Simboluri 6j

În matematică , simbolurile 6j (sau 6-j ), numite și simboluri Wigner 6j , se referă la valorile asumate de o funcție de șase variabile care pot presupune valori întregi sau semi-întregi (0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, ...).

Au fost introduse de Eugene Paul Wigner în 1940 și publicate în 1965 .

Acestea sunt utilizate în teoria grupurilor (în studiul reprezentărilor grupului de rotații) și în teoria impulsului unghiular (în special în mecanica cuantică ).

Definiție

Acestea sunt strâns legate de coeficienții W ai lui Racah și pot fi definiți ca

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}:=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}}: = (- 1 ) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {4} + j_ {5}} W (j_ {1} j_ {2} j_ {5} j_ {4}; j_ {3} j_ {6} ).}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}}: = (- 1 ) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {4} + j_ {5}} W (j_ {1} j_ {2} j_ {5} j_ {4}; j_ {3} j_ {6} ).}

Relații de simetrie

Simbolurile 6 j , comparativ cu coeficienții W de Racah au avantajul unei simetrii mai mari. Ele sunt invariante pentru toate schimburile de două coloane:

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin { Bmatrix} j_ {2} & j_ {1} & j_ {3} \\ j_ {5} & j_ {4} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {3} & j_ {2} \ \ j_ {4} & j_ {6} & j_ {5} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {3} & j_ {2} & j_ { 1} \\ j_ {6} & j_ {5} & j_ {4} \ end {Bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin { Bmatrix} j_ {2} & j_ {1} & j_ {3} \\ j_ {5} & j_ {4} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {3} & j_ {2} \ \ j_ {4} & j_ {6} & j_ {5} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {3} & j_ {2} & j_ { 1} \\ j_ {6} & j_ {5} & j_ {4} \ end {Bmatrix}}.}

Ele sunt, de asemenea, invariante sub schimbul argumentelor superioare ale oricărei perechi de coloane cu argumentele inferioare corespunzătoare

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin { Bmatrix} j_ {4} & j_ {5} & j_ {3} \\ j_ {1} & j_ {2} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {5} & j_ {6} \ \ j_ {4} & j_ {2} & j_ {3} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {4} & j_ {2} & j_ { 6} \\ j_ {1} & j_ {5} & j_ {3} \ end {Bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin { Bmatrix} j_ {4} & j_ {5} & j_ {3} \\ j_ {1} & j_ {2} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {5} & j_ {6} \ \ j_ {4} & j_ {2} & j_ {3} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {4} & j_ {2} & j_ { 6} \\ j_ {1} & j_ {5} & j_ {3} \ end {Bmatrix}}.}

Simbolul 6 j

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}}}

este diferit de 0 dacă și numai dacă $j_{1}$ ${\ displaystyle j_ {1}}$ $j_ {1}$ , $j_{2}$ ${\ displaystyle j_ {2}}$ $j_ {2}$ Și $j_{3}$ ${\ displaystyle j_ {3}}$ ${\ displaystyle j_ {3}}$ satisfac inegalitatea triunghiulară

j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.

{\ displaystyle j_ {1} = | j_ {2} -j_ {3} |, \ ldots, j_ {2} + j_ {3}.}

{\ displaystyle j_ {1} = | j_ {2} -j_ {3} |, \ ldots, j_ {2} + j_ {3}.}

Această condiție combinată cu proprietățile de simetrie implică faptul că inegalitatea triunghiulară trebuie satisfăcută și de tripluri $(j_{1},j_{5},j_{6})$ ${\ displaystyle (j_ {1}, j_ {5}, j_ {6})}$ ${\ displaystyle (j_ {1}, j_ {5}, j_ {6})}$ , $(j_{4},j_{2},j_{6})$ ${\ displaystyle (j_ {4}, j_ {2}, j_ {6})}$ ${\ displaystyle (j_ {4}, j_ {2}, j_ {6})}$ Și $(j_{4},j_{5},j_{3})$ ${\ displaystyle (j_ {4}, j_ {5}, j_ {3})}$ ${\ displaystyle (j_ {4}, j_ {5}, j_ {3})}$ .

Valori particulare

Cand $j_{6}=0$ ${\ displaystyle j_ {6} = 0}$ ${\ displaystyle j_ {6} = 0}$ simbolul 6j este dat de expresia:

{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & 0 \ end {Bmatrix}} = {\ frac {\ delta _ {j_ {2}, j_ {4}} \ delta _ {j_ {1}, j_ {5}}} {\ sqrt {(2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1)}}} ( - 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} \ Delta (j_ {1}, j_ {2}, j_ {3}).}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & 0 \ end {Bmatrix}} = {\ frac {\ delta _ {j_ {2}, j_ {4}} \ delta _ {j_ {1}, j_ {5}}} {\ sqrt {(2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1)}}} ( - 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} \ Delta (j_ {1}, j_ {2}, j_ {3}).}

Aici folosim funcția $\Delta (j_{1},j_{2},j_{3})$ ${\ displaystyle \ Delta (j_ {1}, j_ {2}, j_ {3})}$ ${\ displaystyle \ Delta (j_ {1}, j_ {2}, j_ {3})}$ egal cu 1 dacă triada $(j_{1},j_{2},j_{3})$ ${\ displaystyle (j_ {1}, j_ {2}, j_ {3})}$ ${\ displaystyle (j_ {1}, j_ {2}, j_ {3})}$ satisface inegalitatea triunghiulară, egală cu 0 în caz contrar. Relațiile de simetrie vă permit să găsiți expresii pentru celelalte simboluri 6j cu un argument nul.

Relația de ortogonalitate

Următoarea relație de ortogonalitate este valabilă, legată de interpretarea simbolurilor ca coeficienți ai modificărilor de bază pentru un spațiu de reprezentare a grupului de rotații:

\sum _{j_{3}=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).

{\ displaystyle \ sum _ {j_ {3} = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} (2j_ {3} +1) {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2 } & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} '\ end {Bmatrix}} = {\ frac {\ delta _ {j_ {6} ^ {} j_ {6}' }} {2j_ {6} + 1}} \ Delta (j_ {1}, j_ {5}, j_ {6}) \ Delta (j_ {4}, j_ {2}, j_ {6}).}

{\ displaystyle \ sum _ {j_ {3} = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} (2j_ {3} +1) {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2 } & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} '\ end {Bmatrix}} = {\ frac {\ delta _ {j_ {6} ^ {} j_ {6}' }} {2j_ {6} + 1}} \ Delta (j_ {1}, j_ {5}, j_ {6}) \ Delta (j_ {4}, j_ {2}, j_ {6}).}

Bibliografie

LC Biedenharn, van Dam, H., The Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers , New York, Academic Press , 1965, ISBN 0-12-096056-7 .

AR Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics , Princeton, New Jersey, Princeton University Press , 1957, ISBN 0-691-07912-9 .

Edward U. Condon, Shortley, GH, Capitolul 3 , în Teoria spectrelor atomice , Cambridge, Cambridge University Press , 1970, ISBN 0-521-09209-4 .
Leonard C. Maximon, 3j, 6j, 9j Symbols , în Frank WJ Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert și Charles W. Clark (ed.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, 2010, ISBN 978 -0521192255 . Adus la 13 septembrie 2017 (arhivat din original la 27 mai 2010) .
Albert Messiah, Mecanica cuantică (volumul II) , 12, New York, North Holland Publishing , 1981, ISBN 0-7204-0045-7 .

DM Brink, Satchler, GR, Capitolul 2 , în Angular Momentum , 3rd, Oxford, Clarendon Press , 1993, ISBN 0-19-851759-9 .

Richard N. Zare, capitolul 2 , în Angular Momentum , New York, John Wiley , 1988, ISBN 0-471-85892-7 .

LC Biedenharn, Louck, JD, Angular Momentum in Quantum Physics , Reading, Massachusetts, Addison-Wesley , 1981, ISBN 0-201-13507-8 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) 6j Symbols, Wolfram Research , la mathworld.wolfram.com .
Calculatorul exact al lui Antony Stone pentru coeficienții Wigner , la www-stone.ch.cam.ac.uk .
Clebsch-Gordan, 3-j și 6-j Coefficient Web Calculator , pe volya.net . Adus la 22 septembrie 2009 (Arhivat din original la 20 decembrie 2012) .
Calculator de simbol 369j la Laboratorul de plasmă al Institutului de Științe Weizmann

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică