Rotunjire

Rotunjirea constă în reducerea numărului de cifre semnificative cu care este reprezentată o cantitate.

Tipologie

Există mai multe moduri de a rotunji:

Cu rotunjirea în jos (sau trunchierea ), eliminăm pur și simplu următoarele cifre
Odată cu rotunjirea , o sumă egală cu o unitate din ultima cifră stocată este adăugată la rezultatul trunchierii.

Rotunjirea efectivă constă în luarea, între cele două valori anterioare, a celei mai apropiate de valoarea inițială.

În cazul în care valoarea inițială este echidistantă de „rotunjire în jos și de cea pentru exces (de exemplu: 13,65 sau 13,75 cu rotunjire la trei cifre sau la prima zecimală), puteți alege dacă 13,65 întotdeauna în jos sau în sus, sau puteți alege cum să rotunjiți pe baza parității penultimei zecimale a numărului (de exemplu, dacă este par jos, dacă este impar în sus); cu această ultimă măsură, se păstrează echilibrul statistic dintre cele două rotunjiri.

Expoziție formală

Dat fiind un număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ in conformitate $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , conform teoremei reprezentării de bază , o putem reprezenta ca:

x=\operatorname {sgn} (x)m\beta ^{p}

{\ displaystyle x = \ operatorname {sgn} (x) m \ beta ^ {p}}

x = \ operatorname {sgn} (x) m \ beta ^ {p}

Unde mantisa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și:

m=\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}\beta ^{-i}

{\ displaystyle m = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} c_ {i} \ beta ^ {- i}}

m = \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} c_ {i} \ beta ^ {{- i}}

În cazul trunchierii numărul de cifre $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ utilizabil este limitat, deci limita superioară a însumării nu va mai fi $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ci un întreg $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ . În acest moment numărul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este reprezentat ca:

x\approx \operatorname {sgn} (x)\beta ^{p}\sum _{i=1}^{t}c_{i}\beta ^{-i}

{\ displaystyle x \ approx \ operatorname {sgn} (x) \ beta ^ {p} \ sum _ {i = 1} ^ {t} c_ {i} \ beta ^ {- i}}

x \ approx \ operatorname {sgn} (x) \ beta ^ {p} \ sum _ {{i = 1}} ^ {t} c_ {i} \ beta ^ {{- i}}

Pentru a face rotunjirea, se adaugă (t + 1) a zecea cifră $\beta /2$ ${\ displaystyle \ beta / 2}$ $\ beta / 2$ :

x\approx \operatorname {sgn} (x)\beta ^{p}\left(\left({\frac {\beta }{2}}+c_{(t+1)}\right)\beta ^{-(t+1)}+\sum _{i=1}^{t}c_{i}\beta ^{-i}\right)

{\ displaystyle x \ approx \ operatorname {sgn} (x) \ beta ^ {p} \ left (\ left ({\ frac {\ beta} {2}} + c _ {(t + 1)} \ right) \ beta ^ {- (t + 1)} + \ sum _ {i = 1} ^ {t} c_ {i} \ beta ^ {- i} \ right)}

x \ approx \ operatorname {sgn} (x) \ beta ^ {p} \ left (\ left ({\ frac {\ beta} {2}} + c _ {{(t + 1)}} \ right) \ beta ^ {{- (t + 1)}} + \ sum _ {{i = 1}} ^ {t} c_ {i} \ beta ^ {{- i}} \ right)

În cele din urmă, o simplă trunchiere se aplică acestei valori.

Exemple

Având în vedere baza $\beta =10\ {\mbox{ e }}\ t=4$ ${\ displaystyle \ beta = 10 \ {\ mbox {e}} \ t = 4}$ $\ beta = 10 \ {\ mbox {e}} \ t = 4$ :

$\alpha =16,7345$ ${\ displaystyle \ alpha = 16,7345}$ $\ alpha = 16.7345$ ; reprezentând cu t + 1 cifre și adăugând β / 2: $\alpha \approx 16,734+0,005=16,739$ ${\ displaystyle \ alpha \ approx 16.734 + 0.005 = 16.739}$ $\ alfa \ aproximativ 16.734 + 0.005 = 16.739$ ; în cele din urmă, trunchierea: $\alpha \approx 16,73$ ${\ displaystyle \ alpha \ approx 16,73}$ $\ alpha \ aprox 16,73$

$\alpha =23,7374$ ${\ displaystyle \ alpha = 23.7374}$ $\ alpha = 23.7374$ ; reprezentând cu t + 1 cifre și adăugând β / 2: $\alpha \approx 23,737+0,005=23,742$ ${\ displaystyle \ alpha \ approx 23.737 + 0.005 = 23.742}$ $\ alfa \ aproximativ 23.737 + 0.005 = 23.742$ ; în cele din urmă, trunchierea: $\alpha \approx 23,74$ ${\ displaystyle \ alpha \ approx 23.74}$ $\ alfa \ aproximativ 23,74$

Avertizări

După cum reiese din explicația de mai sus, există diferențe între numărul original și cel rotunjit, adică a fost introdusă o eroare de rotunjire .

Mai mult, acesta este un calcul simplificat care trebuie aplicat cu precauție asupra seturilor de valori care trebuie tratate statistic; acest lucru se datorează faptului că introduce o eroare sistematică de rotunjire în sus , neaplicând regula de rotunjire numerelor originale ale căror cifre eliminate constau din secvențe formate dintr-un 5 urmat doar de zeri .

Rotunjirea rezultatelor unei măsurători

Câteva reguli de bază ^[1] :

Dacă cifra de eliminat este mai mică de 5, cifra anterioară (cea mai semnificativă) rămâne neschimbată.
Astfel V = 15,12 2 15768234 va deveni V = 15,12
Dacă cifra de eliminat este 5 urmată de alte zecimale sau mai mare de 5, cifra anterioară (cea mai semnificativă) este mărită cu 1.
Deci V = 15,12 8 15768234 va deveni V = 15,13
Dacă cifra care trebuie aruncată este 5 urmată de zerouri (nu există o altă cifră mai puțin semnificativă) se efectuează o corecție pe bază statistică: dacă cifra care precedă 5 este egală, este rotunjită în jos, altfel este rotunjită în sus.
Astfel V = 15,13 50000 va deveni V = 15,14 (deoarece 5 este precedat de un număr impar, care este mărit cu unul) în timp ce dacă V = 15,14 50000 va deveni V = 15,14 (deoarece 5 este precedat de un număr par, care rămâne neschimbat).

Alte funcții de rotunjire și trunchiere

Diverse funcții de rotunjire sunt utilizate în programe de teorie și calcul pentru matematicieni sau alți cercetători.

Rotunjirea sau trunchierea la un întreg

Același subiect în detaliu: Podea și tavan și Trunchiere (matematică) .

Funcțiile care rotunjesc sau trunchiază la întreg sunt:

Etaj (x)
Plafon (x)
Trunc (x, n)

Ele sunt folosite în programe de către matematicieni sau alți cercetători.

Funcțiile de podea și tavan rotunjesc un număr real x la un întreg fără trunchiere . În special, etaj ( x ) =

\lfloor x\rfloor

{\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}

\ lfloor x \ rfloor

este numărul întreg major mai mic sau egal cu x în timp ce plafonul ( x ) =

\lceil x\rceil

{\ displaystyle \ lceil x \ rceil}

\ lceil x \ rceil

este numărul întreg minor mai mare sau egal cu x . ^[2] . Trunchiere, al cărei simbol funcțional este de obicei Trunc (x, n) pur și simplu curăță , taie, ultimele n zecimale fără a schimba cifrele rămase. Pentru a obține un număr întreg, se elimină toate zecimalele. Numărul întreg nu este modificat

Alte metode de rotunjire

Metodele de rotunjire depind de constrângerile și obiectivele stabilite.

IEEE 754

În standardul IEEE 754 funcția utilizată are diverse denumiri: rotunjire convergentă, rotunjire statistică (nu trebuie confundată cu rotunjirea stochastică), rotunjire olandeză, rotunjire Gaussiană, rotunjire financiară, în engleză și rotunjire impar sau rotunjire imparțială. ^[1]

Notă

^ ^a ^b Engineering Drafting Standards Manual (NASA), X-673-64-1F, p90 sau în acest link: Engineering Drafting Standards Manual Arhivat 21 septembrie 2015 la Internet Archive .
^ Graham, Knuth și Patashnik, Cap.3.1

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[EDSM-1] Engineering Drafting Standards Manual (NASA), X-673-64-1F, p90 sau în acest link: Engineering Drafting Standards Manual Arhivat 21 septembrie 2015 la Internet Archive .

[2] Graham, Knuth și Patashnik, Cap.3.1

[1]

[2]