Analiza de acoperire a datelor

Analiza învelișului de date (DEA) este o curiozitate matematică utilizată în cercetarea operațională pentru estimarea limitelor funcției de producție . Acesta, în general de tip non-parametric , este utilizat pentru a măsura empiric eficiența relativă de producție a unităților de producție (UP, în engleză Decision Making Unit: DMU) din eșantionul companiilor analizate. Foarte des funcția de producție și frontiera de eficiență nu sunt cunoscute, dar este disponibil doar un set de observații referitoare la fiecare PU unic. Două metode de analiză sunt comparate în literatura economică și statistică: pe de o parte, estimarea econometrică a costului sau a funcțiilor de producție, pe de altă parte, utilizarea tehnicilor de programare matematică . Cele două linii de analiză sunt identificate în prezent cu termenii metodelor parametrice ( Analiză frontieră deterministă - DFA; Analiză frontieră stochastică - SFA) și non-parametrice ( Analiza învelișului de date - DEA ; Casă de eliminare liberă - FDH). Analizele parametrice necesită explicarea a priori a unei funcții de producție, în timp ce analizele non-parametrice sunt caracterizate de posibilitatea de a determina eficiența relativă a unităților de decizie similare prin tehnici de programare liniară, fără a fi necesară specificarea importanței relative a diferiților factori de producție. , nici a prețurilor, nici distribuția eficienței. În acest sens, rezultatele metodelor non-parametrice sunt obiective, deoarece nu necesită specificații a priori. Pe de altă parte, însă, dezavantajul lor, fiind metode deterministe, nu admit erori; prin urmare, rezultatele ar putea fi afectate deoarece eroarea statistică și ineficiența sunt confundate.

Analiza plicului de date (DEA)

Analiza învelișului de date se caracterizează prin posibilitatea de a determina eficiența relativă a unităților de luare a deciziilor similare (în cazul în care similare înseamnă PU care utilizează aceleași intrări pentru a produce aceleași ieșiri în condiții de producție identice). Ceea ce face ca metoda DEA să fie flexibilă și ușor de aplicat în diferite situații de producție este faptul că măsurătorile de eficiență pot fi efectuate chiar și în absența unei descrieri detaliate a procesului de producție, spre deosebire de tehnicile parametrice (cum ar fi SFA).

Metoda DEA, dezvoltată, în prima sa formulare, de A. Charnes, W. Cooper și E. Rhodes (1978) determină eficiența fiecărei unități de producție prin compararea tehnologiei sale cu toate tehnologiile posibile care derivă din combinația liniară a producții pentru celelalte unități de producție avute în vedere. Metoda este destul de flexibilă deoarece nu necesită definirea unei funcții obiective valabile pentru toată lumea și, dimpotrivă, lasă fiecărei unități decizionale posibilitatea ponderării intrărilor și ieșirilor pentru a-și maximiza indicele de eficiență. PU-urile cu cel mai mare indice de eficiență vor forma frontiera productivității. Vor avea o eficiență egală cu 1 și vor fi definite ca eficiente. PU-urile rămase vor avea un indice de eficiență între 0 și 1 invers proporțional cu distanța lor față de graniță.

Presupunem că există n DMU-uri, fiecare dintre care folosește cantități diferite de m intrări diferite pentru a produce s ieșiri diferite. Mai precis, $DMU_{j}$ ${\ displaystyle DMU_ {j}}$ ${\ displaystyle DMU_ {j}}$ folosiți cantitatea $x_{ji}$ ${\ displaystyle x_ {ji}}$ ${\ displaystyle x_ {ji}}$ a intrării i-a și produce cantitatea $y_{jr}$ ${\ displaystyle y_ {jr}}$ ${\ displaystyle y_ {jr}}$ a ieșirii r-a. Să presupunem, de asemenea, [Banker, Charnes și Cooper (1984)] că $x_{ji}\geq 0$ ${\ displaystyle x_ {ji} \ geq 0}$ ${\ displaystyle x_ {ji} \ geq 0}$ Și $y_{jr}\geq 0$ ${\ displaystyle y_ {jr} \ geq 0}$ ${\ displaystyle y_ {jr} \ geq 0}$ și că fiecare unitate are cel puțin o intrare diferită de zero și o ieșire.

Caracteristica esențială a metodologiei DEA este reducerea raportului de mai multe ieșiri / intrări multiple între cea dintre o singură ieșire „virtuală” și o singură intrare „virtuală”. În acest fel, pentru fiecare DMU, raportul dintre o singură ieșire virtuală și o singură intrare virtuală oferă o măsură a eficienței tehnice a unității în sine.

În limbajul de programare matematic, acest raport, supus maximizării, constituie funcția de obiect pentru MDU-ul particular care este evaluat, adică în simboluri:

$\max _{u,v}h_{0}(u,v)=\sum _{r}u_{r}y_{r_{0}}/\sum v_{i}x_{i_{0}}$ ${\ displaystyle \ max _ {u, v} h_ {0} (u, v) = \ sum _ {r} u_ {r} y_ {r_ {0}} / \ sum v_ {i} x_ {i_ {0 }}}$ ${\ displaystyle \ max _ {u, v} h_ {0} (u, v) = \ sum _ {r} u_ {r} y_ {r_ {0}} / \ sum v_ {i} x_ {i_ {0 }}}$

sub următoarele constrângeri (fără de care $h_{0}$ ${\ displaystyle h_ {0}}$ $h_0$ este nelimitat)

${\begin{matrix}\sum _{r}u_{r}y_{rj}/\sum _{i}v_{i}x_{ij}&u_{r},v_{i}\geq 0&j=0,1,\ldots ,n\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {r} u_ {r} y_ {rj} / \ sum _ {i} v_ {i} x_ {ij} & u_ {r}, v_ {i} \ geq 0 & j = 0,1, \ ldots, n \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {r} u_ {r} y_ {rj} / \ sum _ {i} v_ {i} x_ {ij} & u_ {r}, v_ {i} \ geq 0 & j = 0,1, \ ldots, n \ end {matrix}}}$

Relația anterioară, însă, produce un număr infinit de soluții; dacă ( u * , v * ) este un optim, atunci soluția ( au * , av * ) este un optim pentru toate a ≥ 0 .

Este intuitiv că problema de mai sus poate fi realizată în două moduri: maximizarea numărătorului și fixarea numitorului (metoda orientată spre ieșire) sau, invers, menținerea constantă a numărătorului și minimizarea numitorului (metoda orientată spre intrare). Distincția este importantă deoarece forma de eficiență care este evaluată derivă din aceasta.

Se spune că o DMU este eficientă la ieșire dacă nu există altă unitate care obține o ieșire mai mare cu aceleași intrări, se spune că o unitate de producție este eficientă la intrare dacă nu există altă unitate care realizează aceeași ieșire folosind o cantitate mai mică de intrări.

Meritul lui Charnes, Cooper și Rhodes este acela de a fi transformat funcția [1] într-o problemă liniară mai simplă (cunoscută sub acronimul CCR), prin adăugarea unei constrângeri care normalizează suma ponderată a intrărilor la unitate (metodă orientată spre intrare) sau a ieșirilor prin minimizarea intrărilor (metodă orientată spre ieșire).

O inovație importantă se datorează în schimb lui Banker, Charnes și Cooper (1984), care a permis DEA să depășească limita ipotezei restrictive a revenirilor constante la scară; metoda BCC (denumită după cei trei autori) ne permite astfel să construim granițe sub ipoteza variabilelor reveniri la scară.

Metoda orientată spre intrare

Metoda orientată către intrare [2] este următoarea:

$\max _{\rho ,\mu }z=\sum _{r}\rho _{r}y_{r_{0}}+a$ ${\ displaystyle \ max _ {\ rho, \ mu} z = \ sum _ {r} \ rho _ {r} y_ {r_ {0}} + a}$ ${\ displaystyle \ max _ {\ rho, \ mu} z = \ sum _ {r} \ rho _ {r} y_ {r_ {0}} + a}$

sub constrângeri

${\begin{matrix}\sum _{r}\rho _{r}y_{rj}-\sum \mu _{i}-y_{ij}\leq &\sum _{i}\mu _{i}x_{i_{0}}=1&\rho _{r},\mu _{i}\geq 0&i=0,1,\ldots ,n\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {r} \ rho _ {r} y_ {rj} - \ sum \ mu _ {i} -y_ {ij} \ leq & \ sum _ {i} \ mu _ {i} x_ {i_ {0}} = 1 & \ rho _ {r}, \ mu _ {i} \ geq 0 & i = 0,1, \ ldots, n \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {r} \ rho _ {r} y_ {rj} - \ sum \ mu _ {i} -y_ {ij} \ leq & \ sum _ {i} \ mu _ {i} x_ {i_ {0}} = 1 & \ rho _ {r}, \ mu _ {i} \ geq 0 & i = 0,1, \ ldots, n \ end {matrix}}}$

Problema duală [3], exprimată în formă matricială, asociată cu programarea liniară [2] este:

$\min _{\theta ,g}\theta$ ${\ displaystyle \ min _ {\ theta, g} \ theta}$ ${\ displaystyle \ min _ {\ theta, g} \ theta}$

sub constrângeri

${\begin{matrix}\theta X_{0}-gX\geq 0,&gY\geq Y_{0},&g\geq 0\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ theta X_ {0} -gX \ geq 0, & gY \ geq Y_ {0}, & g \ geq 0 \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ theta X_ {0} -gX \ geq 0, & gY \ geq Y_ {0}, & g \ geq 0 \ end {matrix}}}$

Prin intervenția cu restricții adecvate asupra parametrilor a (în [2]) și g (în [3]) este posibil să se genereze diferite tipuri de limite de eficiență.

Prin plasarea de fapt

- $a\equiv 0$ ${\ displaystyle a \ equiv 0}$ ${\ displaystyle a \ equiv 0}$ , sau în problema dublă echivalentă, $\forall g\in \Re ^{+}$ ${\ displaystyle \ forall g \ in \ Re ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ forall g \ in \ Re ^ {+}}$ , se obțin limite cu reveniri constante la scară (metoda DEA CCR),

- $a\leq 0$ ${\ displaystyle a \ leq 0}$ ${\ displaystyle a \ leq 0}$ , sau $\sum g\leq 1$ ${\ displaystyle \ sum g \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ sum g \ leq 1}$ , nu sunt permise frontiere cu randamente crescătoare la scară,

- $a\geq 0$ ${\ displaystyle a \ geq 0}$ ${\ displaystyle a \ geq 0}$ , sau $\sum g\geq 1$ ${\ displaystyle \ sum g \ geq 1}$ ${\ displaystyle \ sum g \ geq 1}$ , nu sunt permise margini cu randamente scăzute la scară,

- $\forall a\in \Re$ ${\ displaystyle \ forall a \ in \ Re}$ ${\ displaystyle \ forall a \ in \ Re}$ , sau $\sum g\equiv 1$ ${\ displaystyle \ sum g \ equiv 1}$ ${\ displaystyle \ sum g \ equiv 1}$ , există limite cu reveniri variabile la scară (metoda DEA BCC).

Metoda orientată spre ieșire

Metoda orientată spre ieșire [4] este următoarea:

$\min _{\eta ,\omega }=\sum _{i}\eta _{i}x_{i_{0}}+b$ ${\ displaystyle \ min _ {\ eta, \ omega} = \ sum _ {i} \ eta _ {i} x_ {i_ {0}} + b}$ ${\ displaystyle \ min _ {\ eta, \ omega} = \ sum _ {i} \ eta _ {i} x_ {i_ {0}} + b}$

sub constrângeri

${\begin{matrix}\sum b-\sum _{r}\omega _{r}y_{rj}-\sum _{i}\eta _{i}x_{ij}\geq 0,&\sum _{r}\omega _{r}y_{r_{0}}=1,&\rho _{r},\mu _{i}\geq 0&j=0,1,\ldots ,n\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum b- \ sum _ {r} \ omega _ {r} y_ {rj} - \ sum _ {i} \ eta _ {i} x_ {ij} \ geq 0, & \ sum _ {r} \ omega _ {r} y_ {r_ {0}} = 1, & \ rho _ {r}, \ mu _ {i} \ geq 0 & j = 0,1, \ ldots, n \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum b- \ sum _ {r} \ omega _ {r} y_ {rj} - \ sum _ {i} \ eta _ {i} x_ {ij} \ geq 0, & \ sum _ {r} \ omega _ {r} y_ {r_ {0}} = 1, & \ rho _ {r}, \ mu _ {i} \ geq 0 & j = 0,1, \ ldots, n \ end {matrix}}}$

Problema duală [5] asociată cu [4] este:

$\max _{\phi ,f}\phi$ ${\ displaystyle \ max _ {\ phi, f} \ phi}$ ${\ displaystyle \ max _ {\ phi, f} \ phi}$

sub constrângeri

${\begin{matrix}fX\leq X_{0},&\phi Y_{0}-fY\geq 0,&f\geq 0\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} fX \ leq X_ {0}, & \ phi Y_ {0} -fY \ geq 0, & f \ geq 0 \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} fX \ leq X_ {0}, & \ phi Y_ {0} -fY \ geq 0, & f \ geq 0 \ end {matrix}}}$

Mai mult, plasarea respectiv pentru [4] sau pentru [5]

- $b\equiv 0$ ${\ displaystyle b \ equiv 0}$ ${\ displaystyle b \ equiv 0}$ , sau $\forall f\in \Re ^{+}$ ${\ displaystyle \ forall f \ in \ Re ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ forall f \ in \ Re ^ {+}}$ , se obțin limite cu reveniri constante la scară (metoda CCR),

- $b\geq 0$ ${\ displaystyle b \ geq 0}$ ${\ displaystyle b \ geq 0}$ , sau $\sum f\leq 1$ ${\ displaystyle \ sum f \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ sum f \ leq 1}$ , limite cu reveniri la scară care nu cresc,

- $b\leq 0$ ${\ displaystyle b \ leq 0}$ ${\ displaystyle b \ leq 0}$ , sau $\sum f\geq 1$ ${\ displaystyle \ sum f \ geq 1}$ ${\ displaystyle \ sum f \ geq 1}$ , limite cu reveniri la scară care nu scad,

- $\forall b\in \Re$ ${\ displaystyle \ forall b \ in \ Re}$ ${\ displaystyle \ forall b \ in \ Re}$ , sau $\sum f\equiv 1$ ${\ displaystyle \ sum f \ equiv 1}$ ${\ displaystyle \ sum f \ equiv 1}$ , limite cu reveniri variabile la scară (metoda BCC).

Bibliografie

Cooper, WW, LM Seidorf, K. Tone (2002) Data Envelopment Analysis, Boston, Kluwer Academic Publishers.
Seiford, LM, RM Thrall, (1990) „Evoluții recente în DEA, abordarea de programare matematică a analizei frontierei”, Journal of Econometrics, n.46, pp. 7–38.
DEA Zone , un site web cuprinzător privind analiza plicului de date
Simar L., Wilson PW, (2000) „Inferența statistică în modelele de frontieră nonparametrice: stadiul tehnicii”, Journal of Productivity Analysis, 13, pp. 49–78.
Software DEA , Software-ul DEA (Software de management al îmbunătățirii performanței)

Portalul Economiei

Portalul de matematică