Forța mortalității

Forța mortalității (cunoscută și sub numele de rata de mortalitate instantanee ) este o cantitate de matematică actuarială care se obține prin calcularea limitei pentru h care tinde la zero în raportul mortalității.

Prin definiție, se știe că probabilitatea ca un cap de vârstă x să moară până la vârsta x + dx este dată de:

$\mu dx={\frac {l(x)-l(x+dx)}{l(x)}}=-{\frac {l(x+dx)-l(x)}{l(x)}}$ ${\ displaystyle \ mu dx = {\ frac {l (x) -l (x + dx)} {l (x)}} = - {\ frac {l (x + dx) -l (x)} {l (X)}}}$ ${\ displaystyle \ mu dx = {\ frac {l (x) -l (x + dx)} {l (x)}} = - {\ frac {l (x + dx) -l (x)} {l (X)}}}$

Dacă luăm în considerare prin ipoteză $\ l(x)$ ${\ displaystyle \ l (x)}$ ${\ displaystyle \ l (x)}$ derivabil și cu o primă derivată continuă, este posibil, prin comiterea unei erori la mai puțin de infinitesimale de ordin mai mare decât dx, să se aproximeze creșterea la numărător cu diferențialul funcției $\ l(x)$ ${\ displaystyle \ l (x)}$ ${\ displaystyle \ l (x)}$ , egal cu $\ l'(x)$ ${\ displaystyle \ l '(x)}$ ${\ displaystyle \ l '(x)}$ $\ dx$ ${\ displaystyle \ dx}$ ${\ displaystyle \ dx}$ .

Prin urmare:

$\mu dx=-{\frac {l'(x)}{l}}\cdot dx$ ${\ displaystyle \ mu dx = - {\ frac {l '(x)} {l}} \ cdot dx}$ ${\ displaystyle \ mu dx = - {\ frac {l '(x)} {l}} \ cdot dx}$

unde este:

\mu =-{l'(x) \over l(x)}=-{d \over dx}\log l(x)

{\ displaystyle \ mu = - {l '(x) \ over l (x)} = - {d \ over dx} \ log l (x)}

{\ displaystyle \ mu = - {l '(x) \ over l (x)} = - {d \ over dx} \ log l (x)}

Semnificația următoarei expresii este fundamentală: comiterea unei erori la mai puțin de infinitesimale de ordin mai mare decât dx, probabilitatea de a muri într-un interval dx este proporțională cu dx.

Din forța mortalității se poate trece cu ușurință la legea supraviețuirii $\ l_{x}$ ${\ displaystyle \ l_ {x}}$ ${\ displaystyle \ l_ {x}}$ .

De fapt, integrând ecuația anterioară într-un interval compact [0, x] obținem: