Densitatea Schnirelmann

În matematică , densitatea lui Schnirelmann a unei secvențe de numere întregi este o măsură a „densității” acesteia. Prin această noțiune este posibil să se afirme, de exemplu, că „există mai multe numere impare decât pătrate ”, deși ambele seturi sunt de cardinalitate infinită. Primul matematician care a teorizat această densitate a fost Lev Genrikhovich Schnirelmann din care derivă numele.

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un set de numere întregi și ambele $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ ${\ displaystyle A (x)}$ funcția de enumerator a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , definit ca:

A(x)=\sum _{a\leq x;a\in A}^{}1

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {a \ leq x; a \ in A} ^ {} 1}

{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {a \ leq x; a \ in A} ^ {} 1}

Densitatea Schnirelmann de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este, prin urmare, definit ca

\sigma (A)=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}}

{\ displaystyle \ sigma (A) = \ inf _ {n} {\ frac {A (n)} {n}}}

{\ displaystyle \ sigma (A) = \ inf _ {n} {\ frac {A (n)} {n}}}

Proprietate

Densitatea Schnirelmann este un număr real între zero și unu, care are următoarea proprietate

{\text{Se }}k\notin A{\text{ allora }}\sigma A\leq 1-1/k.

{\ displaystyle {\ text {If}} k \ notin A {\ text {then}} \ sigma A \ leq 1-1 / k.}

{\ displaystyle {\ text {If}} k \ notin A {\ text {then}} \ sigma A \ leq 1-1 / k.}

În special, dacă $1\notin A$ ${\ displaystyle 1 \ notin A}$ ${\ displaystyle 1 \ notin A}$ , asa de $\sigma (A)=0$ ${\ displaystyle \ sigma (A) = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma (A) = 0}$ .

Sume de seturi și densitățile lor Schnirelmann

De sine $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este suma a două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , definit ca

C=\lbrace a+b:a\in A\cup \{0\},b\in B\cup \{0\}\rbrace

{\ displaystyle C = \ lbrace a + b: a \ în A \ cup \ {0 \}, b \ in B \ cup \ {0 \} \ rbrace}

{\ displaystyle C = \ lbrace a + b: a \ în A \ cup \ {0 \}, b \ in B \ cup \ {0 \} \ rbrace}

atunci teorema lui Schnirelmann afirmă că

\sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B)-\sigma (A)\sigma (B).

{\ displaystyle \ sigma (C) \ geq \ sigma (A) + \ sigma (B) - \ sigma (A) \ sigma (B).}

{\ displaystyle \ sigma (C) \ geq \ sigma (A) + \ sigma (B) - \ sigma (A) \ sigma (B).}

Această teoremă a fost îmbunătățită de Henry B. Mann care a dovedit că dacă $C\neq \mathbb {N}$ ${\ displaystyle C \ neq \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle C \ neq \ mathbb {N}}$ , da

\sigma (C)\geq \sigma (A)+\sigma (B).

{\ displaystyle \ sigma (C) \ geq \ sigma (A) + \ sigma (B).}

{\ displaystyle \ sigma (C) \ geq \ sigma (A) + \ sigma (B).}

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică