Fiabilitate în două terminale

Cu fiabilitatea cu două terminale , în fiabilitatea italiană a două noduri , definim probabilitatea ca două noduri (s, t) să poată comunica pentru un anumit timp t.

Există mai multe metode aplicabile pentru calculul său și toate sunt ulterior incluse în fiabilitatea All terminal .

Enumerarea spațiului de stat

Fig. 1, exemplu de model de rețea

Fără îndoială, cea mai simplă metodă (precum și cea mai puțin eficientă, cu siguranță, pentru aplicarea la cazuri reale) pentru calcularea fiabilității comunicării dintre două noduri constă în enumerarea tuturor combinațiilor posibile de arce și luarea în considerare a acestor funcționări sau a neefuncționării. Rezultatul ar fi deci un tabel care conține combinații de arce în stările lor diferite și fiecare dintre acestea ar reprezenta un eveniment care, prin definiție, se exclude reciproc cu fiecare dintre celelalte evenimente enumerate.

Astfel definit spațiul evenimentelor , fiabilitatea se dovedește a fi probabilitatea ca oricare dintre evenimentele care permit comunicarea setului de anunțuri să aibă loc, rezultând unirea probabilității ca fiecare eveniment în cauză să aibă loc. Pentru claritate, referindu-ne la rețeaua simplă reprezentată de graficul din [Fig. 1], tabelul corespunzător al $2^{4}$ ${\ displaystyle 2 ^ {4}}$ $2 ^ {4}$ evenimentele ar fi, adică cu este arcul care nu funcționează:

Tabelul evenimentelor menționat în Fig. 1

După cum este derivabil din tabelul de mai sus, apariția anumitor evenimente determină d, c să nu comunice: acestea sunt, în special, [E5, E6, E8, ..., E16], în care nu este posibilă nicio cale pentru a aduce informații din d până la c.

Deoarece analiza vizează comunicarea dintre nodurile c și d, este clar că orice eveniment care exclude d, adică orice eveniment în care arcul 4 eșuează, întrerupe în mod eficient comunicarea datorită topologiei în care a fost concepută rețeaua. .

Prin urmare, fiabilitatea este pur și simplu suma probabilității unirii fiecărui eveniment care permite comunicarea să apară, prin urmare:

$R_{cd}=P(E_{1}+E_{2}+E_{3}+E_{4}+E_{7})\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = P (E_ {1} + E_ {2} + E_ {3} + E_ {4} + E_ {7}) \,}$ $R_ {cd} = P (E_1 + E_2 + E_3 + E_4 + E_7) \,$

și întrucât fiecare eveniment se exclude reciproc, acesta se dovedește a fi suma probabilităților unice ale fiecărui eveniment (deoarece intersecția (a se vedea Principiul includerii-excluderii ) evenimentelor în acest caz este nulă):

$R_{cd}=P(E_{1})+P(E_{2})+P(E_{3})+P(E_{4})+P(E_{7})\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = P (E_ {1}) + P (E_ {2}) + P (E_ {3}) + P (E_ {4}) + P (E_ {7}) \,}$ $R_ {cd} = P (E_1) + P (E_2) + P (E_3) + P (E_4) + P (E_7) \,$

Astfel, presupunând că probabilitatea de funcționare a unui arc (și, prin urmare, și cea de rupere) este aceeași pentru fiecare dintre ele și fixarea acestuia la p = 0,94 (q = 1-0,94 = 0,06), înlocuind în formula indicată mai sus este obținut

$R_{cd}=p^{4}+3qp^{3}+q^{2}p^{2}=0,94^{4}+3*0,06*0,94^{3}+0,06^{2}*0,94^{2}=0,93343504\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = p ^ {4} + 3qp ^ {3} + q ^ {2} p ^ {2} = 0,94 ^ {4} + 3 * 0,06 * 0,94 ^ {3} + 0,06 ^ { 2} * 0,94 ^ {2} = 0,93343504 \,}$ $R_ {cd} = p ^ 4 + 3qp ^ 3 + q ^ 2p ^ 2 = 0,94 ^ 4 + 3 * 0,06 * 0,94 ^ 3 + 0,06 ^ 2 * 0,94 ^ 2 = 0, 93343504 \,$

Deși calculul în acest caz este relativ simplu, atât din cauza numărului mic de arce, cât și a tipului particular de rețea care simplifică de fapt spațiul evenimentelor pozitive, este imediat să înțelegem cum această abordare este complet inadecvată dintr-o perspectivă în care există o rețea reală sau chiar pur și simplu mai complexă decât aceasta. Deja cu doar 10 arce, seria care urmează să fie analizată ar include 1024 evenimente, care sunt greu de gestionat cu stilou și hârtie. Cu toate acestea, într-o perspectivă a aplicației reale pe o rețea fizică, numărul arcurilor ar fi mult mai mare, aducând complexitatea (care în acest caz este exponențială, deoarece analizăm $2^{e}$ ${\ displaystyle 2 ^ {e}}$ $2 ^ e$ evenimente, făcând problema complexității O ( $2^{e}$ ${\ displaystyle 2 ^ {e}}$ $2 ^ e$ )) la niveluri prea ridicate pentru o implementare practică, chiar dacă automatizată.

Metode cu seturi de tăiere / cravată

Metode cu setul de tăiere și cravată

O posibilă metodă de reducere a complexității în raport cu cazul analizei anterioare este reprezentată de calculul fiabilității pe baza seturilor minime de tăiere și legătură.

Într-un grafic, seturile de legături sunt un grup de arcuri a căror prezență garantează conexiunea între două noduri s, t. Pe de altă parte, un set de tăiere este definit ca un grup de arce care, dacă nu sunt prezente, împiedică efectiv orice conexiune între cele două noduri analizate. Se poate spune că ambele sunt minime dacă nu conțin niciun set de tăieturi / cravate.

Dacă analiza trebuie să se concentreze pe seturi de egalitate , fiabilitatea este probabilitatea ca seturile de egalitate să se îmbine:

$R_{st}=P(T_{1}+T_{2}+..+T_{i})\,$ ${\ displaystyle R_ {st} = P (T_ {1} + T_ {2} + .. + T_ {i}) \,}$ $R_ {st} = P (T_1 + T_2 + .. + T_i) \,$

în timp ce pentru seturile tăiate este:

$R_{st}=1-P(C_{1}+C_{2}+..+C_{l})\,$ ${\ displaystyle R_ {st} = 1-P (C_ {1} + C_ {2} + .. + C_ {l}) \,}$ $R_ {st} = 1-P (C_1 + C_2 + .. + C_l) \,$

Tabelul seturilor minime Tie / Cut pentru perechea (d, c) din graficul din [Fig.1] este:

Tabelul evenimentelor menționat în Fig. 1

Din nou, având în vedere simplitatea rețelei și lipsa conexiunilor între noduri, istoricul cazurilor nu este atât de mare. În mod normal, ar fi recomandabil să faceți o alegere între setul cel mai convenabil, dar în acest caz diferența este cu adevărat minimă în ceea ce privește calculul. Din acest motiv, ambele cazuri vor fi dezvoltate, de asemenea, pentru a avea o contra-dovadă a corectitudinii calculelor celeilalte și a primei metode.

Să începem cu seturile de egalitate [T1, T2]. Acestea sunt compuse din arcurile 4; 2 și 4; 1; 3: fiind seturi de cravată, metoda care trebuie utilizată este

$R_{cd}=P(T_{1}+T_{2})\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = P (T_ {1} + T_ {2}) \,}$ $R_ {cd} = P (T_1 + T_2) \,$

$R_{cd}=P(42+413)\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = P (42 + 413) \,}$ $R_ {cd} = P (42 + 413) \,$

$R_{cd}=P(42)+P(413)-P(1234)\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = P (42) + P (413) -P (1234) \,}$ $R_ {cd} = P (42) + P (413) -P (1234) \,$

din nou, presupunând că toate arcele au aceeași probabilitate de funcționare (p = 0,94):

$R_{cd}=p^{2}+p^{3}-p^{4}=0,93343504\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = p ^ {2} + p ^ {3} -p ^ {4} = 0,93343504 \,}$ $R_ {cd} = p ^ 2 + p ^ 3-p ^ 4 = 0,93343504 \,$

care evident este același rezultat obținut anterior folosind spațiul de evenimente pentru calculul fiabilității.

O verificare suplimentară este posibilă refăcând calculul folosind seturile de tăiere , înlocuind astfel acest caz în formulă

$R_{cd}=1-P(C_{1}+C_{2}+C_{3})$ ${\ displaystyle R_ {cd} = 1-P (C_ {1} + C_ {2} + C_ {3})}$ $R_ {cd} = 1-P (C_1 + C_2 + C_3)$

$R_{cd}=1-P(4'+1'2'+2'3')$ ${\ displaystyle R_ {cd} = 1-P (4 '+ 1'2' + 2'3 ')}$ $R_ {cd} = 1-P (4 '+ 1'2' + 2'3 ')$

$R_{cd}=1-[P(4')+P(1'2')+P(2'3')]-[P(1'2'4')+P(2'3'4')+P(1'2'3')]+[P(1'2'3'4')]$ ${\ displaystyle R_ {cd} = 1- [P (4 ') + P (1'2') + P (2'3 ')] - [P (1'2'4') + P (2'3 '4') + P (1'2'3 ')] + [P (1'2'3'4')]}$ $R_ {cd} = 1- [P (4 ') + P (1'2') + P (2'3 ')] - [P (1'2'4') + P (2'3'4 ' ) + P (1'2'3 ')] + [P (1'2'3'4')]$

$R_{cd}=1-[q+2*q^{2}]-[3*q^{3}]+[q^{4}]=0,93343504\,$ ${\ displaystyle R_ {cd} = 1- [q + 2 * q ^ {2}] - [3 * q ^ {3}] + [q ^ {4}] = 0.93343504 \,}$ $R_ {cd} = 1- [q + 2 * q ^ 2] - [3 * q ^ 3] + [q ^ 4] = 0.93343504 \,$

care, încă o dată, corespunde perfect rezultatului obținut anterior cu seturile de egalitate și prin enumerarea evenimentelor, confirmându-i corectitudinea.

Deși metoda descrisă mai sus este mai rapidă decât enumerarea, deoarece cazurile care trebuie dezvoltate sunt i <și, cu i cel mai mic dintre numărul de repere și seturi de legături și e numărul de arce, problema complexității rețelei rămâne deosebit de complexă.

De fapt, nu este complicat să ne imaginăm un grafic al cărui i este oricum prea mare pentru le $2^{i}$ ${\ displaystyle 2 ^ {i}}$ $2 ^ i$ se analizează combinații. Mai mult, nu trebuie să uităm de complexitatea algoritmilor pentru găsirea seturilor de tăieturi și legături, care este de ordin polinomial; în orice caz, complexitatea problemei calculării fiabilității cu această metodă este dominată de complexitatea includerii-excluderii, care este tocmai exponențială [O ( $2^{i}$ ${\ displaystyle 2 ^ {i}}$ $2 ^ i$ )].

Ceea ce este posibil să faceți în acest moment este să vă mulțumiți cu o precizie de calcul mai mică, dar totuși foarte realistă, susținută de un control al procentului de eroare care indică bunătatea aproximării.

Această aproximare se poate face în trei moduri diferite:

Eliminarea termenilor mai puțin semnificativi ai extinderii expresiei seturilor de tăiere / cravată
Eliminarea seturilor mai puțin semnificative de tăiere / cravată
Folosind ambele aproximări anterioare.

Bibliografie

Fiabilitatea sistemelor și rețelelor informatice - Toleranță, analiză și proiectare la defecțiuni (Martin L. Shooman), ed. Echipa Fly

Elemente conexe