Teorema subbazei lui Alexandru

Teorema subbazei (sau prebazei ) lui Alexander este un rezultat important al topologiei, care oferă o condiție necesară pentru compactitatea oricărui spațiu pornind de la comportamentul învelișurilor prebazei.

Introducere

Este $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ un spațiu topologic și ambele ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ baza sa. Se știe că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact dacă fiecare acoperire realizată cu di deschis ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal {B}}$ admite un acoperit finit. Teorema lui Alexandru extinde acest rezultat și la pre-baze. Reamintim că o pre-bază ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ este o colecție deschisă de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât familia intersecțiilor finite a elementelor din ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ este o bază a topologiei pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Observăm că fiecare bază de bază formează o acoperire deschisă a spațiului

Declarație formală și dovadă ^[1]

Este $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ un spațiu topologic e ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ pre-baza sa. Dacă există o acoperire de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din elemente ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ admite atunci un acoperit finit $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact

Procedăm absurd: fie el $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ non-compact și arată că există o suprapunere de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ realizat cu elemente de ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ care nu admite un acoperit finit. Pentru o mai mare claritate, împărțim dovada în doi pași

Primul pas

Dovedim că setul $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ a subfamiliilor din $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ acea acoperire $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dar care nu admit sub-acoperiri finite, ordonate prin includere, au un element maxim ${\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ . Pentru ipoteza absurdă $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ cu siguranță nu este gol. Arătăm că fiecare lanț admite majoritatea, prin urmare existența elementului maxim este o consecință a Lemei lui Zorn . Așa să fie atunci $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ un lanț și hai să vedem asta ${\mathcal {C}}=\bigcup _{{\mathcal {A}}\in C}{\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = \ bigcup _ {{\ mathcal {A}} \ în C} {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} = \ bigcup _ {{\ mathcal {A}} \ în C} {\ mathcal {A}}}$ este o majoritate a $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ : clar, trebuie doar să arăți asta ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal {C}}$ este un element al $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ . Dacă nu, am putea găsi un sub acoperire terminat $\{A_{1},...,A_{n}\}\subset {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {1}, ..., A_ {n} \} \ subset {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {1}, ..., A_ {n} \} \ subset {\ mathcal {C}}}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ; în plus, putem alege ${\mathcal {A}}_{1},...,{\mathcal {A}}_{n}\in C$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1}, ..., {\ mathcal {A}} _ {n} \ în C}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1}, ..., {\ mathcal {A}} _ {n} \ în C}$ astfel încât $A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i} \ în {\ mathcal {A}} _ {i}}$ ${\ displaystyle A_ {i} \ în {\ mathcal {A}} _ {i}}$ pentru fiecare $i=1,...,n$ ${\ displaystyle i = 1, ..., n}$ ${\ displaystyle i = 1, ..., n}$ . De cand $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o parte complet ordonată a $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , putem presupune că este ${\mathcal {A}}_{1}=\max _{1\leq i\leq n}{\mathcal {A}}_{i}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} {\ mathcal {A}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} {\ mathcal {A}} _ {i}}$ și am avea absurdul că $\{A_{1},...,A_{n}\}\subset {\mathcal {A}}_{1}$ ${\ displaystyle \ {A_ {1}, ..., A_ {n} \} \ subset {\ mathcal {A}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ {A_ {1}, ..., A_ {n} \} \ subset {\ mathcal {A}} _ {1}}$ .

Al doilea pas

Arătăm asta ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}}}$ este o acoperire deschisă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : procedând astfel vom găsi o suprapunere realizată cu elemente ale bazei de bază care nu admite subcoperiri finite, fiind ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}\subset {\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}} \ subset {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}} \ subset {\ mathcal {Z}}}$ . Pentru a arăta asta ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}}}$ este o acoperire deschisă a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ trebuie arătat că pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ există un deschis $P\in {\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}} \ cap {\ mathcal {Z}}}$ astfel încât $x\in P$ ${\ displaystyle x \ în P}$ ${\ displaystyle x \ în P}$ . Începem să observăm că există o deschidere $A\in {\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {Z}}}$ astfel încât $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ . Pe de altă parte, ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ este o pre-bază a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât să putem găsi $P_{1},...,P_{n}\in {\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, ..., P_ {n} \ în {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, ..., P_ {n} \ în {\ mathcal {P}}}$ astfel încât $x\in \bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\subset A$ ${\ displaystyle x \ in \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ subset A}$ ${\ displaystyle x \ in \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ subset A}$ . Dacă există $P_{i}\in {\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle P_ {i} \ în {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle P_ {i} \ în {\ mathcal {Z}}}$ am terminat. Altfel pentru fiecare $i=1,...,n$ ${\ displaystyle i = 1, ..., n}$ ${\ displaystyle i = 1, ..., n}$ acoperirea ${\mathcal {Z}}_{i}={\mathcal {Z}}\cup \{P_{i}\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {i} = {\ mathcal {Z}} \ cup \ {P_ {i} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {i} = {\ mathcal {Z}} \ cup \ {P_ {i} \}}$ conține strict ${\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ și nu poate aparține $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ . Urmează, pentru fiecare $i=1,...,n$ ${\ displaystyle i = 1, ..., n}$ ${\ displaystyle i = 1, ..., n}$ , există un acoperit finit $\{P_{i},A_{i,1},...,A_{i,s_{i}}\}$ ${\ displaystyle \ {P_ {i}, A_ {i, 1}, ..., A_ {i, s_ {i}} \}}$ ${\ displaystyle \ {P_ {i}, A_ {i, 1}, ..., A_ {i, s_ {i}} \}}$ cu $A_{i,j}\in {\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle A_ {i, j} \ in {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle A_ {i, j} \ in {\ mathcal {Z}}}$ : atunci ai

$\bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}=\bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\cup \bigcap _{i=1}^{n}\bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}=\bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}{\bigg )}\supseteq \bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}{\bigg )}=\bigcap _{i=1}^{n}X=X$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ cup \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ { i, j} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ cup \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ {i, j} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} {\ bigg (} P_ {i} \ cup \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ {i, j} {\ bigg)} \ supseteq \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} {\ bigg (} P_ {i} \ cup \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ {i, j} {\ bigg)} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} X = X}$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ cup \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ { i, j} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ cup \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ {i, j} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} {\ bigg (} P_ {i} \ cup \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ {i, j} {\ bigg)} \ supseteq \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} {\ bigg (} P_ {i} \ cup \ bigcup _ {j = 1} ^ {s_ {i}} A_ {i, j} {\ bigg)} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} X = X}$

Astfel, un acoperit finit al ${\mathcal {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$ , ceea ce este absurd.

Notă

^ Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

[1] Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

[1]