Hexagon magic

Un hexagon magic de ordinul n este un aranjament de numere distincte unul de altul într-un tabel hexagonal compus din n celule pe fiecare parte, astfel încât suma numerelor din fiecare rând, în fiecare dintre cele trei direcții posibile, să aibă aceeași constantă ca o sumă magică . Un hexagon magic normal are constrângerea suplimentară de a utiliza numere întregi consecutive de la 1 la 3 n ² - 3 n + 1. Se poate arăta că hexagonele magice normale există doar pentru n = 1 (trivial) și n = 3; în plus, soluția de ordinul 3 este în esență unică, cu excepția rotațiilor și reflexiilor.


Comanda 1 M = 1	Ordinul 3 M = 38

Ordinul 3 Magic Hex a fost publicat de multe ori ca o „nouă” descoperire. Cea mai veche referință cunoscută este cea a lui Ernst von Haselberg, în 1887 .

Chiar dacă nu există hexagoane magice normale de ordin mai mare de 3, este posibil să se găsească hexagoane ușor „anormale”, adică conțin toate cifrele consecutive, dar nu încep cu 1. Un exemplu sunt hexagonele de ordinul 4 și 5 descoperite de Zahray Arsen:


Ordinul 4 M = 111	Ordinul 5 M = 244

Ordinea 4 hex începe cu 3 și se termină cu 38; constanta magică este 111. Cea de ordine 5 începe cu 6 și se termină cu 66; constanta sa magică este de 244.

În acest moment, cel mai mare hex magic cunoscut a fost găsit de Zahray Arsen pe 22 martie 2006 : începe cu 2 și se termină cu 128, cu o constantă magică de 635.

Cu toate acestea, un hexagon magic mai mare, dar „diferit (fiind format din numere întregi opuse)”, de ordinul 8, a fost creat de Louis K. Hoelbling la 5 februarie 2006:

Începe cu -84 și se termină cu 84, iar constanta sa magică este 0.

Demonstrație

Iată un traseu demonstrativ că nu pot exista alte hexagene magice de ordine decât 1 și 3.

Constanta magică M a unui hex magic normal poate fi determinată după cum urmează. Numerele din hex sunt consecutive, deci suma lor este un număr triunghiular , mai exact

s={1 \over {2}}(9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2).

{\ displaystyle s = {1 \ over {2}} (9n ^ {4} -18n ^ {3} + 18n ^ {2} -9n + 2).}

{\ displaystyle s = {1 \ over {2}} (9n ^ {4} -18n ^ {3} + 18n ^ {2} -9n + 2).}

Deoarece liniile pot fi în trei direcții, fiecare număr este numărat de trei ori, deci suma tuturor liniilor este de 3 s . Dar există r = 3 ( 2n - 1) rânduri într-un hex, deci suma din fiecare rând trebuie să fie

M={3s \over {r}}={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2(2n-1)}}.

{\ displaystyle M = {3s \ over {r}} = {9n ^ {4} -18n ^ {3} + 18n ^ {2} -9n + 2 \ over {2 (2n-1)}}.}

{\ displaystyle M = {3s \ over {r}} = {9n ^ {4} -18n ^ {3} + 18n ^ {2} -9n + 2 \ over {2 (2n-1)}}.}

Rescrierea expresiei ca

32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{5 \over 2n-1}

{\ displaystyle 32M = 72n ^ {3} -108n ^ {2} + 90n-27 + {5 \ over 2n-1}}

{\ displaystyle 32M = 72n ^ {3} -108n ^ {2} + 90n-27 + {5 \ over 2n-1}}

vedem că 5 / (2 n - 1) trebuie să fie un număr întreg. Singurii n ≥ 1 care îndeplinesc această condiție sunt n = 1 și n = 3.

T-hexagonele magice

Hexagonele pot fi construite și cu triunghiuri


Ordinul 2	Comandați 2 cu numerele 1–24

Hexele magice de acest tip pot fi numite hexagene T magice și au mult mai multe proprietăți decât cele magice normale.

Un T-hex de ordinul n este compus din $6n^{2}$ ${\ displaystyle 6n ^ {2}}$ ${\ displaystyle 6n ^ {2}}$ triunghiuri, iar suma tuturor numerelor sale este dată de

{S}={6n^{2}(6n^{2}+1) \over 2}

{\ displaystyle {S} = {6n ^ {2} (6n ^ {2} +1) \ peste 2}}

{\ displaystyle {S} = {6n ^ {2} (6n ^ {2} +1) \ peste 2}}

Dacă decidem să construim un T-hex, n trebuie să fie neapărat egal; de fapt, există r = 2 n rânduri într-un hexagon T, atunci suma numerelor fiecărui rând trebuie să fie

M={S \over R}={3n^{2}(6n^{2}+1) \over 2n}

{\ displaystyle M = {S \ over R} = {3n ^ {2} (6n ^ {2} +1) \ over 2n}}

{\ displaystyle M = {S \ over R} = {3n ^ {2} (6n ^ {2} +1) \ over 2n}}

Pentru ca acesta să fie un număr întreg , n trebuie să fie par. Primul hexagon T, de ordinul 2, a fost descoperit de John Baker la 13 septembrie 2003; de-a lungul timpului s-au descoperit hexagonele T de ordinul 2, 4, 6 și 8; în plus, John Baker și David King au descoperit că există exact 59.674.527 hexagone T de ordin diferit 2.

Una dintre cele mai surprinzătoare proprietăți ale hexagonelor T este aceea că suma numerelor conținute în triunghiurile orientate în sus este egală cu suma numerelor conținute în triunghiurile orientate în jos; în exemplul de mai sus,