământ. Știm că în apropierea suprafeței terestre accelerația gravitației poate fi considerată constantă cu o bună aproximare. Deci, aceeași accelerație g acționează atât asupra glonțului, cât și asupra maimuței în timpul toamnei. Transformăm cadrul de referință într-un sistem care este accelerat în sus ^{[ Nu jos?! ]} din cantitatea g față de sistemul de referință al Pământului (accelerația noului sistem de referință față de Pământ este -g). Prin principiul echivalenței , câmpul gravitațional (aproximativ) constant dispare, lăsându-ne doar cu viteza orizontală a glonțului și a maimuței.

În acest nou cadru de referință este evident că vânătorul ar trebui să arate direct spre maimuță, deoarece maimuța este staționară. Deoarece unghiurile sunt invariante sub transformări ale cadrului de referință, transformându-l înapoi în cadrul de referință terestru, obținem în continuare rezultatul că vânătorul ar trebui să arate direct către maimuță. În timp ce această abordare are avantajul de a face rezultatele intuitive evidente, are micul defect logic că legile mecanicii clasice nu sunt invariante sub transformări de cadru non-inerțiale (a se vedea principiul relativității ).

Ecuațiile mișcării verticale

Pentru a scrie ecuațiile de mișcare ale maimuței și glonțului vânătorului, denotăm cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ accelerarea gravitației, $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ timpul scurs, $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ înălțimea inițială a maimuței și cu $V_{y0}$ ${\ displaystyle V_ {y0}}$ ${\ displaystyle V_ {y0}}$ componenta verticală a vitezei inițiale a glonțului. Ecuațiile pentru mișcarea verticală a glonțului și a maimuței sunt:

$y_{\rm {proiettile}}=V_{y0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}$ ${\ displaystyle y _ {\ rm {bullet}} = V_ {y0} t - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$ ${\ displaystyle y _ {\ rm {bullet}} = V_ {y0} t - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$ Și

$y_{\rm {scimmia}}=h-{\frac {1}{2}}gt^{2}$ ${\ displaystyle y _ {\ rm {maimuță}} = h - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$ ${\ displaystyle y _ {\ rm {maimuță}} = h - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Se vor ciocni atunci când aceste înălțimi sunt egale, adică:

$V_{y0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}=h-{\frac {1}{2}}gt^{2}.$ ${\ displaystyle V_ {y0} t - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} = h - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}.}$ ${\ displaystyle V_ {y0} t - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} = h - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}.}$

Termenul $gt^{2}/2$ ${\ displaystyle gt ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle gt ^ {2} / 2}$ este prezent în ambele părți ale ecuației, care poate fi, prin urmare, simplificat pentru:

$V_{y0}t=h.$ ${\ displaystyle V_ {y0} t = h.}$ ${\ displaystyle V_ {y0} t = h.}$

Dat fiind un $V_{y0}$ ${\ displaystyle V_ {y0}}$ ${\ displaystyle V_ {y0}}$ , glonțul se întâlnește cu maimuța după un timp

$t={\frac {h}{V_{y0}}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {h} {V_ {y0}}}}$ ${\ displaystyle t = {\ frac {h} {V_ {y0}}}}$

Și dat un $V_{y0}$ ${\ displaystyle V_ {y0}}$ ${\ displaystyle V_ {y0}}$ nul, singurele valori posibile care satisfac ecuația sunt $h=0$ ${\ displaystyle h = 0}$ ${\ displaystyle h = 0}$ și fiecare valoare a $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

În concluzie, există întotdeauna un moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în care glonțul și maimuța se ciocnesc vertical.

linkuri externe