Simboluri 3j

Simbolurile 3j, de asemenea , cunoscut sub numele de simboluri Wigner 3J și ca simboluri de 3-jm, sunt funcții care au un domeniu de conținut în mulțimea sextuples de numere semi-întregi și cu valori raționale, care poate fi definit ca variante cu o mai mare simetrie a Coeficienți Clebsch-Gordan :

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} \ equiv {\ frac {(-1) ^ {j_ {1} -j_ {2} -m_ {3}}} {\ sqrt {2j_ {3} +1}}} \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | j_ {3} \, {- m_ {3}} \ rangle.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} \ equiv {\ frac {(-1) ^ {j_ {1} -j_ {2} -m_ {3}}} {\ sqrt {2j_ {3} +1}}} \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | j_ {3} \, {- m_ {3}} \ rangle.}

Aceste simboluri au fost introduse de Eugene Wigner și privesc legăturile dintre reprezentările grupului de rotații .

Reguli de selecție

Simbolul 3 j este diferit de 0 dacă și numai dacă sunt îndeplinite toate condițiile următoare:

\forall i=1,2,3:|m_{i}|\leq j_{i}

{\ displaystyle \ forall i = 1,2,3: | m_ {i} | \ leq j_ {i}}

{\ displaystyle \ forall i = 1,2,3: | m_ {i} | \ leq j_ {i}}

Și

j_{i}-m_{i}

{\ displaystyle j_ {i} -m_ {i}}

{\ displaystyle j_ {i} -m_ {i}}

sunt întregi

m_{1}+m_{2}+m_{3}=0

{\ displaystyle m_ {1} + m_ {2} + m_ {3} = 0}

{\ displaystyle m_ {1} + m_ {2} + m_ {3} = 0}

j_{1}+j_{2}+j_{3}

{\ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}}

{\ displaystyle j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}}

este întreg

|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2}

{\ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} | \ leq j_ {3} \ leq j_ {1} + j_ {2}}

{\ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} | \ leq j_ {3} \ leq j_ {1} + j_ {2}}

.

Relatie inversa

Expresia coeficienților Clebsch-Gordan în simbolurile 3 j se obține observând că j ₁ - j ₂ - m ₃ este un număr întreg și efectuând substituția $m_{3}\rightarrow -m_{3}$ ${\ displaystyle m_ {3} \ rightarrow -m_ {3}}$ ${\ displaystyle m_ {3} \ rightarrow -m_ {3}}$

\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | j_ {3} m_ {3} \ rangle = (- 1) ^ {j_ {1} -j_ {2} + m_ {3}} {\ sqrt {2j_ {3} +1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & - m_ {3} \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle \ langle j_ {1} m_ {1} j_ {2} m_ {2} | j_ {3} m_ {3} \ rangle = (- 1) ^ {j_ {1} -j_ {2} + m_ {3}} {\ sqrt {2j_ {3} +1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & - m_ {3} \ end {pmatrix}}.}

Proprietăți de simetrie

Relațiile de simetrie sunt considerabil mai simple decât cele ale coeficienților Clebsch-Gordan . Un simbol 3 j este invariant pentru orice permutare uniformă a coloanelor sale:

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} j_ {2} & j_ {3} & j_ {1} \\ m_ {2} & m_ {3} & m_ {1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} j_ {3} & j_ {1} & j_ {2} \ \ m_ {3} & m_ {1} & m_ {2} \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} j_ {2} & j_ {3} & j_ {1} \\ m_ {2} & m_ {3} & m_ {1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} j_ {3} & j_ {1} & j_ {2} \ \ m_ {3} & m_ {1} & m_ {2} \ end {pmatrix}}.}

O permutare ciudată a coloanelor implică în schimb o multiplicare cu un factor de fază egal cu $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ :

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {2} & j_ {1} & j_ {3} \\ m_ {2} & m_ {1} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {3} & j_ {2 } \\ m_ {1} & m_ {3} & m_ {2} \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {2} & j_ {1} & j_ {3} \\ m_ {2} & m_ {1} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {3} & j_ {2 } \\ m_ {1} & m_ {3} & m_ {2} \ end {pmatrix}}.}

Schimbarea semnului numerelor cuantice m implică și înmulțirea cu un factor $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ :

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - m_ {1} & - m_ {2} & - m_ {3} \ end {pmatrix}} = ( - 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2 } & m_ {3} \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - m_ {1} & - m_ {2} & - m_ {3} \ end {pmatrix}} = ( - 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2 } & m_ {3} \ end {pmatrix}}.}

Invariant scalar

Contracția produsului a trei stări de rotație cu simbolul 3 j

\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},

{\ displaystyle \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ sum _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} \ sum _ {m_ {3} = - j_ {3}} ^ {j_ {3}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ sum _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} \ sum _ {m_ {3} = - j_ {3}} ^ {j_ {3}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}},}

este invariant sub rotații.

Relațiile de ortogonalitate

$(2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'}.$ ${\ displaystyle (2j + 1) \ sum _ {m_ {1} m_ {2}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j \\ m_ {1} & m_ {2} & m \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j '\\ m_ {1} & m_ {2} & m' \ end {pmatrix}} = \ delta _ { jj '} \ delta _ {mm'}.}$ ${\ displaystyle (2j + 1) \ sum _ {m_ {1} m_ {2}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j \\ m_ {1} & m_ {2} & m \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j '\\ m_ {1} & m_ {2} & m' \ end {pmatrix}} = \ delta _ { jj '} \ delta _ {mm'}.}$

$\sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.$ ${\ displaystyle \ sum _ {jm} (2j + 1) {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j \\ m_ {1} & m_ {2} & m \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j \\ m_ {1} '& m_ {2}' & m \ end {pmatrix}} = \ delta _ {m_ {1} m_ {1 } '} \ delta _ {m_ {2} m_ {2}'}.}$ ${\ displaystyle \ sum _ {jm} (2j + 1) {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j \\ m_ {1} & m_ {2} & m \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j \\ m_ {1} '& m_ {2}' & m \ end {pmatrix}} = \ delta _ {m_ {1} m_ {1 } '} \ delta _ {m_ {2} m_ {2}'}.}$

Exprimarea integralelor de armonici sferice ponderate la rotire

$\int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ int d {\ mathbf {\ hat {n}}} {} _ {s_ {1}} Y_ {j_ {1} m_ {1}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) {} _ {s_ {2}} Y_ {j_ {2} m_ {2}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) {} _ {s_ {3}} Y_ {j_ {3} m_ { 3}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) = (- 1) ^ {m_ {1} + s_ {1}} {\ sqrt {\ frac {(2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_ {3} +1)} {4 \ pi}}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - s_ {1} & - s_ {2} & - s_ {3} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ int d {\ mathbf {\ hat {n}}} {} _ {s_ {1}} Y_ {j_ {1} m_ {1}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) {} _ {s_ {2}} Y_ {j_ {2} m_ {2}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) {} _ {s_ {3}} Y_ {j_ {3} m_ { 3}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) = (- 1) ^ {m_ {1} + s_ {1}} {\ sqrt {\ frac {(2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_ {3} +1)} {4 \ pi}}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - s_ {1} & - s_ {2} & - s_ {3} \ end {pmatrix}}}$

Pentru a utiliza această egalitate, trebuie să verificați convențiile factorului de fază pentru armonici sferice.

Bibliografie

LC Biedenharn și JD Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , volumul 8 din Enciclopedia matematicii, Addison-Wesley, Reading, 1981.
DM Brink și GR Satchler, Angular Momentum , ediția a III-a, Clarendon, Oxford, 1993.
AR Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics , ediția a II-a, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Leonard C. Maximon (2008): Simboluri 3j, 6j, 9j , Capitolul 34 al Bibliotecii digitale NIST a funcțiilor matematice
DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii, The Quantum Theory of Angular Momentum , World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
EP Wigner, Despre matricile care reduc produsele Kronecker ale reprezentărilor grupurilor pur și simplu reduse , nepublicat (1940). Reeditat în: LC Biedenharn și H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum , Academic Press, New York (1965).

Elemente conexe

linkuri externe

Calculatorul coeficientului Wigner al lui Anthony Stone (efectuați calcule simbolice exacte)
Clebsch-Gordan, 3-j și 6-j Coefficient Web Calculator Arhivat 29 septembrie 2007 la Internet Archive . (efectuați calcule numerice)
Calculator de simbol 369j la Laboratorul de plasmă al Institutului de Științe Weizmann (efectuează calcule numerice)