Formula lui Laguerre

Formula lui Laguerre (numită după Edmond Laguerre ) exprimă unghiul acut $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ între două linii reale proprii.

\phi =|{\frac {i}{2}}\operatorname {Log} \operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})|

{\ displaystyle \ phi = | {\ frac {i} {2}} \ operatorname {Log} \ operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) |}

{\ displaystyle \ phi = | {\ frac {i} {2}} \ operatorname {Log} \ operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) |}

Înțelesul simbolurilor:

$\operatorname {Log}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Log}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Log}}$ este logaritmul principal
$\operatorname {Cr}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cr}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cr}}$ este raportul transversal de patru puncte aliniate
$P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ sunt punctele la infinit ale celor două linii
$I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ Și $I_{2}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ $I_2$ sunt intersecțiile cercului absolut , ale ecuațiilor $x_{0}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {0} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0}$ , cu linia de legătură $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ .

Expresia din barele formularului este un număr real.

Formula lui Laguerre își găsește aplicația în viziunea computerizată , deoarece cercul absolut are o imagine pe planul retinei care este invariantă în mișcările camerei, iar raportul transversal de patru puncte aliniate este egal cu raportul transversal al imaginilor lor pe planul retinei.

Demonstrație

Este rezonabil să presupunem că cele două linii sunt pentru origine. Deoarece cercul absolut este invariant sub izometrii , se poate presupune, de asemenea, că prima linie este axa x și că a doua linie se află în planul z = 0. Coordonatele omogene ale celor patru puncte din formulă sunt respectiv

(0,1,i,0),\ (0,1,-i,0),\ (0,1,0,0),\ (0,\cos \phi ,\pm \sin \phi ,0).

{\ displaystyle (0,1, i, 0), \ (0,1, -i, 0), \ (0,1,0,0), \ (0, \ cos \ phi, \ pm \ sin \ phi, 0).}

{\ displaystyle (0,1, i, 0), \ (0,1, -i, 0), \ (0,1,0,0), \ (0, \ cos \ phi, \ pm \ sin \ phi, 0).}

Coordonatele lor neomogene pe linia necorespunzătoare a planului z = 0 sunt $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , $-i$ ${\ displaystyle -i}$ $-la$ , 0, $\pm \sin \phi /\cos \phi$ ${\ displaystyle \ pm \ sin \ phi / \ cos \ phi}$ ${\ displaystyle \ pm \ sin \ phi / \ cos \ phi}$ . (Posibilul schimb de $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ Și $I_{2}$ ${\ displaystyle I_ {2}}$ $I_2$ transformă raportul încrucișat în reciproc, de unde formula pentru $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ dă același rezultat.) Din formula raportului încrucișat se obține

$\operatorname {Cr} (I_{1},I_{2},P_{1},P_{2})=-{\frac {-i\cos \phi \pm \sin \phi }{i\cos \phi \pm \sin \phi }}=e^{\pm 2i\phi }.$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) = - {\ frac {-i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi} {i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi}} = e ^ {\ pm 2i \ phi}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cr} (I_ {1}, I_ {2}, P_ {1}, P_ {2}) = - {\ frac {-i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi} {i \ cos \ phi \ pm \ sin \ phi}} = e ^ {\ pm 2i \ phi}.}$

Bibliografie

O. Faugeras. Viziune tridimensională pe computer. MIT Press, Cambridge, Londra, 1999.