Elipsoid de indici de refracție

Elipsoidul indicelui de refracție este un instrument matematic pentru a descrie pe deplin modul în care variază indicele de refracție al unui material anizotrop în funcție de direcția de propagare a unei unde electromagnetice din interiorul său.

Se poate arăta că în fiecare material este întotdeauna posibil să se definească 3 axe optice, pe baza cărora elipsoidul indicilor este scris în formă canonică

${\frac {x^{2}}{n_{1}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{2}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{3}^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {n_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {n_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {n_ {3} ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {n_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {n_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {n_ {3} ^ {2}}} = 1}$

În materialele birefringente , două dintre axe sunt identice una cu cealaltă (de exemplu, există simetrie cilindrică), astfel încât elipsoidul indicilor poate fi scris ca

${\frac {x^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{o}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{e}^{2}}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {n_ {o} ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {n_ {o} ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {n_ {e} ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {n_ {o} ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {n_ {o} ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {n_ {e} ^ {2}}} = 1}$ unde este $n_{o}$ ${\ displaystyle n_ {o}}$ ${\ displaystyle n_ {o}}$ se numește indicele de refracție obișnuit e $n_{e}$ ${\ displaystyle n_ {e}}$ $nici$ se numește indicele de refracție extraordinar și axa sa se numește axa optică (în cazul nostru, axa z).
O undă electromagnetică care se propagă cu vectorul său de undă paralel cu axa optică vede indicele de refracție obișnuit pentru fiecare polarizare a câmpului electric, în timp ce poate vedea un indice de refracție variabil între $n_{o}$ ${\ displaystyle n_ {o}}$ ${\ displaystyle n_ {o}}$ și $n_{e}$ ${\ displaystyle n_ {e}}$ $nici$ dacă vectorul său de undă nu este paralel cu axa optică.
În unele cazuri, se poate întâmpla să fie disponibilă ecuația non-canonică a elipsei indicilor, adică o ecuație de tip $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+2dxy+2exz+2fyz=1$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + 2dxy + 2exz + 2fyz = 1}$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} + 2dxy + 2exz + 2fyz = 1}$
În acest caz, datorită teoremei spectrale, ne putem readuce la forma canonică printr-o schimbare de bază. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este următorul:
1) Scrieți ecuația necanonică în formă matricială, adică într-o expresie de tip $\mathbf {x} ^{T}\mathbf {Mx} =1$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} \ mathbf {Mx} = 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {T} \ mathbf {Mx} = 1}$ : $[x\,y\,z]\cdot \left[{\begin{array}{ccc}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]=1$ ${\ displaystyle [x \, y \, z] \ cdot \ left [{\ begin {array} {ccc} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \ end {array} } \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array}} \ right] = 1}$ ${\ displaystyle [x \, y \, z] \ cdot \ left [{\ begin {array} {ccc} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \ end {array} } \ right] \ cdot \ left [{\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array}} \ right] = 1}$ ;

2) A spus $\mathbf {M} =\left[{\begin{array}{ccc}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}}\right]$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ left [{\ begin {array} {ccc} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \ end {array}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ left [{\ begin {array} {ccc} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \ end {array}} \ right]}$ , valorile proprii ale lui M sunt indicii de refracție din sistemul canonic, în timp ce vectorii proprii ai acestuia sunt axele sistemului canonic exprimate în sistemul în care se lucrează

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica