Decalaj cosmologic roșu

Deplasarea spre roșu cosmologică (numită și deplasare spre roșu cosmologică ) este deplasarea relativă a frecvenței unei unde electromagnetice datorată expansiunii universului . Inițial schimbarea roșie a fost atribuită efectului Doppler , prin relație

z\approx {\frac {v_{r}}{c}}

{\ displaystyle z \ approx {\ frac {v_ {r}} {c}}}

{\ displaystyle z \ approx {\ frac {v_ {r}} {c}}}

dar observația experimentală a unor quasare caracterizate printr-o schimbare de roșu între 5 și 6 a infirmat această ipoteză. Aproximarea redshift ca efect Doppler este valabilă numai dacă $z\ll 1$ ${\ displaystyle z \ ll 1}$ ${\ displaystyle z \ ll 1}$ . Deplasarea cosmologică spre roșu se explică prin presupunerea că lungimile de undă variază în același mod ca distanțele datorate expansiunii universului. Acest lucru este verificat de teorema redshift.

Ipoteză

Să presupunem că universul se extinde și că toate distanțele variază în funcție de un factor de scară $a(t)$ ${\ displaystyle a (t)}$ $a (t)$ deci putem specula

D=a(t)r

{\ displaystyle D = a (t) r}

{\ displaystyle D = a (t) r}

unde este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este coordonata în mișcare , care este un tip de coordonată care urmărește extinderea universului punct cu punct.

Teorema Redshift

Teorema redshift afirmă că lungimea de undă $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este proporțional cu factorul de scară al universului.

Să luăm în considerare metrica Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}d\phi ^{2})\right]

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -a ^ {2} (t) \ left [{\ frac {dr ^ {2}} {1-kr ^ {2}} } + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} d \ phi ^ {2}) \ right]}

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -a ^ {2} (t) \ left [{\ frac {dr ^ {2}} {1-kr ^ {2}} } + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} d \ phi ^ {2}) \ right]}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este parametrul care identifică cele trei modele Friedman diferite. Acum presupunem că observăm un quasar plasat la o distanță deplină $r_{1}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ $r_1$ de pe pământ (pe care presupunem că îl așezăm la punctul $r=0$ ${\ displaystyle r = 0}$ $r = 0$ ) și sub cele două unghiuri constante $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ Și $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ . În astfel de condiții metrica este redusă la

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a^{2}(t){\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -a ^ {2} (t) {\ frac {dr ^ {2}} {1-kr ^ {2}}}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -a ^ {2} (t) {\ frac {dr ^ {2}} {1-kr ^ {2}}}}

acum având în vedere că observăm o undă electromagnetică trebuie să ne întrebăm $ds^{2}=0$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ obtinerea

{\frac {dt}{a(t)}}=-{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\qquad \quad (1)

{\ displaystyle {\ frac {dt} {a (t)}} = - {\ frac {dr} {\ sqrt {1-kr ^ {2}}}} \ qquad \ quad (1)}

{\ displaystyle {\ frac {dt} {a (t)}} = - {\ frac {dr} {\ sqrt {1-kr ^ {2}}}} \ qquad \ quad (1)}

(rețineți că c a fost setat egal cu 1, iar semnul minus se datorează faptului că, pe măsură ce t crește, r scade, pe măsură ce unda electromagnetică se apropie de pământ cu trecerea timpului).

Acum ar trebui să luăm în considerare două creste consecutive ale undei electromagnetice: prima emisă în același timp $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ și primit în același timp $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , iar al doilea emis în același timp $t_{1}+\delta t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1} + \ delta t_ {1}}$ ${\ displaystyle t_ {1} + \ delta t_ {1}}$ și primit în același timp $t_{0}+\delta t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0} + \ delta t_ {0}}$ ${\ displaystyle t_ {0} + \ delta t_ {0}}$ .

Prin integrarea (1) pentru cele două creste separat, obținem

\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{0}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\equiv F(r_{1})

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {0} ^ {r_ {1}} {\ frac { dr} {\ sqrt {1-kr ^ {2}}}} \ equiv F (r_ {1})}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {0} ^ {r_ {1}} {\ frac { dr} {\ sqrt {1-kr ^ {2}}}} \ equiv F (r_ {1})}

\int _{t_{1}+\delta t_{1}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{0}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {1-kr^{2}}}}\equiv F(r_{1})

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {0} ^ {r_ {1}} {\ frac {dr} {\ sqrt {1-kr ^ {2}}}} \ equiv F (r_ {1})}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {0} ^ {r_ {1}} {\ frac {dr} {\ sqrt {1-kr ^ {2}}}} \ equiv F (r_ {1})}

Deoarece integralele la cel de-al doilea membru sunt egale, putem egala integralele la primul membru al celor două expresii:

\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{t_{1}+\delta t_{1}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}}}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}}}

\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{t_{1}}^{t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}+\int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}-\int _{t_{1}}^{t_{1}+\delta t_{1}}{\frac {dt}{a(t)}}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} { \ frac {dt} {a (t)}} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} {\ frac {dt} {a (t)}}}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {0}} { \ frac {dt} {a (t)}} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} - \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} {\ frac {dt} {a (t)}}}

\int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t_{0}}{\frac {dt}{a(t)}}=\int _{t_{1}}^{t_{1}+\delta t_{1}}{\frac {dt}{a(t)}}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} {\ frac {dt} {a (t)}}}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + \ delta t_ {0}} {\ frac {dt} {a (t)}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {1} + \ delta t_ {1}} {\ frac {dt} {a (t)}}}

În acest moment, luăm în considerare faptul că variația factorului de scară este foarte lentă în timp $({\dot {a}}/a\ll 1)$ ${\ displaystyle ({\ dot {a}} / a \ ll 1)}$ ${\ displaystyle ({\ dot {a}} / a \ ll 1)}$ . Putem considera factorul de scară constant atât în timpul emisiilor celor două creste, cât și în timpul recepției și obținem