Nod (matematică)

Nodul de trifoi .

Videoclip care arată crearea nodului 6₂

În matematică și mai exact în topologie , un nod este o curbă simplă închisă în spațiul tridimensional. Acest obiect matematic modelează un nod de coardă foarte fin, ale cărui capete au fost lipite.

Pentru a evita patologiile, nodul este, în general, presupus a fi o curbă diferențiată . Două noduri sunt considerate echivalente dacă sunt conectate printr-o izotopie . Izotopia este o mișcare continuă a nodului care (spre deosebire de homotopie ) necesită ca nodul „să rămână așa” în fiecare moment și, prin urmare, realizează ideea fizică a unui nod în spațiu, care nu poate fi „dezlegat” fără a fi tăiat și re -lipit.

Ramura topologiei care studiază nodurile este teoria nodurilor. Această teorie are aplicații în fizică , chimie și biologie .

Definiție

Deși intuitivă, definiția matematică a unui nod are câteva subtilități minore. În esență, pot fi alese două căi, care sunt echivalente. Primul este următorul.

Un nod este o linie întreruptă închisă, fără intersecții în spațiu. Două noduri sunt echivalente dacă pot fi obținute unul de celălalt prin mișcări elementare. O mișcare elementară constă în înlocuirea unei părți a liniei întrerupte cu două segmente, astfel încât cele trei segmente formează un triunghi a cărui parte internă este separată de nod.

Această definiție are un caracter combinator și poliedric . Următorul folosește în schimb calculul infinitesimal .

Un nod este o varietate diferențiată conectată a dimensiunii 1 în spațiu. Două noduri sunt echivalente dacă există o izotopie diferențiată care le conectează.

Două noduri, reprezentate ca închise rupte, sunt echivalente dacă pot fi obținute unul de la altul folosind triunghiuri ca în figură.

O modalitate care nu poate fi urmărită este de a defini un nod pur și simplu ca imaginea unei funcții continue din circumferința în spațiu și de a considera două noduri ca echivalente dacă sunt conectate prin izotopie. Cu această definiție, toate nodurile ar fi echivalente! Prin urmare, este necesar, pentru a obține o teorie interesantă, pentru a utiliza linii întrerupte sau curbe diferențiate (și izotopii).

Sferă și spațiu tridimensional

Din diverse motive, matematicieni preferă să ia în considerare nodul cufundat în tridimensional hipersfere , obținut prin simpla adăugare „punctul de la infinit“ la euclidiană trei - dimensional spațiu . Această operație de „adăugare a unui punct la infinit” corespunde unei generalizări a proiecției stereografice într-o dimensiune arbitrară și este un caz particular al compactificării lui Alexandrov . Așa cum sugerează acest termen, acest tip de operație are avantajul de a face spațiul spațiului compact prin simpla adăugare a unui punct.

Pentru multe considerații, prezența sau absența acestui punct la infinit nu are niciun efect asupra problemei. De exemplu, nu schimbă definiția unui nod și nici echivalența dintre ele (deoarece se poate presupune că fiecare izotopie „evită” punctul la infinit).

Diagrame și clasificare

Nodul banal este cel slab.

Cifra opt nod este al doilea nod după numărul de treceri, după nodul trifoi.

Un nod este de obicei descris prin intermediul unei diagrame , adică un desen în plan cu unele intersecții. Evident, este important să specificați pentru fiecare intersecție care dintre cele două benzi este cea care „trece peste”.

Același nod poate fi descris printr-o infinitate de diagrame diferite. Numărul de traversări necesare pentru a descrie un nod este o măsură utilizată pentru a descrie complexitatea acestuia: tabele de noduri cu un număr tot mai mare de traversări au apărut de la sfârșitul secolului al XIX-lea . O problemă fundamentală în aceste tabele este următoarea: când două diagrame identifică același nod?

Teoria nodurilor se ocupă de această problemă de mult timp și se poate spune că nici acum nu există un răspuns satisfăcător, adică nu există încă un algoritm rapid care să răspundă pe scurt la această întrebare.

Generalizări

Un nod poate fi descris ca o hartă

S^{1}\to S^{3}\,\!

{\ displaystyle S ^ {1} \ to S ^ {3} \, \!}

{\ displaystyle S ^ {1} \ to S ^ {3} \, \!}

din circumferință $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ (adică o sferă 1-dimensională) în sfera 3-dimensională $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ . Mai general, un nod $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -dimensional este o funcție

S^{k}\to S^{k+2}.\,\!

{\ displaystyle S ^ {k} \ to S ^ {k + 2}. \, \!}

{\ displaystyle S ^ {k} \ to S ^ {k + 2}. \, \!}

Ca și în cazul unidimensional, se presupune în general că funcția este diferențiată și că două noduri care sunt conectate printr-o izotopie sunt considerate echivalente.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe nod

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică