Metoda încrucișată

Metoda Cross este o procedură concepută de inginerul Hardy Cross pentru a rezolva structuri de cadre static nedeterminate ^[1] . Această procedură a fost ulterior aplicată cu succes rețelelor de conducte sub presiune ^[2] . Popularitatea metodei Cross a scăzut inevitabil odată cu răspândirea progresivă a computerelor personale .

Aplicarea la calculul structurilor hiperstatice

Metoda Cross este, în acest caz, numită și metoda de echilibrare a momentului și permite rezolvarea cadrelor cu noduri fixe ^[3] .

Aplicare la rețele hidraulice

Metoda (care în acest caz se mai numește și metoda de echilibrare a fluxului) poate fi aplicată în cazul rețelelor închise cu plasă în echilibru (în cazul ochiurilor deschise rezoluția nu necesită o procedură iterativă). Următorul descrie cazul în care fluxurile sunt introduse sau scăzute în noduri; cu toate acestea, este posibil să se aplice această metodă chiar dacă variația poate apărea și de-a lungul ramurilor individuale (de exemplu, pentru fluxurile distribuite uniform pe lungime, ne putem imagina că jumătate este luată la începutul ramurii și cealaltă jumătate la sfârșit , săvârșind o mică greșeală ^[4] ).

Deoarece sistemul este plasat închis, dacă este indicat cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ numărul de noduri și cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ numărul de ochiuri, avem că numărul ecuațiilor disponibile este egal cu $N+M-1$ ${\ displaystyle N + M-1}$ ${\ displaystyle N + M-1}$ , care este exact egal cu numărul de necunoscute: sistemul este apoi determinat.

Din motive de simplitate, ipoteza conduitei lungi este considerată valabilă, prin urmare pierderile localizate sunt neglijabile în comparație cu cele continue; acestea din urmă pot fi evaluate în special cu formule de monomii de tip Darcy-Weisbach :

\Delta H=\beta {Q^{2} \over D^{m}}L=0

{\ displaystyle \ Delta H = \ beta {Q ^ {2} \ over D ^ {m}} L = 0}

{\ displaystyle \ Delta H = \ beta {Q ^ {2} \ over D ^ {m}} L = 0}

Se poate presupune că diametrul conductei este deja cunoscut $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , atât lungimea $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , și apoi combinați termenii cunoscuți într-un singur coeficient $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Pentru a rezolva rețeaua, trebuie îndeplinite două bugete:

continuitatea fluxurilor pentru fiecare nod al sistemului (atribuirea unui semn diferit în funcție de fluxul de intrare sau de ieșire):

\sum _{nodo}Q_{k}=0

{\ displaystyle \ sum _ {node} Q_ {k} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {node} Q_ {k} = 0}

principiul unicității înălțimii piezometrice într-un nod sau urmând o plasă închisă, înălțimea piezometrică de pornire ajustată cu variațiile de sarcină întâlnite de-a lungul traseului trebuie să fie aceeași cu cea inițială:

\sum _{maglia}\Delta H_{k}=0\to \sum _{maglia}\beta _{k}{Q_{k}^{2} \over D_{k}^{m}}L_{k}=\sum _{maglia}r_{k}Q_{k}^{2}=0

{\ displaystyle \ sum _ {mesh} \ Delta H_ {k} = 0 \ to \ sum _ {mesh} \ beta _ {k} {Q_ {k} ^ {2} \ over D_ {k} ^ {m} } L_ {k} = \ sum _ {mesh} r_ {k} Q_ {k} ^ {2} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {mesh} \ Delta H_ {k} = 0 \ to \ sum _ {mesh} \ beta _ {k} {Q_ {k} ^ {2} \ over D_ {k} ^ {m} } L_ {k} = \ sum _ {mesh} r_ {k} Q_ {k} ^ {2} = 0}

În prealabil, sunt atribuite o direcție de deplasare și o valoare a debitului pentru fiecare ramură a rețelei; în consecință, pierderile hidraulice de cap sunt pozitive dacă direcția debitului aleasă este de acord cu calea aleasă pentru legătură (în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic). Deoarece cea de-a doua ecuație nu dă în general rezultat zero la prima încercare (adică nu există un echilibru perfect), se poate impune că

\sum _{maglia}r_{k}(Q_{k}+Q_{c})^{2}=0

{\ displaystyle \ sum _ {mesh} r_ {k} (Q_ {k} + Q_ {c}) ^ {2} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {mesh} r_ {k} (Q_ {k} + Q_ {c}) ^ {2} = 0}

sau se introduce un domeniu de aplicare corectiv $Q_{c}$ ${\ displaystyle Q_ {c}}$ ${\ displaystyle Q_ {c}}$ ceea ce permite reechilibrarea sarcinilor pe ochiurile considerate. Asumand $Q_{c}<Q_{k}$ ${\ displaystyle Q_ {c} <Q_ {k}}$ ${\ displaystyle Q_ {c} <Q_ {k}}$ , cu atât mai mult motiv trebuie să fie $Q_{c}^{2}<<Q_{k}^{2}$ ${\ displaystyle Q_ {c} ^ {2} << Q_ {k} ^ {2}}$ ${\ displaystyle Q_ {c} ^ {2} << Q_ {k} ^ {2}}$ și, prin urmare, rezolvând ecuația obținem:

Q_{c}=-{\sum _{maglia}r_{k}Q_{k}^{2} \over 2\sum _{maglia}r_{k}Q_{k}}

{\ displaystyle Q_ {c} = - {\ sum _ {Maglia} r_ {k} Q_ {k} ^ {2} \ over 2 \ sum _ {Maglia} r_ {k} Q_ {k}}}

{\ displaystyle Q_ {c} = - {\ sum _ {Maglia} r_ {k} Q_ {k} ^ {2} \ over 2 \ sum _ {Maglia} r_ {k} Q_ {k}}}

În acest moment, prin adăugarea algebrică a acestei corecții diferitelor ramuri care alcătuiesc ochiurile luate în considerare, ecuațiile de continuitate la noduri rămân satisfăcute. Prin efectuarea în mod repetat a acestui echilibru pentru toate legăturile care alcătuiesc sistemul, metoda ar trebui să convergă destul de repede.

Notă

^ Cross, "Analiza cadrelor continue prin distribuirea momentelor fixe" 1930.
^ Cross, "Analiza fluxului în rețelele de conducte sau conductori" 1936.
^ Se spune că un război are noduri fixe dacă acestea, deși pot suferi rotații, nu se pot mișca semnificativ (cf. EC3).
^ Ghetti, „Hidraulică” 1977.

linkuri externe

Hoepli - Manual inginer: Rezoluția rețelelor hidraulice

Portal de arhitectură

Portal de inginerie

[1] Cross, "Analiza cadrelor continue prin distribuirea momentelor fixe" 1930.

[2] Cross, "Analiza fluxului în rețelele de conducte sau conductori" 1936.

[3] Se spune că un război are noduri fixe dacă acestea, deși pot suferi rotații, nu se pot mișca semnificativ (cf. EC3).

[4] Ghetti, „Hidraulică” 1977.

[1]

[2]

[3]

[4]