copac minim plafonare

In teoria grafurilor , dat un grafic cu arce cântărit, l „acoperire minimă cost minim acoperă (arbore minim se întinde, MST) copac sau copac ^[1] este un arbore de acoperire în care se obține o valoare minimă însumarea ponderile arcelor.

Definiție formală

Având în vedere un grafic $G=(N,A)$ ${\ Displaystyle G = (N, A)}$ ${\ Displaystyle G = (N, A)}$ nu orientate, conectate și cântărite și presupunând că $w(u,v)\in \mathbb {R} ^{+}$ ${\ Displaystyle w (u, v) \ în \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle w (u, v) \ în \ mathbb {R} ^ {+}}$ este o greutate de funcție $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Un MST pentru $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un set de arce astfel încât: ^[2]

w(MST)=\min _{MST\in S}\sum _{(u,v)\in MST}w(u,v)

{\ Displaystyle w (MST) = \ min _ {MST \ în S} \ sum _ {(u, v) \ în MST} w (u, v)}

{\ Displaystyle w (MST) = \ min _ {MST \ în S} \ sum _ {(u, v) \ în MST} w (u, v)}

.

Unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este mulțimea tuturor copaci care acoperă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , Adică mulțimea tuturor subgrafurilor sale care îndeplinesc următoarele condiții:

$T\subseteq A$ ${\ Displaystyle T \ subseteq A}$ ${\ Displaystyle T \ subseteq A}$ , asa de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ conține doar o parte a arcadelor originale, cel puțin toate dintre ele, dar nu mai mult.
$(N,T)$ ${\ Displaystyle (N, T)}$ ${\ Displaystyle (N, T)}$ este conectat : nodurile sunt toate conectate între ele.

Model matematic

Având în vedere un grafic $G=(N,A)$ ${\ Displaystyle G = (N, A)}$ ${\ Displaystyle G = (N, A)}$ nu orientat și asociate cu costuri $c_{i,j}$ ${\ C_ displaystyle {i, j}}$ ${\ C_ displaystyle {i, j}}$ asociate cu arce și vectorul fluxurilor de pe arce $x_{i,j}={\begin{cases}1&{\text{se l'albero contiene l'arco }}(i,j)\\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$ ${\ Displaystyle X_ {i, j} = {\ begin {1} cazuri & {\ text {dacă arborele conține arcul}} (i, j) \\ 0 & {\ text {alt}} \ end {cazuri }}}$ ${\ Displaystyle X_ {i, j} = {\ begin {1} cazuri & {\ text {dacă arborele conține arcul}} (i, j) \\ 0 & {\ text {alt}} \ end {cazuri }}}$ .

Un arbore cost minim Spanning (MST) este soluția următorului model matematic ^[3]

${\begin{aligned}&min\sum _{(i,j)\in A}c_{ij}x_{ij}\\&\sum _{(i,j)\in A}x_{ij}=n-1&{\text{(vincolo grafo connesso)}}\\&\sum _{i\in S,j\in S}x_{ij}\leqslant |S|-1\qquad \forall S\subseteq A,|S|\geqslant 3&{\text{(vincolo assenza di cicli nel grafo)}}\\\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & min \ sum _ {(i, j) \ în A} C_ {ij} X_ {ij} \\ & \ sum _ {(i, j) \ în A} X_ { ij} = n-1 {\ text {(graficul constrîngere conectat)}} \\ & \ sum _ {i \ în S, j \ în S} X_ {ij} \ leqslant | S | -1 \ prototipurilor \ forall S \ subseteq a | S | \ geqslant 3 & {\ text {(absența constrângerii ciclurilor în grafic)}} \\\ end {aliniat}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & min \ sum _ {(i, j) \ în A} C_ {ij} X_ {ij} \\ & \ sum _ {(i, j) \ în A} X_ { ij} = n-1 {\ text {(graficul constrîngere conectat)}} \\ & \ sum _ {i \ în S, j \ în S} X_ {ij} \ leqslant | S | -1 \ prototipurilor \ forall S \ subseteq a | S | \ geqslant 3 & {\ text {(absența constrângerii ciclurilor în grafic)}} \\\ end {aliniat}}}$

Unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este setul de arcuri care alcătuiesc arborele de acoperire $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și are următoarele proprietăți:

este un subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (Set de arce ale grafului)
cardinalitatea acestui set trebuie să fie cel puțin egală cu 3 (din moment ce un ciclu nu poate fi creat cu mai puțin de 3 elemente într - un set)

Constrângerea privind absența ciclurilor în graficul poate fi exprimat folosind conceptul de tăiere într - un grafic. A doua constrângere a modelului va deveni:

${\begin{aligned}&\sum _{i\in S,j\notin S}x_{ij}+\sum _{i\notin S,j\in S}x_{ij}\geqslant 1\qquad \forall S\subseteq N&{\text{(vincolo nodi connessi)}}\\\end{aligned}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ sum _ {i \ în S, j \ notin S} X_ {ij} + \ sum _ {i \ notin S, j \ în S} X_ {ij} \ geqslant 1 \ prototipurilor \ forall S \ subseteq N & {\ text {(nod constrângere conectat)}} \\\ end {aliniat}}}$ ${\ Displaystyle {\ begin {aliniat} & \ sum _ {i \ în S, j \ notin S} X_ {ij} + \ sum _ {i \ notin S, j \ în S} X_ {ij} \ geqslant 1 \ prototipurilor \ forall S \ subseteq N & {\ text {(nod constrângere conectat)}} \\\ end {aliniat}}}$

condiţii de optimalitate

Cel mai mic arbore de acoperire a costurilor $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ obținut prin aplicarea unui algoritm de soluție este excelent dacă respectă următoarele condiții:

pe cicluri: $T{\text{ e' un albero di copertura di costo minimo}}\qquad \Leftrightarrow \qquad \forall {\text{(u,v)}}\notin T\qquad c_{u,v}\geq c_{i,j}\ \forall (i,j)\in {\text{cammino da u a v in T}}$ ${\ T displaystyle {\ text {este un arbore$ de $cost minim$ care $acoperă}} \ prototipurilor \ Leftrightarrow \ prototipurilor \ forall {\ text {(u, v)}} \ notin T \ prototipurilor C_ {u, v} \ geq C_ { i, j} \ \ forall (i, j) \ în {\ text {am mers$ de $la u la v în T}}}$ ${\ T displaystyle {\ text {este un arbore de cost minim care acoperă}} \ prototipurilor \ Leftrightarrow \ prototipurilor \ forall {\ text {(u, v)}} \ notin T \ prototipurilor C_ {u, v} \ geq C_ { i, j} \ \ forall (i, j) \ în {\ text {am mers de la u la v în T}}}$
pe reduceri: $T{\text{ e' un albero di copertura di costo minimo}}\qquad \Leftrightarrow \qquad \forall {\text{(u,v)}}\in T\qquad c_{u,v}\leq c_{i,j}\ \forall (i,j)\in {\text{taglio formato eliminando l'arco (u,v) da T}}$ ${\ T displaystyle {\ text {este un arbore$ de $cost minim$ care $acoperă}} \ prototipurilor \ Leftrightarrow \ prototipurilor \ forall {\ text {(u, v)}} \ în T \ prototipurilor C_ {u, v} \ leq C_ { i, j} \ \ forall (i, j) \ în {\ text {cut format prin eliminarea arc (u, v) din T}}}$ ${\ T displaystyle {\ text {este un arbore de cost minim care acoperă}} \ prototipurilor \ Leftrightarrow \ prototipurilor \ forall {\ text {(u, v)}} \ în T \ prototipurilor C_ {u, v} \ leq C_ { i, j} \ \ forall (i, j) \ în {\ text {cut format prin eliminarea arc (u, v) din T}}}$

Algoritmi pentru calcularea unui MST

algoritmul generic

Algoritmul generic pentru construirea arborelui minim Spanning este de greedy tip. ^[1] Având în vedere un grafic $G=(V,E)$ ${\ Displaystyle G = (V, E)}$ ${\ Displaystyle G = (V, E)}$ nu orientat, conectat și cu o funcție de greutate $w:E\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ ${\ Displaystyle w: E \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle w: E \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ , Algoritmul acționează asupra unui set $A\subseteq T$ ${\ Displaystyle A \ subseteq T}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq T}$ (cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ MST de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ) La care un arc este adăugat la fiecare pas $(u,w)$ ${\ Displaystyle (u, w)}$ ${\ Displaystyle (u, w)}$ care permite $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ să rămână un subset al MST finale, un astfel de arc va fi numit în condiții de siguranță-margine. ^[2]

$A\leftarrow \emptyset$ ${\ Displaystyle A \ leftarrow \ emptyset}$ ${\ Displaystyle A \ leftarrow \ emptyset}$
in timp ce $LA$ $\neq$ $T.$ {\ Displaystyle A \ neq T} ${\ Displaystyle A \ neq T}$ do
1. $(u,v)\leftarrow$ ${\ Displaystyle (u, v) \ leftarrow}$ ${\ Displaystyle (u, v) \ leftarrow}$ în condiții de siguranță-margine $(A)$ ${\ Displaystyle (A)}$ ${\ Displaystyle (A)}$
2. $A\leftarrow A\cup (u,v)$ ${\ Displaystyle A \ leftarrow A \ cup (u, v)}$ ${\ Displaystyle A \ leftarrow A \ cup (u, v)}$
end în timp ce
O întoarcere

Găsiți arcul corect

Pentru a găsi arcul corect, este necesar să se utilizeze anumite definiții:

Pentru inceput $(S,V-S)$ ${\ Displaystyle (S, VS)}$ ${\ Displaystyle (S, V-S)}$ cu $S\subseteq V$ ${\ displaystyle S \ subseteq V}$ $S \ subseteq V$ va fi numit tăiate , și vom avea următoarele:

un arc $(u,v)$ ${\ displaystyle (u, v)}$ $(u, v)$ traversează o tăietură $(S,V-S)$ ${\ Displaystyle (S, VS)}$ ${\ Displaystyle (S, V-S)}$ dacă și numai dacă $u\in S\land v\in (V-S)$ ${\ Displaystyle u \ în S \ teren v \ în (VS)}$ ${\ Displaystyle u \ în S \ teren v \ în (V-S)}$ .
un copac $A\subseteq E$ ${\ Displaystyle A \ subseteq E}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq E}$ respecte o tăietură $(S,V-S)$ ${\ Displaystyle (S, VS)}$ ${\ Displaystyle (S, V-S)}$ dacă și numai dacă $\not \exists (u,v)\in A$ ${\ Displaystyle \ nu \ există (u, v) \ în A}$ ${\ Displaystyle \ nu \ există (u, v) \ în A}$ care trece prin tăietura.

Un arc $(u,v)$ ${\ displaystyle (u, v)}$ $(u, v)$ este definit ca lumina comparativ cu o reducere $(S,V-S)$ ${\ Displaystyle (S, VS)}$ ${\ Displaystyle (S, V-S)}$ , În cazul în care este de greutate minimă între toate arcele care trec prin acea tăietură.

Ai un grafic $G=(V,E)$ ${\ Displaystyle G = (V, E)}$ ${\ Displaystyle G = (V, E)}$ nu orientat și conectat, o funcție de greutate $w:E\rightarrow R^{+}$ ${\ Displaystyle w: E \ rightarrow R ^ {+}}$ ${\ Displaystyle w: E \ rightarrow R ^ {+}}$ , un copac $A\subseteq T$ ${\ Displaystyle A \ subseteq T}$ ${\ Displaystyle A \ subseteq T}$ cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ MST pentru $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și în cele din urmă o tăietură $(S,V-S)$ ${\ Displaystyle (S, VS)}$ ${\ Displaystyle (S, V-S)}$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Atunci $(u,v)$ ${\ displaystyle (u, v)}$ $(u, v)$ este un seif de margine pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Algoritmi utilizate în practică

Având în vedere un grafic, există mai multe algoritmi pentru a identifica MST sale, printre acestea:

Minimă de pădure acoperire

În cazul în care nu este grafic conectat , adică, este rezultatul unirii mai multor grafice conectate, putem defini în continuare un minim se întinde de pădure ca unirea întinde copaci identificate pe graficele conectate unice. În graficele conectate, de pădure și coincidența spanning tree.

Aplicații

Copaci care acoperă minime au aplicații directe în proiectarea rețelelor, inclusiv de calculatoare rețele de telecomunicații, rețele, transport rețele , rețele de alimentare cu apă și rețele de energie . ^[4]

Alte aplicații practice bazate pe copaci: Minim Acoperind

Taxonomie . ^[5]
Clustering : gruparea punctelor în plan, ^[6]
Construcție de copaci pentru difuzarea în rețele de calculatoare. ^[7]
Extracție caracteristică curbilinie în viziune calculator . ^[8]
Recunoașterea scrisului de mână pentru expresii matematice. ^[9]
Regionalizarea zonelor socio-geografice, sau gruparea zonelor în regiuni omogene și învecinate. ^[10]
Minii Spanning Copacii pot fi folosite pentru a descrie piețele financiare. ^[11] ^[12] O matrice de corelație poate fi creată prin calcularea unui coeficient de corelare între oricare două stocuri. Această matrice poate fi reprezentată topologic ca o rețea complexă și un copac minim Spanning pot fi construite pentru a vizualiza relațiile.

Notă

^ ^A ^b Goodrich-Tamassia , p. 564.
^ ^A ^b (RO) Lomonaco Samuel J., Jr., Minimal-Spanning-Arbori (PDF), pe csee.umbc.edu, Universitatea din Maryland - Departamentul de Informatică și Inginerie Electrică. Adus pe 2 ianuarie 2017 .
^ G. Bigi, A. Frangioni, G. Gallo, S. Pallottino, MG scutelum, Note privind Operations Research , SEU - Editura Universității din Pisa Serviciul
^ RL Graham și Pavol Hell , despre istoria problemei copac minime se întinde , în Analele Istoria calculatoarelor, vol. 7, nr. 1, 1985, pp. 43-57, DOI : 10.1109 / MAHC.1985.10011 , MR 783327 .
^ PHA Sneath, Aplicarea Computers la Taxonomy , in Journal of General Microbiology, vol. 17, n. 1, o august 1957, pp. 201-226, DOI : 10.1099 / 00221287-17-1-201 , PMID 13475686 .
^ T. Asano , B. Bhattacharya, M. Keil și F. Yao , algoritmi de clustering bazate pe arbori maxime Întinsă minime și, a patra anual Simpozionul asupra computațională Geometria (SCG '88), vol. 1, 1988, pp. 252-257, DOI : 10.1145 / 73,393.73419 .
^ Yogen K. Dalal si Robert M. Metcalfe, redirecționarea calea inversă de pachete de difuzare , în Comunicații ACM, vol. 21, n. 12, 01 decembrie 1978, pp. 1040-1048, DOI : 10.1145 / 359,657.359665 .
^ Minsoo Suk și Ohyoung Song, extracție caracteristică curbilinială folosind arbori minime se întinde , în Computer Vision, grafică și de procesare a imaginii, voi. 26, n. 3, June 1, 1984, pp. 400-411, DOI : 10.1016 / 0734-189X (84) 90221-4 .
^ Ernesto Tapia și Raúl Rojas, Recunoașterea On-line manuscrisă matematice Expresiile folosind un minim Spanning Arborele de construcții și Simbol dominanței (PDF), în semn de recunoaștere grafică. Progresele recente și perspective, note de curs în Informatică, voi. 3088, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2004, pp. 329-340, ISBN 978-3-540-22478-5 .
^ RM Assunção, MC Neves, G. Câmara și C. Da Costa Freitas, tehnici de regionalizare eficiente pentru socio - unități geografice economice folosind arbori minime care acoperă , în International Journal of Geografice Information Science, voi. 20, nr. 7, 2006, pp. 797-811, DOI : 10.1080 / 13658810600665111 .
^ Mantegna, RN (1999). Structura ierarhica pe piețele financiare . European fizic Journal B-Condensate și sisteme complexe, 11 (1), 193-197.
^ Djauhari, M., & Gan, S. (2015). Problema Optimalitatea topologie de rețea în analiza stocurilor de piață . Physica A: Mecanică statistice și aplicațiile sale, 419, 108-114.

Bibliografie

Michael T. Goodrich, Roberto Tamassia, structuri de date și algoritmi în Java, Bologna, Zanichelli Editore , 2007, pp. 562-565, ISBN 978-88-08-07037-1 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de pe arbore minim Spanning

Portal IT

Portalul de matematică

[Goodrich-Tamassia-564-1] A ^b Goodrich-Tamassia , p. 564.

[umbc-2] A ^b (RO) Lomonaco Samuel J., Jr., Minimal-Spanning-Arbori (PDF), pe csee.umbc.edu, Universitatea din Maryland - Departamentul de Informatică și Inginerie Electrică. Adus pe 2 ianuarie 2017 .

[3] G. Bigi, A. Frangioni, G. Gallo, S. Pallottino, MG scutelum, Note privind Operations Research , SEU - Editura Universității din Pisa Serviciul

[4] RL Graham și Pavol Hell , despre istoria problemei copac minime se întinde , în Analele Istoria calculatoarelor, vol. 7, nr. 1, 1985, pp. 43-57, DOI : 10.1109 / MAHC.1985.10011 , MR 783327 .

[5] PHA Sneath, Aplicarea Computers la Taxonomy , in Journal of General Microbiology, vol. 17, n. 1, o august 1957, pp. 201-226, DOI : 10.1099 / 00221287-17-1-201 , PMID 13475686 .

[6] T. Asano , B. Bhattacharya, M. Keil și F. Yao , algoritmi de clustering bazate pe arbori maxime Întinsă minime și, a patra anual Simpozionul asupra computațională Geometria (SCG '88), vol. 1, 1988, pp. 252-257, DOI : 10.1145 / 73,393.73419 .

[7] Yogen K. Dalal si Robert M. Metcalfe, redirecționarea calea inversă de pachete de difuzare , în Comunicații ACM, vol. 21, n. 12, 01 decembrie 1978, pp. 1040-1048, DOI : 10.1145 / 359,657.359665 .

[8] Minsoo Suk și Ohyoung Song, extracție caracteristică curbilinială folosind arbori minime se întinde , în Computer Vision, grafică și de procesare a imaginii, voi. 26, n. 3, June 1, 1984, pp. 400-411, DOI : 10.1016 / 0734-189X (84) 90221-4 .

[9] Ernesto Tapia și Raúl Rojas, Recunoașterea On-line manuscrisă matematice Expresiile folosind un minim Spanning Arborele de construcții și Simbol dominanței (PDF), în semn de recunoaștere grafică. Progresele recente și perspective, note de curs în Informatică, voi. 3088, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2004, pp. 329-340, ISBN 978-3-540-22478-5 .

[10] RM Assunção, MC Neves, G. Câmara și C. Da Costa Freitas, tehnici de regionalizare eficiente pentru socio - unități geografice economice folosind arbori minime care acoperă , în International Journal of Geografice Information Science, voi. 20, nr. 7, 2006, pp. 797-811, DOI : 10.1080 / 13658810600665111 .

[11] Mantegna, RN (1999). Structura ierarhica pe piețele financiare . European fizic Journal B-Condensate și sisteme complexe, 11 (1), 193-197.

[12] Djauhari, M., & Gan, S. (2015). Problema Optimalitatea topologie de rețea în analiza stocurilor de piață . Physica A: Mecanică statistice și aplicațiile sale, 419, 108-114.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]