Modelul Malthus

Modelul Malthus a fost primul model de dinamică a populației care a fost introdus și este cel mai simplu model de creștere exponențială . Modelul își datorează numele reverendului Thomas Robert Malthus , unul dintre primii care s-a dedicat studiului demografic cu Eseul său pe principiul populației din 1798 .

Model

Modelul Malthus se aplică unei populații izolate de indivizi (care nu interacționează cu alte populații), dotată cu resurse infinite de spațiu și hrană. Variația numărului de indivizi depinde deci exclusiv de numărul de nașteri și decese care apar în unitatea de timp. Ipoteza modelului Malthus este că rata netă de reproducere (adică diferența dintre nașteri și decese pe unitate de timp) este constantă.

Este $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ numărul de indivizi și ambele $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ rata netă de creștere per individ. Putem studia un model discret prin intermediul ecuației

\displaystyle x_{n+1}=x_{n}(1+r)

{\ displaystyle \ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} (1 + r)}

{\ displaystyle \ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} (1 + r)}

sau, presupunând că populația este foarte mare și că timpul de observare este lung, putem considera un model continuu, obținând ecuația diferențială

{\dot {x}}(t)=rx(t)

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = rx (t)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (t) = rx (t)}

În cazul discret, tendința populației este descrisă printr-o progresie geometrică a rațiunii $1+r$ ${\ displaystyle 1 + r}$ ${\ displaystyle 1 + r}$ ,

\displaystyle x_{n+1}=x_{0}(1+r)^{n+1}

{\ displaystyle \ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {0} (1 + r) ^ {n + 1}}

{\ displaystyle \ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {0} (1 + r) ^ {n + 1}}

În cazul continuu, soluția ecuației diferențiale este exponențială

\displaystyle x(t)=x_{0}e^{rt}

{\ displaystyle \ displaystyle x (t) = x_ {0} e ^ {rt}}

{\ displaystyle \ displaystyle x (t) = x_ {0} e ^ {rt}}

În ambele cazuri vedem că dacă $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ populația rămâne constantă (așa cum este rezonabil), dacă $r<0$ ${\ displaystyle r <0}$ ${\ displaystyle r <0}$ populația tinde să dispară, în timp ce dacă $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ populația „explodează” pentru vremuri grozave. Prin urmare, în ultimul caz, modelul este extrem de nerealist, cu toate acestea oferă o bună aproximare pentru perioade scurte în cazul în care populația are resurse abundente. De fapt, un bun acord a fost înregistrat cu datele demografice mondiale în perioada 1700-1961.

Modelul Malthus a fost urmat de modele mai rafinate, cum ar fi modelul de creștere logistică al lui Pierre François Verhulst .

Elemente conexe