Nod toric

Un nod toric, specificat de parametrul (3,7).

În matematică și mai precis în teoria nodurilor , un nod toric este un tip de nod , conținut în suprafața torului . Mai general, o legătură torică este o legătură conținută în suprafața torică.

Nomenclatură

O legătură torică este identificată printr-o pereche de numere întregi $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle (p, q)}$ : perechea indică faptul că link-ul „se transformă” $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ de-a lungul „meridianului” taurului e $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ de-a lungul „longitudinii”. Legătura este de fapt un nod (adică are o singură componentă conectată ) dacă $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle (p, q)}$ sunt coprimi întregi .

Diagrama nodului toric

(3,8)

{\ displaystyle (3,8)}

{\ displaystyle (3,8)}

.

Un nod de tip $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle (p, q)}$ poate fi descris concret ca o curbă în spațiu după cum urmează:

f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle f: [0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

{\ displaystyle f: [0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ {3}}

f(\theta )=\left(\left(2+\cos \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right)\cos \phi ,\left(2+\cos \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right)\sin \phi ,\sin \left({\frac {q\phi }{p}}\right)\right).

{\ displaystyle f (\ theta) = \ left (\ left (2+ \ cos \ left ({\ frac {q \ phi} {p}} \ right) \ right) \ cos \ phi, \ left (2+ \ cos \ left ({\ frac {q \ phi} {p}} \ right) \ right) \ sin \ phi, \ sin \ left ({\ frac {q \ phi} {p}} \ right) \ right ).}

{\ displaystyle f (\ theta) = \ left (\ left (2+ \ cos \ left ({\ frac {q \ phi} {p}} \ right) \ right) \ cos \ phi, \ left (2+ \ cos \ left ({\ frac {q \ phi} {p}} \ right) \ right) \ sin \ phi, \ sin \ left ({\ frac {q \ phi} {p}} \ right) \ right ).}

Curba se află în torul determinat de ecuația în coordonate cilindrice :

(r-2)^{2}+z^{2}=1.

{\ displaystyle (r-2) ^ {2} + z ^ {2} = 1.}

{\ displaystyle (r-2) ^ {2} + z ^ {2} = 1.}

Nodul toric $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle (p, q)}$ este banal dacă și numai dacă unul dintre cele două numere întregi $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este egal cu 1. Cel mai simplu exemplu de nod toric non-trivial este, prin urmare, dat de cuplu $(2,3)$ ${\ displaystyle (2,3)}$ $(2.3)$ : acesta este nodul de trifoi .

Proprietate

Fiecare nod toric este prim . Nodurile $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle (p, q)}$ Și $(q,p)$ ${\ displaystyle (q, p)}$ ${\ displaystyle (q, p)}$ sunt echivalente.

Complementarul nodului toric $(p,q)$ ${\ displaystyle (p, q)}$ ${\ displaystyle (p, q)}$ are grup fundamental determinat de prezentare

\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .

{\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {p} = y ^ {q} \ rangle.}

{\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {p} = y ^ {q} \ rangle.}

Acest grup are un centru nontrivial, izomorf pentru grup $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ dintre numerele întregi , generate de element $x^{p}=y^{q}$ ${\ displaystyle x ^ {p} = y ^ {q}}$ ${\ displaystyle x ^ {p} = y ^ {q}}$ . Nodurile torice sunt singurele noduri al căror grup fundamental are un centru non-trivial.

Bibliografie

( EN ) Dale Rolfsen (1976). Noduri și legături . Berkeley: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-16-0 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică