Cavaleri și ticăloși

Cavalerii și ticăloșii sunt protagoniștii unui tip de enigmă logică inventată de Raymond Smullyan .

Pe o insulă de fantezie, toți locuitorii sunt fie cavaleri , care spun întotdeauna adevărul, fie bătăuși, care mint mereu. Puzzle-urile conțin un vizitator care aterizează pe insulă și întâlnește grupuri mici de locuitori. De obicei, vizitatorul trebuie să deducă din afirmațiile lor ce „tip” sunt locuitorii, dar unele ghicitori necesită deducerea altor fapte. Enigma poate consta și în formularea unei întrebări (din răspunsul da sau nu) pe care vizitatorul le poate cere locuitorilor să afle ce trebuie să știe.

Un prim exemplu al acestui tip de enigmă implică trei locuitori, pe care îi vom numi A, B și C. Vizitatorul îl întreabă pe A ce tip este, dar nu poate auzi răspunsul lui A. B spune apoi: „A a spus că este un ticălos” și C spune „Nu crede B: minte!”
Pentru a rezolva enigma, considerați că niciun locuitor al insulei nu poate pretinde că este un ticălos (de fapt, dacă ar fi un ticălos, trebuie să mintă nu ar pretinde niciodată că ar fi, și dacă ar fi un cavaler nu ar putea niciodată să pretindă în mod fals că este un personaj negativ). Deci, afirmația lui B este falsă și, în consecință, este un ticălos, deci afirmația lui C este adevărată și este cavaler. Un cu siguranță a spus că este cavaler, dar nu vom ști niciodată, în acest caz, dacă spunea adevărul sau nu.

În unele variante, locuitorii pot fi și „alternatori”, care alternează afirmații adevărate cu minciuni, sau „normali”, care pot spune ceea ce vor (ca în cazul ghicitorilor despre cavaleri, șmecheri și spioni). O altă complicație este că locuitorii pot răspunde la întrebările da sau nu în propria lor limbă, iar vizitatorul nu știe care dintre cele două cuvinte folosite înseamnă „da” și care „nu”.

Câteva exemple

O mare clasă de enigme logice elementare poate fi rezolvată folosind legile algebrei booleene și ale tabelelor de adevăr . Familiarizarea cu algebra booleană și procesele sale de simplificare ajută la înțelegerea următoarelor exemple.
În special, pentru a rezolva a doua întrebare este necesar să înțelegem că singura modalitate prin care o propoziție de tipul „dacă X atunci Y” să fie falsă este că X este adevărat și Y este fals.

Arturo și Bernardo sunt locuitori ai insulei cavalerilor și a bătăușilor.

Enigma 1

Arturo spune: Amândoi suntem năzbâtii.

Ce fel sunt?

Soluţie

Într-o formă mai extinsă, Arturo a declarat:

„Arturo este un ticălos și Bernardo un ticălos”.

Să spunem că propoziția este adevărată. Atunci cine spune că ar fi un ticălos, care, totuși, nu ar putea spune niciodată nimic adevărat.
Deci, propoziția este falsă, iar Arturo care o pronunță este, prin urmare, un ticălos, în consecință Bernard nu poate fi ticălos (altfel propoziția ar deveni adevărată), ci un cavaler.
Arturo este un ticălos, Bernardo un cavaler.

Soluție cu utilizarea algebrei booleene

Putem folosi algebra booleană pentru a deduce ce fel sunt cei doi nativi astfel:

fie A adevărat dacă Arturo este cavaler și B adevărat dacă Bernardo este cavaler.
Deci, fie Arturo este cavaler și ceea ce spune este adevărat, fie Arturo nu este cavaler și ceea ce spune el este fals.
Traducând ceea ce tocmai s-a spus în algebra booleană obținem:

(A\wedge (\neg A\wedge \neg B))\vee (\neg A\wedge \neg (\neg A\wedge \neg B))

{\ displaystyle (A \ wedge (\ neg A \ wedge \ neg B)) \ vee (\ neg A \ wedge \ neg (\ neg A \ wedge \ neg B))}

{\ displaystyle (A \ wedge (\ neg A \ wedge \ neg B)) \ vee (\ neg A \ wedge \ neg (\ neg A \ wedge \ neg B))}

\equiv {\rm {falso}}\vee (\neg A\wedge \neg (\neg A\wedge \neg B))

{\ displaystyle \ equiv {\ rm {false}} \ vee (\ neg A \ wedge \ neg (\ neg A \ wedge \ neg B))}

{\ displaystyle \ equiv {\ rm {false}} \ vee (\ neg A \ wedge \ neg (\ neg A \ wedge \ neg B))}

(deoarece

A\wedge \neg A\equiv {\rm {falso}}

{\ displaystyle A \ wedge \ neg A \ equiv {\ rm {false}}}

{\ displaystyle A \ wedge \ neg A \ equiv {\ rm {false}}}

)

\equiv \neg A\wedge \neg (\neg A\wedge \neg B)

{\ displaystyle \ equiv \ neg A \ wedge \ neg (\ neg A \ wedge \ neg B)}

{\ displaystyle \ equiv \ neg A \ wedge \ neg (\ neg A \ wedge \ neg B)}

(deoarece

{\rm {falso}}\vee X\equiv X

{\ displaystyle {\ rm {false}} \ vee X \ equiv X}

{\ displaystyle {\ rm {false}} \ vee X \ equiv X}

)

\equiv \neg A\wedge (A\vee B)

{\ displaystyle \ equiv \ neg A \ wedge (A \ vee B)}

{\ displaystyle \ equiv \ neg A \ wedge (A \ vee B)}

(pentru legea lui De Morgan )

\equiv (\neg A\wedge A)\vee (\neg A\wedge B)

{\ displaystyle \ equiv (\ neg A \ wedge A) \ vee (\ neg A \ wedge B)}

{\ displaystyle \ equiv (\ neg A \ wedge A) \ vee (\ neg A \ wedge B)}

(pentru legea distributivității )

\equiv \neg A\wedge B

{\ displaystyle \ equiv \ neg A \ wedge B}

{\ displaystyle \ equiv \ neg A \ wedge B}

Deci Arturo este un ticălos și Bernardo un cavaler.

Deși majoritatea oamenilor pot rezolva acest puzzle simplu fără a utiliza algebra booleană, exemplul servește în continuare pentru a arăta puterea algebrei booleene în rezolvarea ghicitorilor logice.

Enigma 2

Arturo: Dacă Bernardo este un ticălos, eu sunt cavaler.

Bernardo: Suntem de un alt tip.

Ce fel sunt?

Soluţie

Să începem prin analiza celei de-a doua afirmații. Să spunem că este adevărat. În acest caz, cel care o pronunță (Bernardo) este cavaler, iar celălalt nativ (Arturo) este un ticălos. În schimb, să spunem că este fals. În acest caz, cine o pronunță este un ticălos și, fiind fals, ambii nativi vor fi de același tip, deci celălalt va fi și ticălos. Aici, indiferent de adevărul sau falsitatea declarației lui Bernard (și, prin urmare, de a fi cavaler sau ticălos), am demonstrat că Arturo este în orice caz un necinstit. În consecință, afirmația sa va trebui să fie falsă, iar singurul caz în care o implicație (dacă X atunci Y) este falsă este aceea în care premisa X este adevărată și concluzia Y este falsă. Că concluzia ( Arturo este cavaler ) este falsă este deja dovedit, deci premisa trebuie să fie adevărată ( Bernardo este un ticălos ).
Arturo și Bernardo sunt amândoi năzbâtii.

Enigma 3

Logică: Sunteți amândoi cavaleri?
Arturo răspunde da sau nu, dar logicianul încă nu are suficiente informații pentru a rezolva problema.

Logică: Sunteți amândoi neașteptători?
Arturo răspunde da sau nu, iar logicianul este acum capabil să rezolve problema.

Ce fel sunt?

Soluţie

Să analizăm toate răspunsurile pe care le poate primi logicianul:

Da - Da : răspunzând da la ambele întrebări, este evident că Arturo minte și, din moment ce ambele răspunsuri trebuie să fie false, cei doi insulari sunt de tipuri diferite, Arturo rascal și Bernardo cavaliere .

Da - Nu : să spunem că Arturo este cavaler, nu există nicio contradicție în a presupune că ambele răspunsuri ale sale sunt adevărate, atât Arturo , cât și Bernardo sunt cavaleri . În schimb, să spunem că Arturo este un ticălos. Falsitatea primului său răspuns este evidentă, dar al doilea trebuie să fie, de asemenea, fals, deci cei doi trebuie să fie amândoi .

Nu - Da : răspunzând „da” la cea de-a doua întrebare („Sunteți amândoi năzdrăvanii?”), Este evident că Arturo nu poate fi cavaler (niciun cavaler nu ar putea pretinde vreodată că este un ticălos), deci ar trebui să fie un ticălos. Dar apoi răspunsul „nu” la prima întrebare („Sunteți amândoi cavaleri?”) Ar fi adevărat, iar aceasta este o contradicție. Deci, pur și simplu acest (nu-da) este o combinație de răspunsuri care nu pot fi date .

Nu - Nu : dacă Arturo ar fi un ticălos, răspunsul „nu” la prima întrebare ar fi adevărat, iar aceasta este o contradicție. Prin urmare, Arturo este un cavaler și Bernardo un ticălos , așa că cele două răspunsuri sunt potrivite.

În consecință, întrucât logicianul nu a fost suficient să audă primul răspuns pentru a stabili ce fel de arturo au fost Arturo și Bernardo, nu este posibil ca Arturo să răspundă Nu - Nu și, din moment ce a fost suficient pentru el să le audă pe amândouă, nu este posibil că Arturo a răspuns Da - Nu (ceea ce ar fi lăsat totuși o incertitudine). Deci, Arturo a răspuns Da - Da și Arturo este un ticălos și Bernardo un cavaler .

Mult mai simplu, în schimb, să luăm în considerare toate combinațiile posibile de tipuri asumate de Arturo și Bernardo și răspunsurile aferente la întrebările logicianului:

Un călăreț - călăreț B: da - nu
Un cavaler - ticălos B: nu - nu
Un ticălos - cavaler B: da - da
Un ticălos - B ticălos: da - nu

Este evident că combinația care permite identificarea celui de-al doilea răspuns este al treilea și, prin urmare, Arturo este un ticălos și Bernardo un cavaler.

Enigma 4

Iată o versiune a ceea ce este probabil cel mai faimos dintre acest tip de puzzle:

Doi gardieni se găsesc la o răscruce de drumuri. Știți că unul dintre ei este cavaler, iar celălalt un ticălos, dar nu știți cine este unul și cine celălalt. Unul dintre cele două drumuri duce într-un anumit loc, celălalt în niciun loc.

Punând o singură întrebare da sau nu, ești capabil să determini calea către Undeva?
Punând o singură întrebare da sau nu, puteți stabili care dintre cele două este cavalerul?

Această versiune a puzzle-ului a fost făcută și mai populară de o scenă dintr-un film fantastic din 1986 , Labyrinth , în care Sarah ( Jennifer Connelly ) se trezește trebuind să aleagă între două uși păzite de un tutore cu două capete . Una dintre uși duce la castelul care este situat în centrul labirintului, cealaltă duce la moarte.

Soluţie

Pentru a identifica drumul care duce spre Undeva am putea apela la unul dintre cei doi gardieni, indicând oricare dintre cele două drumuri și să-l întrebăm:
"Dacă l-aș întreba pe celălalt tutore dacă aceasta este calea cea bună către Undeva, ar răspunde da sau nu?"
Dacă tutorele răspunde nu, atunci este calea corectă, dacă răspunde da, este greșită.

Pentru a identifica care dintre cei doi gardieni este cavalerul, trebuie doar să întrebați:
- Sunteți amândoi cavaleri? Dacă primesc răspunsul „nu”, atunci persoana căreia i-am pus întrebarea este tocmai călărețul, dacă în schimb primesc răspunsul „da”, călărețul este celălalt.

Ambele întrebări iau o semnificație diferită în funcție de tutorele căruia li se adresează deoarece conțin pronumele personale „el” și respectiv „tu”.
Prin urmare, în mod logic, există patru întrebări distincte.

Bibliografie

(1981) Care este titlul acestei cărți? , Raymond Smullyan , Zanichelli ISBN 8808054225
(1985) Femeie sau tigru? , Raymond Smullyan , Zanichelli ISBN 880806008X
(1988) Alice în țara ghicitorilor. Poveste în maniera lui Lewis Carrol pentru copii sub optzeci de ani , Raymond Smullyan , Zanichelli ISBN 8808053741
(1990) Batjocorind papagalul și alte puzzle-uri logice , Raymond Smullyan, Bompiani ISBN 8845216217
(1994) Satana, Cantor și infinitul , Raymond Smullyan, Bompiani ISBN 8845222624

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Notă cu privire la unele implicații filosofice ale puzzle-urilor cavaleri-ticăloși (PDF) pe nottingham.ac.uk. Adus la 23 ianuarie 2007 (arhivat din original la 6 decembrie 2006) .
( RO ) Lista și analiza ghicitorilor cu cavaleri, ticăloși și spioni (care pot minți sau spune adevărul) , pe newheiser.googlepages.com .