Cădere liberă

Un corp este definit în cădere liberă atunci când este supus doar forței gravitaționale. Această definiție implică faptul că organismul poate să nu cadă în sensul comun al termenului, deoarece, în funcție de condițiile inițiale, poate, de exemplu, orbita (planetele din jurul soarelui sunt în cădere liberă) sau chiar se pot îndepărta la infinit. În relativitatea generală, definiția își pierde sensul, deoarece gravitația este considerată chiar curbura spațiului-timp și, prin urmare, un corp în cădere liberă nu are forțe care acționează asupra sa.

Mișcarea unui corp în cădere liberă poate fi studiată folosind doar cinematica : aceasta din urmă ne permite, de fapt, să studiem fenomenul fără a lua în considerare cauzele care îl determină.

Formule de mișcare

În ipoteza căderii libere, un corp este supus unei accelerații care are loc într-o direcție radială spre centrul unei planete. Pentru corpurile care cad liber pe distanțe scurte (ca în cazul căderilor de la înălțimi mici), accelerația poate fi considerată constantă, atât în mărime, cât și în direcție. În acest caz, mișcarea de cădere liberă poate fi considerată o mișcare rectilinie accelerată uniform.

Odată ce sistemul de referință a fost ales astfel încât axa z să fie îndreptată în jos, accelerația are forma:

(1)

\;{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=g=cost

{\ displaystyle \; {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = g = cost}

{\ displaystyle \; {\ vec {a}} = {\ frac {d {\ vec {v}}} {dt}} = g = cost}

unde g este accelerația datorată gravitației (independent de coordonate, conform ipotezei formulate). Soluția este de a găsi ecuațiile de mișcare ale corpului. În acest scop (1) poate fi integrat în raport cu un interval de timp generic:

\int _{v_{0}}^{v(t)}d{\vec {v}}(t)=\int _{t_{0}}^{t}g{dt}

{\ displaystyle \ int _ {v_ {0}} ^ {v (t)} d {\ vec {v}} (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} g {dt}}

{\ displaystyle \ int _ {v_ {0}} ^ {v (t)} d {\ vec {v}} (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} g {dt}}

unde este $v(t_{0})=v_{0}$ ${\ displaystyle v (t_ {0}) = v_ {0}}$ ${\ displaystyle v (t_ {0}) = v_ {0}}$ . Noi obținem:

(2)

\;v(t)={\frac {dz}{dt}}=gt+v_{0}

{\ displaystyle \; v (t) = {\ frac {dz} {dt}} = gt + v_ {0}}

{\ displaystyle \; v (t) = {\ frac {dz} {dt}} = gt + v_ {0}}

care este ecuația vitezei (de asemenea, dreaptă și îndreptată în jos) pentru corpul nostru. Prin integrarea din nou (2):

(3)

\;\int _{z_{0}}^{z(t)}dz(t)=\int _{t_{0}}^{t}gt\,dt+\int _{t_{0}}^{t}v_{0}\,dt\,\Longrightarrow \,z(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t+z_{0}

{\ displaystyle \; \ int _ {z_ {0}} ^ {z (t)} dz (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} gt \, dt + \ int _ {t_ { 0}} ^ {t} v_ {0} \, dt \, \ Longrightarrow \, z (t) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} + v_ {0} t + z_ {0 }}

{\ displaystyle \; \ int _ {z_ {0}} ^ {z (t)} dz (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} gt \, dt + \ int _ {t_ { 0}} ^ {t} v_ {0} \, dt \, \ Longrightarrow \, z (t) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} + v_ {0} t + z_ {0 }}

Aceasta este ecuația mișcării pentru corp în cădere liberă. Evident $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ este înălțimea la care corpul este lăsat și, deoarece alegerea sistemului de referință este arbitrară, îl putem face întotdeauna să coincidă cu zero sau cu h , care este înălțimea inițială. Pe de altă parte $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ este viteza inițială a corpului: dacă este scăzut, atunci $v_{0}=0$ ${\ displaystyle v_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle v_ {0} = 0}$ ; dacă în schimb corpul este aruncat în jos sau în sus, atunci $v_{0}\neq 0$ ${\ displaystyle v_ {0} \ neq 0}$ ${\ displaystyle v_ {0} \ neq 0}$ ( $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ vor fi pozitive sau negative în funcție de cele două cazuri).

Rețineți că, de la un moment dat, notația vectorială nu a fost utilizată, deoarece mișcarea are loc de-a lungul unei linii drepte: prin urmare, notația este abuzată în mod legitim, cum ar fi $v={\dot {z}}$ ${\ displaystyle v = {\ dot {z}}}$ ${\ displaystyle v = {\ dot {z}}}$ , ceea ce înseamnă că este derivatul în ceea ce privește timpul coordonatei spațiale. La fel $a={\ddot {z}}$ ${\ displaystyle a = {\ ddot {z}}}$ ${\ displaystyle a = {\ ddot {z}}}$ .

Toamna

Din (2) putem deriva timpul căderii corpului:

t_{cad}={\frac {v(t)-v_{0}}{g}}

{\ displaystyle t_ {cad} = {\ frac {v (t) -v_ {0}} {g}}}

{\ displaystyle t_ {cad} = {\ frac {v (t) -v_ {0}} {g}}}

Varianta de mișcare

O variație a mișcării de cădere liberă este aruncarea unui corp vertical în sus. În acest caz, alegem un sistem de referință format din axa „z”, dar orientat în sus. În acest caz, ecuațiile (1), (2), (3) rămân neschimbate, cu excepția semnului accelerației gravitației care de această dată este negativ.

În acest caz corpul atinge o anumită altitudine începând de la $z_{0}=0$ ${\ displaystyle z_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle z_ {0} = 0}$ , iar acest lucru implică în primul rând că viteza inițială nu este niciodată zero (altfel ar însemna că corpul nu s-a mișcat niciodată) și, ulterior, atinge altitudinea maximă h și apoi coboară spre sol. Aceasta implică faptul că viteza dispare la punctul de inversare a mișcării, exact la timp:

t_{inv}={\frac {v_{0}}{g}}

{\ displaystyle t_ {inv} = {\ frac {v_ {0}} {g}}}

{\ displaystyle t_ {inv} = {\ frac {v_ {0}} {g}}}

(obținut de la (2) pt $v(t)=0$ ${\ displaystyle v (t) = 0}$ ${\ displaystyle v (t) = 0}$ ) care corespunde unei înălțimi maxime (adică înălțimea maximă):

z_{max}=h_{max}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}

{\ displaystyle z_ {max} = h_ {max} = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g}}}

{\ displaystyle z_ {max} = h_ {max} = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g}}}

obținut prin substituirea valorii timpului de inversiune în (3), cu $v_{0}=0$ ${\ displaystyle v_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle v_ {0} = 0}$ .

Momentul în care cazi la pământ este ceea ce $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ și rezolvarea (3):

z(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t=0

{\ displaystyle z (t) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} + v_ {0} t = 0}

{\ displaystyle z (t) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} + v_ {0} t = 0}

ale cărei soluții sunt două: una dintre acestea este de eliminat deoarece este negativă (ar însemna că timpul este negativ), cealaltă soluție va fi pur și simplu:

t_{cad}={\frac {2v_{0}}{g}}=2t_{inv}

{\ displaystyle t_ {cad} = {\ frac {2v_ {0}} {g}} = 2t_ {inv}}

{\ displaystyle t_ {cad} = {\ frac {2v_ {0}} {g}} = 2t_ {inv}}

cu viteza finală corespunzătoare: $v_{fin}=-v_{0}=-{\sqrt {2gh_{max}}}$ ${\ displaystyle v_ {fin} = - v_ {0} = - {\ sqrt {2gh_ {max}}}}$ ${\ displaystyle v_ {fin} = - v_ {0} = - {\ sqrt {2gh_ {max}}}}$ .

Deci, în acest caz, mișcarea este uniform decelerată pentru $t<t_{inv}$ ${\ displaystyle t <t_ {inv}}$ ${\ displaystyle t <t_ {inv}}$ și accelerat ușor pentru $t>t_{inv}$ ${\ displaystyle t> t_ {inv}}$ ${\ displaystyle t> t_ {inv}}$ .