Piața Cel Mai Mic

În 1960 prof. Widrow cu doctorandul Hoff a dat naștere algoritmului de gradient stochastic sau Least Mean Square (LMS), unul dintre cei mai populari algoritmi adaptivi , probabil pentru simplitatea sa de implementare și robustețe.

Principiul de bază cu care este construit filtrul este minimizarea erorii pătrate medii prin iterații succesive.

Exemplu

Pentru a înțelege mai bine algoritmul, să luăm în considerare un caz practic simplu, în care algoritmul LMS este utilizat în prezent cu succes: anularea ecoului acustic dintre un difuzor și un microfon. Să presupunem că cineva vorbește la microfon, un difuzor reproduce vocea difuzorului și alte sunete, într-un mediu închis. Dacă sunetele provenite de la difuzor ar fi, de asemenea, reproduse de difuzor, ar fi angajată o buclă de câștig care ar face sistemul instabil ducând la efectul Larsen cu apariția fluierelor și a efectelor enervante asupra sunetului. În timpul parcursului dintre difuzor și microfon, semnalul sonor este reprodus de difuzor, care introduce primele distorsiuni (aici distorsiunile sunt concepute ca orice modificare a semnalului, chiar și o egalizare, reverb sau căi multiple) a semnalului reprodus, apoi va fi reflectat de pereții camerei, care introduce distorsiuni suplimentare, ecoul , ajunge în cele din urmă la microfon care la rândul său va fi o sursă de distorsiune suplimentară, atât pentru inserarea fizică a microfonului în sine, care modifică câmpul sonor, și pentru egalizarea introdusă; În cele din urmă, putem lua în considerare un răspuns impulsiv al mediului, care duce de la semnalul de intrare la semnalul dorit. Se spune că semnalul este dorit deoarece la ieșirea filtrului aș dori să am același semnal pe care îl am la ieșirea microfonului. Dacă filtrul adaptiv reproduce exact răspunsul la impuls al sistemului fizic, pot crea un semnal electronic identic cu semnalul dorit, diferența lor permite eliminarea părții de semnal care vine de la difuzoare de la ieșirea microfonului.

Formalizarea problemei

Fie y [n] ieșirea filtrului adaptiv w când introduc semnalul x, și h să fie răspunsul la impuls general al sistemului și al mediului. Ieșirea dorită sau măsurată d va fi dată de convoluție

$d[n]=x[n]*h[n],$ ${\ displaystyle d [n] = x [n] * h [n],}$ ${\ displaystyle d [n] = x [n] * h [n],}$

care în comparație cu puterea estimată (y) a filtrului adaptiv w

$y[n]=x[n]*w[n],$ ${\ displaystyle y [n] = x [n] * w [n],}$ ${\ displaystyle y [n] = x [n] * w [n],}$

ne permite să definim eroarea și să filtrăm, în mod banal, ca diferență între cele două semnale

$e[n]=d[n]-y[n]=d[n]-x[n]*w[n],$ ${\ displaystyle e [n] = d [n] -y [n] = d [n] -x [n] * w [n],}$ ${\ displaystyle e [n] = d [n] -y [n] = d [n] -x [n] * w [n],}$

în care doar semnalul estimat a fost făcut explicit, deoarece în general d [n] este un semnal cunoscut al sistemului, de exemplu semnalul provenit de la un microfon.

Algoritmul LMS are sarcina de a estima răspunsul la impuls h și de a recrea replica sa w. Algoritmul compară semnalul dorit $d=x*h$ ${\ displaystyle d = x * h}$ ${\ displaystyle d = x * h}$ cu semnalul obținut din simulare $y=x*w$ ${\ displaystyle y = x * w}$ ${\ displaystyle y = x * w}$ , dacă aceste semnale nu sunt egale, am un semnal de eroare și [n] nu zero, dat de diferența lor, cu care pot construi o funcție de cost

Funcția de cost

Algoritmii adaptivi pot fi clasificați în funcție de funcția de cost J, care poate fi de tip determinist, definită ca Sumă de eroare pătrată (SSE):

$J(w)=\sum {|e[n]|}^{2},$ ${\ displaystyle J (w) = \ sum {| e [n] |} ^ {2},}$ ${\ displaystyle J (w) = \ sum {| e [n] |} ^ {2},}$

sau stocastic dacă funcția de cost este definită ca eroare pătrată medie (MSE)

$J(w)=\sum E{\bigl \{}|e[n]|^{2}{\bigr \}},$ ${\ displaystyle J (w) = \ sum E {\ bigl \ {} | e [n] | ^ {2} {\ bigr \}},}$ ${\ displaystyle J (w) = \ sum E {\ bigl \ {} | e [n] | ^ {2} {\ bigr \}},}$

ca în cazul algoritmului LMS.

Minimizarea funcției de cost înseamnă minimizarea distanței dintre semnalul dorit și semnalul estimat. Tocmai din minimizarea funcției de cost se obține algoritmul pentru actualizarea coeficienților de filtrare.

Algoritmul LMS ia în considerare eroarea pătratică instantanee $e^{2}[n]$ ${\ displaystyle e ^ {2} [n]}$ ${\ displaystyle e ^ {2} [n]}$ în locul așteptărilor sale. Pentru fiecare iterație calculez eroarea într-un moment fix n pe care îl vom numi k, astfel încât funcția de cost MSE să fie redusă la o simplă

${\tilde {J}}(w)=e^{2}[k]$ ${\ displaystyle {\ tilde {J}} (w) = e ^ {2} [k]}$ ${\ displaystyle {\ tilde {J}} (w) = e ^ {2} [k]}$

estimat, așa cum este indicat de simbolul tilde pe funcția J.

Algoritm de actualizare a coeficientului

Imitând funcția de cost, minimizez eroarea, așa că obțin un filtru care aproximează răspunsul impulsiv al mediului. Direcția către minim se obține din gradient (semn schimbat), mă deplasez în direcția indicată de gradient la fiecare iterație, astfel obținem funcția de actualizare a coeficienților filtrului adaptiv w la iterația k

$w_{k}=w_{k-1}+{\frac {1}{2}}\mu {\bigl (}-\nabla {\tilde {J}}(w){\bigr )}.$ ${\ displaystyle w_ {k} = w_ {k-1} + {\ frac {1} {2}} \ mu {\ bigl (} - \ nabla {\ tilde {J}} (w) {\ bigr)} .}$ ${\ displaystyle w_ {k} = w_ {k-1} + {\ frac {1} {2}} \ mu {\ bigl (} - \ nabla {\ tilde {J}} (w) {\ bigr)} .}$

Prin calcularea gradientului la momentul k, înlocuind funcția de cost cu definiția sa, obținem în cele din urmă funcția explicită de actualizare a coeficienților algoritmului LMS:

$w_{k}=w_{k-1}+\mu e[k]x_{k}.$ ${\ displaystyle w_ {k} = w_ {k-1} + \ mu e [k] x_ {k}.}$ ${\ displaystyle w_ {k} = w_ {k-1} + \ mu e [k] x_ {k}.}$

Bibliografie

Yiteng Huang, Jacob Benesty și Jingdong Chen - Procesarea semnalului acustic MIMO , Springer 2006