Ecuația Saha

Ecuația Saha , cunoscută și sub numele de ecuația Saha-Langmuir , este o ecuație matematică care descrie într-un mod elementar starea de ionizare a plasmei pe măsură ce temperatura variază ^[1] . Își datorează numele astrofizicianului indian Meghnad Saha care l-a introdus în 1920 ; Irving Langmuir a formulat-o independent în 1923 . Găsește o aplicație fundamentală în astrofizică , în interpretarea spectrelor stelare. De obicei, este dedus prin combinarea conceptelor de mecanică cuantică și mecanică statistică .

Ecuaţie

Ignorând constantele dimensionale sau alegând un sistem adecvat de unități de măsură , ecuația are forma elementară ^[1] :

\log n_{e}+\log n_{i}-\log n=f(T)

{\ displaystyle \ log n_ {e} + \ log n_ {i} - \ log n = f (T)}

{\ displaystyle \ log n_ {e} + \ log n_ {i} - \ log n = f (T)}

unde este:

f(T)={\frac {3}{2}}\log T-{\frac {E_{0}}{T}}

{\ displaystyle f (T) = {\ frac {3} {2}} \ log T - {\ frac {E_ {0}} {T}}}

{\ displaystyle f (T) = {\ frac {3} {2}} \ log T - {\ frac {E_ {0}} {T}}}

Aprofundarea

Pentru un gaz la o temperatură suficient de ridicată, coliziunea termică a atomilor ionizează unii dintre ei. Unul sau mai mulți electroni prezenți în mod normal în orbitalele atomice scapă de nucleul de care sunt legați, formând un nor electronic care coexistă cu gazul ionizat și cu atomii rămași în stare neutră. Această stare a materiei se numește plasmă . Ecuația Saha descrie starea de ionizare a plasmei în funcție de temperatura, densitatea și energia de ionizare a atomilor și este valabilă numai pentru plasmele slab ionizate pentru care lungimea Debye este relevantă. În aceste condiții, ecranarea sarcinii electronilor și a ionilor de către alți ioni și electroni este neglijabilă, la fel ca și scăderea consecventă a potențialilor de ionizare și variația funcției de partiție sunt neglijabile.

Pentru un gaz compus dintr-o singură specie atomică, ecuația Saha ia forma:

{\frac {n_{i+1}n_{e}}{n_{i}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{i+1}}{g_{i}}}\exp \left[-{\frac {(\varepsilon _{i+1}-\varepsilon _{i})}{k_{B}T}}\right]

{\ displaystyle {\ frac {n_ {i + 1} n_ {e}} {n_ {i}}} = {\ frac {2} {\ Lambda ^ {3}}} {\ frac {g_ {i + 1 }} {g_ {i}}} \ exp \ left [- {\ frac {(\ varepsilon _ {i + 1} - \ varepsilon _ {i})} {k_ {B} T}} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {n_ {i + 1} n_ {e}} {n_ {i}}} = {\ frac {2} {\ Lambda ^ {3}}} {\ frac {g_ {i + 1 }} {g_ {i}}} \ exp \ left [- {\ frac {(\ varepsilon _ {i + 1} - \ varepsilon _ {i})} {k_ {B} T}} \ right]}

Unde:

$n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ este densitatea atomilor din starea th j- de ionizare, caracterizat prin electronii îndepărtate de atomul neutru
$g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ este numărul stărilor degenerate ale ionilor i
$\varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ $\ varepsilon _ {i}$ este energia necesară pentru îndepărtarea electronilor dintr-un atom neutru
$n_{e}$ ${\ displaystyle n_ {e}}$ $nici$ este densitatea electronilor
$\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ este lungimea de undă a electronului

\Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}}{2\pi m_{e}\,k_{B}T}}}

{\ displaystyle \ Lambda = {\ sqrt {\ frac {h ^ {2}} {2 \ pi m_ {e} \, k_ {B} T}}}}

{\ displaystyle \ Lambda = {\ sqrt {\ frac {h ^ {2}} {2 \ pi m_ {e} \, k_ {B} T}}}}

$m_{e}$ ${\ displaystyle m_ {e}}$ $eu insumi}$ este masa unui electron
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura gazului (în unități de energie: keV, J ...)
$h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck
$k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ este constanta lui Boltzmann

În cazul în care un singur nivel de ionizare este relevant, avem $n_{1}=n_{e}$ ${\ displaystyle n_ {1} = n_ {e}}$ ${\ displaystyle n_ {1} = n_ {e}}$ e, definind densitatea totală n ca $n=n_{0}+n_{1}$ ${\ displaystyle n = n_ {0} + n_ {1}}$ ${\ displaystyle n = n_ {0} + n_ {1}}$ , ecuația se simplifică la forma:

{\frac {n_{e}^{2}}{n-n_{e}}}={\frac {2}{\Lambda ^{3}}}{\frac {g_{1}}{g_{0}}}\exp \left[{\frac {-\varepsilon }{k_{B}T}}\right]

{\ displaystyle {\ frac {n_ {e} ^ {2}} {n-n_ {e}}} = {\ frac {2} {\ Lambda ^ {3}}} {\ frac {g_ {1}} {g_ {0}}} \ exp \ left [{\ frac {- \ varepsilon} {k_ {B} T}} \ right]}

{\ displaystyle {\ frac {n_ {e} ^ {2}} {n-n_ {e}}} = {\ frac {2} {\ Lambda ^ {3}}} {\ frac {g_ {1}} {g_ {0}}} \ exp \ left [{\ frac {- \ varepsilon} {k_ {B} T}} \ right]}

unde este $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este energia de ionizare.

Ecuația lui Saha este utilă pentru calcularea densității particulelor în două stări de ionizare diferite. În acest scop, cea mai utilă formă a ecuației este următoarea:

{\frac {Z_{i}}{N_{i}}}={\frac {Z_{i+1}Z_{e}}{N_{i+1}N_{e}}}

{\ displaystyle {\ frac {Z_ {i}} {N_ {i}}} = {\ frac {Z_ {i + 1} Z_ {e}} {N_ {i + 1} N_ {e}}}}

{\ displaystyle {\ frac {Z_ {i}} {N_ {i}}} = {\ frac {Z_ {i + 1} Z_ {e}} {N_ {i + 1} N_ {e}}}}

,

unde Z denotă funcția de partiție . Ecuația lui Saha poate fi văzută ca o reafirmare a stării de echilibru a potențialelor chimice :

\mu _{i}=\mu _{i+1}+\mu _{e}

{\ displaystyle \ mu _ {i} = \ mu _ {i + 1} + \ mu _ {e}}

{\ displaystyle \ mu _ {i} = \ mu _ {i + 1} + \ mu _ {e}}

Notă

^ ^a ^b Pucella, Segre, Fizica plasmei, Zanichelli, par. 1.1 Gazele ionizate

linkuri externe

( EN ) O derivare detaliată de la Universitatea din Utah Departamentul de Fizică
( EN ) Note de curs de la Universitatea din Maryland Departamentul de Astrofizică
( EN ) Saha, Megh Nad;On a Physical Theory of Stellar Spectra , Proceedings of the Royal Society of London, Seria A, Volumul 99, Numărul 697 (mai 1921), pp. 135–153
( EN ) Langmuir, Irving; și Kingdon, Kenneth H; Îndepărtarea torului de pe suprafața unui filament de tungsten toriat prin bombardament pozitiv cu ioni , revizuire fizică, vol. 22, nr. 2 (august 1923), pp. 148-160

Portal cuantic

Portalul Stelelor

[Segre-1] Pucella, Segre, Fizica plasmei, Zanichelli, par. 1.1 Gazele ionizate

[1]