Funcția Gompertz-Makeham

Funcția Gompertz-Makeham este o binecunoscută lege analitică a supraviețuirii folosită în matematica actuarială .

Este reprezentat de funcția:

l_{x}=k\cdot s^{x}\cdot g^{c^{x}}

{\ displaystyle l_ {x} = k \ cdot s ^ {x} \ cdot g ^ {c ^ {x}}}

{\ displaystyle l_ {x} = k \ cdot s ^ {x} \ cdot g ^ {c ^ {x}}}

Ipotezele asumate prin acest model sunt că:

1) există o componentă a mortalității din cauze accidentale.
2) există o componentă datorată îmbătrânirii cu forță crescândă pe măsură ce vârsta x a individului crește

rezultând o forță globală de mortalitate egală cu:

\ \mu _{x}=\alpha +\beta c^{x}

{\ displaystyle \ \ mu _ {x} = \ alpha + \ beta c ^ {x}}

{\ displaystyle \ \ mu _ {x} = \ alpha + \ beta c ^ {x}}

cu alfa și beta mai mari de 0 și c mai mari de 1.

Exploatând relația dintre forța mortalității și legea supraviețuirii, obținem:

l_{x}=l_{a}\cdot e^{-\int _{a}^{x}{(\alpha +\beta c^{u})du}}=l_{a}\cdot e^{-[\alpha u+\beta {\frac {c^{u}}{\log c}}]_{a}^{x}}

{\ displaystyle l_ {x} = l_ {a} \ cdot e ^ {- \ int _ {a} ^ {x} {(\ alpha + \ beta c ^ {u}) du}} = l_ {a} \ cdot e ^ {- [\ alpha u + \ beta {\ frac {c ^ {u}} {\ log c}}] _ {a} ^ {x}}}

{\ displaystyle l_ {x} = l_ {a} \ cdot e ^ {- \ int _ {a} ^ {x} {(\ alpha + \ beta c ^ {u}) du}} = l_ {a} \ cdot e ^ {- [\ alpha u + \ beta {\ frac {c ^ {u}} {\ log c}}] _ {a} ^ {x}}}

=l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}\cdot e^{-ax}\cdot e^{-\beta {\frac {c^{x}}{\log c}}}

{\ displaystyle = l_ {a} \ cdot e ^ {\ alpha a + \ beta \ cdot {\ frac {c ^ {a}} {\ log c}}} \ cdot e ^ {- ax} \ cdot e ^ {- \ beta {\ frac {c ^ {x}} {\ log c}}}}

{\ displaystyle = l_ {a} \ cdot e ^ {\ alpha a + \ beta \ cdot {\ frac {c ^ {a}} {\ log c}}} \ cdot e ^ {- ax} \ cdot e ^ {- \ beta {\ frac {c ^ {x}} {\ log c}}}}

În cele din urmă, plasarea:

l_{a}\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot {\frac {c^{a}}{\log c}}}=k

{\ displaystyle l_ {a} \ cdot e ^ {\ alpha a + \ beta \ cdot {\ frac {c ^ {a}} {\ log c}}} = k}

{\ displaystyle l_ {a} \ cdot e ^ {\ alpha a + \ beta \ cdot {\ frac {c ^ {a}} {\ log c}}} = k}

\ e^{-\alpha }=s

{\ displaystyle \ e ^ {- \ alpha} = s}

{\ displaystyle \ e ^ {- \ alpha} = s}

\ e^{-{\frac {\beta }{\log c}}}=g

{\ displaystyle \ e ^ {- {\ frac {\ beta} {\ log c}}} = g}

{\ displaystyle \ e ^ {- {\ frac {\ beta} {\ log c}}} = g}

astfel se obține ecuația inițială.

Bibliografie

B. Gompertz, Despre natura funcției expresive a legii mortalității umane și despre un nou mod de determinare a valorii contingențelor de viață , în Tranzacțiile filozofice ale Societății Regale din Londra , vol. 115, 1825, pp. 513-585.
WM Makeham, On the Law of Mortality and the Construction of Annuity Tables , în J. Inst. Actuari și Assur. Mag. , Vol. 8, 1860, pp. 301-310.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică