Teorema lui Bloch (analiză complexă)

Teorema lui Bloch este o teoremă a teoriei funcției (adică a analizei complexe ). Dovada sa a fost dată în 1925 de matematicianul francez André Bloch . Teorema stabilește o limită pentru complexitatea regiunii de imagine a unei funcții holomorfe .

Afirmație

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție holomorfă pe un set deschis și conectat de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ , care include unitatea închisă a discului $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ , ${\overline {B}}(0,1)=\{z\in {\mathbb {C} },|z|\leq 1\}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (0,1) = \ {z \ in {\ mathbb {C}}, | z | \ leq 1 \}}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (0,1) = \ {z \ in {\ mathbb {C}}, | z | \ leq 1 \}}$ .

Să presupunem că este: $f(0)=0$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ $f (0) = 0$ Și $f'(0)=1$ ${\ displaystyle f '(0) = 1}$ ${\ displaystyle f '(0) = 1}$ .

Deci, pentru unele subseturi $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a discului deschis al unității $B(0,1)=\{z\in {\mathbb {C} },|z|<1\}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ {z \ in {\ mathbb {C}}, | z | <1 \}}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ {z \ in {\ mathbb {C}}, | z | <1 \}}$ , functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , Și $f(S)$ ${\ displaystyle f (S)}$ $f (S)$ conține un disc cu rază $1/72$ ${\ displaystyle 1/72}$ ${\ displaystyle 1/72}$ .

Urmări

Este $G\subset {\mathbb {C} }$ ${\ displaystyle G \ subset {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle G \ subset {\ mathbb {C}}}$ un subset deschis și conectat de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ și fie $f\colon G\to {\mathbb {C} }$ ${\ displaystyle f \ colon G \ to {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle f \ colon G \ to {\ mathbb {C}}}$ o funcție holomorfă cu $f'(c)\not =0$ ${\ displaystyle f '(c) \ not = 0}$ ${\ displaystyle f '(c) \ not = 0}$ pentru unii $c\in G$ ${\ displaystyle c \ în G}$ ${\ displaystyle c \ în G}$ . Atunci $f(G)$ ${\ displaystyle f (G)}$ ${\ displaystyle f (G)}$ conține un cartier circular de rază ${\frac {1}{72}}\cdot \rho \cdot f'(c)$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {72}} \ cdot \ rho \ cdot f '(c)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {72}} \ cdot \ rho \ cdot f '(c)}$ , unde este $\rho <d(c,\partial G)$ ${\ displaystyle \ rho <d (c, \ partial G)}$ ${\ displaystyle \ rho <d (c, \ partial G)}$ .

Imaginea unei funcții întregi (adică holomorfe peste tot $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ ) neconstanta, contine cercuri cu raza arbitrar de mare. (Atenție: centrele cercurilor se modifică de obicei împreună cu raza. În general, nu totul este acoperit $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ . De exemplu, ai $\exp(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \left\{0\right\}$ ${\ displaystyle \ exp (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} \ setminus \ left \ {0 \ right \}}$ ${\ displaystyle \ exp (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} \ setminus \ left \ {0 \ right \}}$ ).

Micuța teoremă a lui Picard poate fi dovedită cu teorema lui Bloch, dacă nu se dorește recurgerea la rezultatele teoriei uniformizării.

Constanta Bloch

Valoarea celui mai mare vecinătate circular posibil pentru care este satisfăcută proprietatea injectivă a lui f are limita inferioară de 1/72, care însă nu este cea mai bună posibilă. Valoarea sa exactă, numită „constanta Bloch”, este încă necunoscută.

Bloch însuși a presupus că așa este $r>{\frac {1}{72}}$ ${\ displaystyle r> {\ frac {1} {72}}}$ ${\ displaystyle r> {\ frac {1} {72}}}$ .

Ambele definesc, pentru $f:{\overline {\mathbb {E} }}\rightarrow \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: {\ overline {\ mathbb {E}}} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: {\ overline {\ mathbb {E}}} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ capătul superior al tuturor razelor posibile ale discurilor (cele circulare) conținute în $f(\mathbb {E} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbb {E})}$ ${\ displaystyle f (\ mathbb {E})}$ , care sunt imagini biolomorfe ale unei subdiviziuni a $\mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$ , următorul subiect:

b(f):=\sup \left\{r\in \mathbb {R} ^{+}\,:\,\exists \,S\subseteq \mathbb {E} ,w\in f(\mathbb {E} )\colon f(S)=B(w,r)\ \mathrm {e} \ f|_{S}\ \mathrm {biolomorfa} \right\}

{\ displaystyle b (f): = \ sup \ left \ {r \ in \ mathbb {R} ^ {+} \ ,: \, \ exists \, S \ subseteq \ mathbb {E}, w \ in f ( \ mathbb {E}) \ colon f (S) = B (w, r) \ \ mathrm {e} \ f | _ {S} \ \ mathrm {biolomorph} \ right \}}

{\ displaystyle b (f): = \ sup \ left \ {r \ in \ mathbb {R} ^ {+} \ ,: \, \ exists \, S \ subseteq \ mathbb {E}, w \ in f ( \ mathbb {E}) \ colon f (S) = B (w, r) \ \ mathrm {e} \ f | _ {S} \ \ mathrm {biolomorph} \ right \}}

.

Constanta Bloch $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este apoi definit ca

B:=\inf \left\{b(f)\,:\,f:{\overline {\mathbb {E} }}\rightarrow \mathbb {C} {\mbox{ olomorfa}}\right\}

{\ displaystyle B: = \ inf \ left \ {b (f) \ ,: \, f: {\ overline {\ mathbb {E}}} \ rightarrow \ mathbb {C} {\ mbox {holomorphic}} \ right \}}

{\ displaystyle B: = \ inf \ left \ {b (f) \ ,: \, f: {\ overline {\ mathbb {E}}} \ rightarrow \ mathbb {C} {\ mbox {holomorphic}} \ right \}}

Valoarea exactă a constantei Bloch este încă necunoscută, cu toate acestea sunt cunoscute următoarele estimări:

0,43...={\frac {\sqrt {3}}{4}}+2\cdot 10^{-4}<B\leq {\frac {\Gamma (1/3)\cdot \Gamma (11/12)}{\Gamma (1/4)\cdot {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}}}=0,47...

{\ displaystyle 0,43 ... = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} + 2 \ cdot 10 ^ {- 4} <B \ leq {\ frac {\ Gamma (1/3) \ cdot \ Gamma (11/12)} {\ Gamma (1/4) \ cdot {\ sqrt {1 + {\ sqrt {3}}}}}} = 0,47 ...}

{\ displaystyle 0,43 ... = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} + 2 \ cdot 10 ^ {- 4} <B \ leq {\ frac {\ Gamma (1/3) \ cdot \ Gamma (11/12)} {\ Gamma (1/4) \ cdot {\ sqrt {1 + {\ sqrt {3}}}}}} = 0,47 ...}

Limita superioară a fost găsită de LV Ahlfors și H. Grunsky în 1937. Ei au presupus că această limită nu corespunde cu valoarea reală. Chiar și această afirmație nu a fost dovedită până acum.

Bibliografie

Albert II Baernstein, Jade P. Vinson: Minimitate locală rezultă la constantele Bloch și Landau în: mapări și analize cvasiconformale , Springer, New York 1998

André Bloch: Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et laorie de uniformisation . în: Annales de la faculté des sciences de l'Université de Toulouse . Série 3. 17/1925, S. 1-22, ISSN 0240-2963

linkuri externe

Bloch: Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et laorie de uniformisation. (pdf) im Online-Archiv http://archive.numdam.org/

( RO ) Text matematic detaliat despre constanta Bloch.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică