Cuboctaedru trunchiat (grup)

Cuboctahedron trunchiat Grupul este un grup infinit, și este un grup de Garside și Artin-Tits . Nu are nimic de-a face cu grupul de simetrii al cuboctaedrului solid trunchiat .

Definiție

Definim ^[1] grupul de cuboctaedri trunchiat pe trei generatoare $T_{3}$ ${\ displaystyle T_ {3}}$ $T_ {3}$ ca generat de $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}}$ supus relațiilor

$a_{1}a_{2}a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}a_{2}a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1} a_ {2} a_ {1} a_ {2} = a_ {2} a_ {1} a_ {2} a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {1} a_ {2} a_ {1} a_ {2} = a_ {2} a_ {1} a_ {2} a_ {1}}$
$a_{2}a_{3}a_{2}=a_{3}a_{2}a_{3}$ ${\ displaystyle a_ {2} a_ {3} a_ {2} = a_ {3} a_ {2} a_ {3}}$ ${\ displaystyle a_ {2} a_ {3} a_ {2} = a_ {3} a_ {2} a_ {3}}$
$a_{1}a_{3}=a_{3}a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1} a_ {3} = a_ {3} a_ {1}}$ ${\ displaystyle a_ {1} a_ {3} = a_ {3} a_ {1}}$

Observăm că aceste relații definesc un grup infinit și, de asemenea, păstrează lungimea cuvintelor.

Proprietate

Grupul $T_{3}$ ${\ displaystyle T_ {3}}$ $T_ {3}$ este un grup de Artin ^[2] (sau de Artin-Tits), adică este descris prin relații de toate formele $a_{i}a_{j}a_{i}a_{j}\dots =a_{j}a_{i}a_{j}a_{i}\dots$ ${\ displaystyle a_ {i} a_ {j} a_ {i} a_ {j} \ dots = a_ {j} a_ {i} a_ {j} a_ {i} \ dots}$ ${\ displaystyle a_ {i} a_ {j} a_ {i} a_ {j} \ dots = a_ {j} a_ {i} a_ {j} a_ {i} \ dots}$ unde cei doi membri au aceeași lungime.

Este, de asemenea, un grup Garside ^[3] , cu un element din Garside $\Delta =(a_{1}a_{2}a_{3})^{3}$ ${\ displaystyle \ Delta = (a_ {1} a_ {2} a_ {3}) ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ Delta = (a_ {1} a_ {2} a_ {3}) ^ {3}}$ .

Bibliografie

^ Garside, FA, Despre grupul de împletituri și alte grupuri , în Quart. J. Math., Oxford , (2), 45 (180), 479-497, 1994 ..
^ Brieskorn, E. și Saito, K., Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen , în Inventiones math. 17, 245-271, 1972 ..
^ Dehornoy, P., Groupes de Garside , în Ann. Sc. Éc. Normă. Sup. , 4e serie, t. 35, p. 267-306, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Garside, FA, Despre grupul de împletituri și alte grupuri , în Quart. J. Math., Oxford , (2), 45 (180), 479-497, 1994 ..

[2] Brieskorn, E. și Saito, K., Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen , în Inventiones math. 17, 245-271, 1972 ..

[3] Dehornoy, P., Groupes de Garside , în Ann. Sc. Éc. Normă. Sup. , 4e serie, t. 35, p. 267-306, 2002.

[1]

[2]

[3]