Cea mai grea enigmă din lume

Oracolele adevărate, mendace și imprevizibile. De fapt, Odin, Thor și Freyja dintr-o tapiserie medievală.

Cea mai dificilă enigmă din lume este traducerea apărută în La Repubblica în 1992 ^[1] a următoarei enigme logice propusă de George Boolos cu titlul „The Hardest Logic Puzzle Ever” și inspirată de Raymond Smullyan :

Trei oracole divine A, B și C sunt numite, într-o anumită ordine, Adevărate, Bendace și Imprevizibile.

Adevărul spune întotdeauna adevărul, Mendace spune întotdeauna falsul, în timp ce Imprevizibilul decide dacă să fie sincer sau nu într-un mod complet casual.

Scopul jocului este de a determina identitățile lui A, B și C, adresându-le trei întrebări la care se poate răspunde cu un „da” sau un „nu”.

Fiecare întrebare trebuie adresată numai unuia dintre oracole, care, în timp ce înțelege limba italiană, va răspunde întotdeauna în propria lor limbă cu cuvintele „da” sau „ja”. Nu se știe care dintre acești termeni corespunde „da” și care „nu”.

Analiza problemelor

Răspunsurile oracolelor au doar 2 valori (adevărat / fals, da / nu). Cu 3 răspunsuri semnificative este posibil să se identifice (cel mult) 2 ^ 3 = 8 alternative. În cazul de față este necesar să se identifice combinația corectă între 6 dispoziții posibile ale celor 3 oracole:
Adevărat-Mendace-Imprevizibil,
Adevărat-Imprevizibil-Mendace,
Mendace-Verace-Imprevizibil,
Mendacios-Imprevizibil-Adevărat,
Imprevizibil-Adevărat-Mendace,
Imprevizibil-Mendace-Adevărat.
Dacă am vrea să identificăm, chiar dacă din / j pentru a însemna da / nu sau invers, am avea un total de 12 alternative posibile și ar fi necesar să obținem un al patrulea răspuns.

Prin urmare, este necesar să se renunțe a priori pentru a cunoaște sensul exact al lui da și ja și să se formuleze întrebări astfel încât răspunsul da (sau ja ) să poată fi atribuit cu certitudine, din când în când, semnificația adevăratului sau falsului.

Întrebările trebuie să fie, de asemenea, astfel încât răspunsul de la (sau ja ) să aibă aceeași valoare ca adevărat sau fals, indiferent dacă provine din oracolul Mendace sau din oracolul Verace. Trebuie de asemenea găsit un mod de a neutraliza incertitudinea care decurge din comportamentul imprevizibil al oracolului.

Observația că prima mișcare este de a găsi un oracol despre care putem fi siguri nu este imprevizibilă, nu contează dacă este adevărat sau fals, rămâne fundamentală.

O strategie este de a utiliza conexiuni logice complicate în întrebări, cum ar fi secvența If și Only If sau construcții echivalente. De exemplu, întrebarea:

„Da” înseamnă „da” dacă și numai dacă ești adevărat și dacă și numai dacă B este imprevizibil?

este echivalent cu:

Este adevărat un număr impar de afirmații: ești Mendace, „ja” înseamnă „da”, B este imprevizibil?

Dar există și alte soluții propuse.

Soluție originală de Boolos

În textul în limba engleză ^[2] Boolos numește cele trei oracole Dumnezeu adevărat (adevărat), Dumnezeu fals (fals) și Dumnezeu aleatoriu (aleatoriu), dar utilizarea acestor sinonime nu schimbă setarea discursului în nimic.

Prima întrebare, care trebuie adresată, de exemplu, Oracle A este:

" da înseamnă da , dacă și numai dacă ești adevărat, dacă și numai dacă oracolul B este aleatoriu?"

Dacă răspunsul este de la , puteți fi sigur că Oracle C nu este aleatoriu, iar dacă răspunsul este ja , puteți fi sigur că Oracle B nu este aleatoriu. De fapt, dacă A este adevărat sau fals, răspunsul este semnificativ și vă permite să faceți alegerea corectă și, dacă A este aleatoriu, cu siguranță nici B, nici C nu pot fi aleatorii!

A doua și a treia întrebare, care trebuie adresate oracolului ne-aleatoriu astfel identificat, ar putea fi:

" da înseamnă da , dacă și numai dacă Roma este în Italia?"

Răspunsul din înseamnă că oracolul cerut este adevărat, răspunsul ja înseamnă că oracolul este fals.

" da înseamnă da , dacă și numai dacă oracolul A este aleatoriu?"

Răspunsul da înseamnă că oracolul A este aleatoriu, răspunsul ja înseamnă că nu este.

Din răspunsurile la aceste întrebări este ușor să se deducă dacă oracolul pus la întrebare este adevărat sau fals și dacă A este aleatoriu sau nu. În consecință, al treilea oracol, cel neîntrebat, este de asemenea determinat.

Explicaţie

Proprietatea implicației logice materiale dintre două propoziții, alăturate de condiția „ dacă și numai dacă ” este exploatată. Adică, dați două propoziții P și Q, la întrebarea: [este adevărat că] "P dacă și numai dacă Q?" răspunsul este nu (= fals) numai dacă una dintre cele două propoziții este adevărată și cealaltă falsă. În caz contrar, răspunsul este da (= adevărat), indiferent dacă P și Q sunt adevărate sau ambele sunt false.

Apoi se poate verifica cu ușurință că, dacă cineva cere unui zeu oracol să spună adevărul:

[este adevărat că] " da înseamnă da , dacă și numai dacă Q?"

răspunsul va fi da , dacă Q este adevărat și va fi ja , dacă Q este fals, indiferent de semnificația reală a lui da . (Evident, un oracol care spune falsul ar da răspunsuri opuse)

De asemenea, se poate verifica cu ușurință că, dacă îi cereți unui zeu oracol să răspundă în italiană:

[este adevărat că] „spui adevărul, dacă și numai dacă Q?”

răspunsul va fi da , dacă Q este adevărat și va fi nu , dacă Q este fals, indiferent dacă oracolul spune întotdeauna adevărul sau întotdeauna falsul.

Combinând aceste două observații și revenind la oracolele enigmei, dacă întrebați prima dintre ele:

[este adevărat că] " da înseamnă da , dacă și numai dacă spui adevărul, dacă și numai dacă Q?"

răspunsul va fi da , dacă Q este adevărat și va fi ja , dacă Q este fals, indiferent de semnificația reală a lui da și indiferent dacă oracolul este adevărat sau fals.

Pentru a curăța câmpul de comportament aleatoriu, trebuie să descoperim, încă din primul răspuns, un zeu oracol care nu este aleatoriu. Acest lucru se obține, de exemplu, prin punerea, în întrebarea adresată oracolului A, în loc de Q, propoziția „oracolul B este aleatoriu”. Întrebarea devine:

[este adevărat că] " da înseamnă da , dacă și numai dacă ești adevărat, dacă și numai dacă oracolul B este aleatoriu?"

Alte soluții

Roberts în 2001 și Rabern și Rabern în 2008 au observat că soluția puzzle-ului poate fi simplificată folosind anumite condiții ipotetice. ^{[3] [4]}
Cu toate acestea, ipoteza Bolos se dovedește a fi eronată. Cheia acestei soluții este că, având în vedere orice întrebare Q de tipul da / nu, dacă se pune întrebarea P:

• Dacă te-aș întreba Q, ai spune „ja”?

rezultatul este:

„ja”: dacă răspunsul efectiv la Q este „da”;

„din”: dacă răspunsul efectiv la Q este „nu”.

indiferent dacă oracolul numit este Adevărat sau Fals (dar nu Aleator).
Apoi puteți proceda după cum urmează.

• Întrebați-l pe Dumnezeu A, „Dacă v-aș întreba„ Este aleatoriu B? ”, Ați spune„ ja ”?”
  • Dacă A răspunde la „ja”, atunci fie A este aleatoriu (și răspunde la întâmplare), fie A nu este aleatoriu, iar răspunsul indică faptul că B este într-adevăr aleatoriu. În orice caz, C nu este aleatoriu.
  • Dacă A răspunde „de la”, din nou, fie A este aleatoriu (și răspunde la întâmplare), fie A nu este aleator și răspunsul indică faptul că B nu este aleatoriu. În orice caz, B nu este aleatoriu.
• Mergi la zeul care a decis să nu fie aleatoriu datorită răspunsului anterior (deci B sau C) și întreabă-l: „Dacă ți-aș întreba„ Ești adevărat? ”, Ai spune„ ja ”?” Deoarece nu este aleatoriu, răspunsul „ja” indică faptul că este adevărat, iar răspunsul „de la” indică faptul că este fals.
• Puneți întrebării aceluiași zeu: „Dacă ți-aș întreba„ Este o întâmplare? ”, Ai spune„ ja ”?” Dacă răspunsul este „ja”, atunci A este aleatoriu, dacă răspunsul este „din”, atunci zeul care nu este încă adresat este aleatoriu. Zeul rămas poate fi identificat prin excludere.

Explicaţie

Puteți verifica dacă funcționează examinând toate cele opt cazuri posibile (oracolul poate fi adevărat / fals, răspunsul poate fi din / ja, „ja” poate însemna da / nu).

• Să presupunem că „ja” înseamnă „da” și „da” înseamnă „nu”.

(I) Întrebarea P este adresată lui True și răspunsul este „ja”. Din moment ce spune adevărul, răspunsul real la Q este „ja”, care înseamnă „da”.
(II) Întrebarea P este adresată lui True și răspunsul este „de la”. Din moment ce spune adevărul, răspunsul real la Q este „da”, care înseamnă „nu”.
(III) Întrebarea P este pusă Fals și răspunsul este „ja”. El minte, ceea ce înseamnă că, dacă i se va pune întrebarea Q, el va răspunde „de la”, mințind; prin urmare, răspunsul efectiv la întrebarea Q este „ja”, care înseamnă „da”.
(IV) Întrebarea P este pusă la Fals și primită ca răspuns „de la”. Minte, rezultă că, dacă i s-ar pune întrebarea Q, el ar răspunde „ja”, mințind; deci răspunsul efectiv la întrebarea Q este „de la”, ceea ce înseamnă „nu”.

• Să presupunem că „ja” înseamnă „nu” și „da” înseamnă „da”.

(V) P este rugat lui Vero și răspunde „ja”. Din moment ce spune adevărul, răspunsul real la Q este „da”, care înseamnă „da”.
(VI) P este rugat lui Vero și el răspunde „de la”. Din moment ce spune adevărul, răspunsul corect la Q este „ja”, ceea ce înseamnă că nu .
(VII) P este cerut pentru Fals și răspunsul este „ja”. Din moment ce minte, dacă i se va întreba Q, el va răspunde „ja”, mințind; deci răspunsul corect la Q este „da”, care înseamnă „da”.
(VIII) P este cerut pentru Fals și răspunde „de la”. Întrucât minte, dacă i se va întreba Q, el va răspunde „de la”, mințind; deci răspunsul corect la Q este „ja”, care înseamnă „nu”.

În rezumat, întrebarea P conține întrebarea Q, deci are două straturi: pune întrebarea Q și în același timp cere confirmarea că răspunsul la Q este „da” (sau „nu”).
Adevăratul oracol va răspunde „da” (sau „nu”) - adică cu același răspuns cuprins în întrebarea P - dacă răspunsul la Q este „da”; va trebui să răspundă „nu” (sau „da”) - adică inversând răspunsul conținut în întrebarea P - dacă răspunsul la Q este „nu”
Falsul oracol va nega că ar fi dat un răspuns fals și, în cele din urmă, va da și un răspuns egal cu cel al adevăratului oracol.

O altă soluție posibilă: comportamentul Random

Majoritatea cititorilor enigmei presupun că aleatorii vor oferi răspunsurile la orice întrebare complet la întâmplare; dar ghicitoarea nu o spune. Într-adevăr, o declarație clarificatoare a lui Boolos reiterează cu tărie acest lucru:

• Dacă Random spune sau nu adevărul este ca și cum ar depinde de aruncarea unei monede ascunse în creierul său: dacă vine în cap, spune adevărul; dacă iese cozi, minte.

Aceasta înseamnă că Random acționează întâmplător ca un mincinos sau adevărat, și nu că răspunde dezinvolt.

Să introducem o mică modificare în prima întrebare, astfel încât să obțineți întotdeauna un răspuns semnificativ, chiar de la Aleator:

Dacă ți-aș întreba Q în starea ta mentală actuală , ai răspunde „ja”? ^[5]

Am separat astfel cele două personalități ale lui Random, cea adevărată și cea mincinoasă și am forțat zeul să fie una dintre ele. Acest lucru trivializează complet enigma, deoarece putem avea acum adevăratul răspuns la fiecare întrebare.

• 1. Întrebați-l pe Dumnezeu A, „Dacă v-aș întreba„ Ești aleatoriu? ” în starea dvs. actuală de spirit , ați spune „ja”? "

Dacă A răspunde la „ja”, atunci A este aleatoriu: un caz norocos, în care mai este nevoie de o singură întrebare pentru a rezolva enigma.

• 2a. Întrebați-l pe Dumnezeu B, „Dacă v-aș întreba„ Ești adevărat? ”, Ai spune„ ja ”?”

Dacă B răspunde „ja”, atunci B este adevărat și C este fals.
Dacă B răspunde „de la”, atunci B este fals și C este adevărat. În ambele cazuri, ghicitoarea este rezolvată.

Dacă A răspunde „din”, atunci A nu este aleatoriu: cu alte două întrebări la același A rezolvăm ghicitoarea.

• 2b. Întrebați-l pe zeul A: „Dacă te-aș întreba„ Ești adevărat? ”, Ai spune„ ja ”?”

Dacă A răspunde la „ja”, atunci A este adevărat.
Dacă A răspunde „din”, atunci A este Fals.

• 3. Întrebați-l pe Dumnezeu A, „Dacă v-aș întreba„ Este B întâmplător? ”, Ați spune„ ja ”?”

Dacă A răspunde la „ja”, atunci B este aleatoriu, iar C este opusul lui A.
Dacă A răspunde „din”, atunci C este aleatoriu, B este opusul lui A.

Dacă modificăm propoziția ghicitorului în așa fel încât răspunsul lui Random să fie de fapt aleatoriu:

Dacă Random spune „ja” sau „da” este ca și cum ar depinde de aruncarea unei monede ascunse în creierul său: dacă capete, el spune „ja”; dacă iese cozi, „dă”.

soluția ghicitorului necesită o întrebare mai atentă dată în secțiunea anterioară.

Întrebări fără răspuns și explodarea capetelor de zeu

În A Simple Solution to the Hardest Logic Puzzle Ever , ^[6] enigma este jucată subliniind că nu este cazul ca „ja” și „da” să fie singurele răspunsuri pe care un zeu le poate da. ^[3] Este, de asemenea, posibil ca un zeu să nu poată răspunde. De exemplu, dacă întrebarea „Veți răspunde la această întrebare cu cuvântul care înseamnă„ nu ”în limba dvs.?” este pus la Adevărat, el nu poate răspunde cu adevărat. (Ziarul îl înfățișează arătându-și capul care explodează , "... sunt zei infailibili! Au o singură șansă de a recurge - capetele lor explodează") ^[5] Permiterea cazului capetelor care explodează oferă o altă soluție pentru „enigma modificată ( modificat astfel încât Random să fie de fapt aleatoriu) și introduce capacitatea de a rezolva enigma originală (nemodificată) cu doar două întrebări în loc de trei. Susținând o soluție de doar două întrebări, autorii rezolvă o enigmă mai simplă similară folosind doar două întrebări.

• Trei zei A, B și C sunt numiți, într-o anumită ordine, Zephyr, Euro și Eol. Zeii spun întotdeauna adevărul. Sarcina dvs. este de a determina identitatea lui A, B și C, punând trei întrebări da / nu; fiecare întrebare să fie pusă exact unui singur zeu. Zeii înțeleg engleza și vor răspunde în engleză. ^[5]

Rețineți că această enigmă este rezolvată cu trei întrebări. Pentru a o rezolva cu două, încercați următoarea lemă .

Lema mincinosului temperat. Dacă întrebați A „Este cazul în care {[(veți răspunde„ nu ”la această întrebare) E (B este Zephyr)] O (B este Euro)}?”, Răspunsul „da” indică faptul că B este Euro , răspunsul „nu” indică faptul că B este Aeolus, iar un cap exploziv indică faptul că B este Zephyr. De aici, identitatea lui B poate fi determinată cu o singură întrebare. ^[5]

Folosind această lemă este ușor să rezolvați ghicitoarea în două întrebări. Un truc similar ( paradoxul mincinosului ) poate fi folosit pentru a rezolva enigma originală cu două întrebări.

Notă

Bibliografie

• TS Roberts, Some Thoughts About The Hardest Logic Puzzle Ever (Journal of Philosophical Logic 30: 609–612 (4), decembrie 2001).
• Brian Rabern și Landon Rabern, O soluție simplă la cel mai greu puzzle logic existent vreodată (Analiză, 68.2, aprilie 2008).
• Raymond Smullyan , Care este numele acestei cărți? (Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1978).
• Raymond Smullyan , Enigma lui Sheherazade (AA Knopf, Inc., New York, 1997).

Elemente conexe

• Raymond Smullyan
• Cavaleri și ticăloși
• Ghicitoare logică

linkuri externe

• George Boolos. Cel mai greu puzzle logic din toate timpurile. Harvard Review of Philosophy, 6: 62–65, 1996. ( PDF ), pe hcs.harvard.edu . Adus la 18 februarie 2008 (arhivat din original la 22 iunie 2012) .
• Roberts TS Câteva gânduri despre cel mai greu puzzle logic din toate timpurile. Journal of Philosophical Logic, 30: 609-612 (4), decembrie 2001. ^{[ link rupt ]} , pe springerlink.com .
• O ilustrare a puzzle-ului , pe philosoph.hku.hk .