Opt noduri

nodul din figura opt poate fi reprezentat printr-o diagramă cu 4 încrucișări.

În matematică și mai precis în teoria nodurilor , nodul la opt (sau figura opt, tradus literal din expresia engleză) este nodul mai ușor după nodul trifoi .

Cele opt noduri au jucat un rol crucial în studiul varietăților tridimensionale la sfârșitul anilor 1970 , când matematicianul William Thurston a construit o structură spațială hiperbolică pe complementara sa.

Numele nodului este derivat din nomenclatura adoptată pentru opt și opt noduri repassate , utilizate în alpinism .

Definiție

Reprezentarea tridimensională a figurii opt.

Cifra de opt poate fi descrisă de curba în spațiu

f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle f: [0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

{\ displaystyle f: [0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

f(\theta )=\left((2+\cos(2\theta ))\cos(3\theta ),2+cos(2\theta ))\sin(3\theta ),\sin(4\theta )\right).

{\ displaystyle f (\ theta) = \ left ((2+ \ cos (2 \ theta)) \ cos (3 \ theta), 2 + cos (2 \ theta)) \ sin (3 \ theta), \ sin (4 \ theta) \ dreapta).}

{\ displaystyle f (\ theta) = \ left ((2+ \ cos (2 \ theta)) \ cos (3 \ theta), 2 + cos (2 \ theta)) \ sin (3 \ theta), \ sin (4 \ theta) \ dreapta).}

Nodul este singurul care poate fi reprezentat cu o diagramă cu 4 intersecții, dar nu cu un număr mai mic de intersecții.

Proprietate

Nodul cifrei opt are multe diferențe cu nodul trifoiului :

nu este un nod toric ;
pe aversul său (în sfera $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ ) este posibil să se atribuie o metrică care îl face un spațiu hiperbolic ;
nu este chirală : imaginea reflectată a nodului cifrei opt este echivalentă cu nodul în sine.

Datorită nodului cifrei opt și a lucrărilor importante ale lui William Thurston ^[1] , a fost posibil să se construiască o infinitate de varietăți hiperbolice tridimensionale. Multe noduri au complementul hiperbolic: complementul nodului din figura opt este, printre acestea, cel cu cel mai mic volum , egal cu 2,02988 ... ^[2] . Complementarea nodului este întotdeauna menționată în sfera tridimensională $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ , obținut prin adăugarea „punctului la infinit” la spațiul tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ .

În alte forme:

Notă

^(EN) William Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds , note de prelegere ale Universității Princeton (1978-1981).
^(EN) Chun Cao și Robert Meyerhoff, The-directional cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume, Inventiones Mathematicae, 146 (2001), nr. 3, 451–478.

Elemente conexe

Nod de trifoi

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un nod de opt

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) William Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds , note de prelegere ale Universității Princeton (1978-1981).

[2] (EN) Chun Cao și Robert Meyerhoff, The-directional cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume, Inventiones Mathematicae, 146 (2001), nr. 3, 451–478.

[1]

[2]