Ecuația Darcy-Weisbach

Ecuația Darcy-Weisbach este o ecuație importantă utilizată în hidraulică . Permite calcularea pierderii de sarcină (altfel cunoscută sub numele de cădere de presiune) într-un tub.

Ecuația poartă numele lui Henry Darcy și Julius Weisbach .

Formula generală

Forma generală a ecuației Darcy-Weisbach este legea constitutivă a căderii de presiune într-un canal:

\Delta P=k\cdot q

{\ displaystyle \ Delta P = k \ cdot q}

{\ displaystyle \ Delta P = k \ cdot q}

unde este:

$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ : coeficientul mediu de frecare dinamic al fluidului pentru conductă
$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ : presiune dinamică în conductă.

Adică prin schimbarea variabilelor în înălțimea hidraulică H și viteza de curgere q :

\Delta H=k\cdot {\frac {u^{2}}{2g}}

{\ displaystyle \ Delta H = k \ cdot {\ frac {u ^ {2}} {2g}}}

{\ displaystyle \ Delta H = k \ cdot {\ frac {u ^ {2}} {2g}}}

unde g reprezintă intensitatea medie a câmpului de forță al volumului (care doar în cazul forțelor gravitaționale este egală cu accelerația gravitației ).

Coeficientul de frecare (global) $\ k$ ${\ displaystyle \ k}$ ${\ displaystyle \ k}$ este legat de factorul de frecare Fanning $\ f$ ${\ displaystyle \ f}$ $\ f$ (local) din:

k=f{\frac {L}{D}}

{\ displaystyle k = f {\ frac {L} {D}}}

{\ displaystyle k = f {\ frac {L} {D}}}

unde este:

$L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ : lungimea conductei.
$D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ : diametrul echivalent al conductei.

Uneori este indicat numărul Fanning $\ f$ ${\ displaystyle \ f}$ $\ f$ tot cu simbolul $\lambda =4f$ ${\ displaystyle \ lambda = 4f}$ ${\ displaystyle \ lambda = 4f}$

Derivare

Formula poate fi obținută prin teorema lui Buckingham sau din integrarea ecuațiilor Navier-Stokes pentru conductele cu secțiuni circulare.

În primul caz, se ia în considerare căderea de presiune ${\frac {\Delta p}{L}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta p} {L}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta p} {L}}}$ datorită vitezei, densității, vâscozității dinamice , diametrului conductei, rugozității. Prin plasarea empirică a constantei egale cu ½ și identificarea numărului Reynolds $R. Și$ ${\ displaystyle Re}$ ${\ displaystyle Re}$ primesti

${\frac {\Delta p}{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {\rho v^{2}}{D}}Re^{x}\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{y}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta p} {L}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ rho v ^ {2}} {D}} Re ^ {x} \ left ( {\ frac {\ varepsilon} {D}} \ right) ^ {y}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta p} {L}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ rho v ^ {2}} {D}} Re ^ {x} \ left ( {\ frac {\ varepsilon} {D}} \ right) ^ {y}}$

unde x și y sunt parametri necunoscuți; partea dependentă de $R. Și$ ${\ displaystyle Re}$ ${\ displaystyle Re}$ Și $\varepsilon /D$ ${\ displaystyle \ varepsilon / D}$ ${\ displaystyle \ varepsilon / D}$ este coeficientul de frecare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , obținând ecuația Darcy-Weisbach în căderea de presiune.

În al doilea caz, integrarea ecuațiilor Navier-Stokes pentru o mișcare laminară în conductă duce la o expresie a vitezei dependente de cadent . Dacă viteza este constantă, așa cum se întâmplă pentru conductele cu secțiune constantă și fluide incompresibile, căderea este $j={\frac {\Delta H}{L}}$ ${\ displaystyle j = {\ frac {\ Delta H} {L}}}$ ${\ displaystyle j = {\ frac {\ Delta H} {L}}}$ ; prin urmare, inversând expresia vitezei medii, obținem ecuația Darcy-Weisbach în căderea de sarcină ^[1] :

${\frac {\Delta H}{L}}={\frac {\lambda }{D}}{\frac {v^{2}}{2g}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta H} {L}} = {\ frac {\ lambda} {D}} {\ frac {v ^ {2}} {2g}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Delta H} {L}} = {\ frac {\ lambda} {D}} {\ frac {v ^ {2}} {2g}}}$

prin formule adecvate (cum ar fi ecuația Colebrook ) pentru calcularea $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ încasările pot fi extinse la mișcări turbulente. Mai mult, se folosește diametrul echivalent (pentru a generaliza la secțiuni necirculare) $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ în loc de diametru $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ ; pentru secțiuni circulare $D=4R$ ${\ displaystyle D = 4R}$ ${\ displaystyle D = 4R}$ .

Notă

^ Enrico Marchi și Antonello Rubatta, Mecanica fluidelor , Torino, UTET, 1999, p. 275.

Portal de inginerie

Portal mecanic

[1] Enrico Marchi și Antonello Rubatta, Mecanica fluidelor , Torino, UTET, 1999, p. 275.

[1]