Funcțiile Lauricelei

În matematică pentru serile hipergeometrice Lauricella sau funcțiile Lauricella se înțelege patru serii hipergeometrice din trei variabile introduse și studiate de Giuseppe Lauricella în 1893.

Definiții

F_{A}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}

{\ displaystyle F_ {A} ^ {(3)} (a, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}; x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1 } + i_ {2} + i_ {3}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3} }} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} (c_ {2}) _ {i_ {2}} (c_ {3}) _ {i_ {3}} i_ {1}! i_ {2 }! i_ {3}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

{\ displaystyle F_ {A} ^ {(3)} (a, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}; x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1 } + i_ {2} + i_ {3}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3} }} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} (c_ {2}) _ {i_ {2}} (c_ {3}) _ {i_ {3}} i_ {1}! i_ {2 }! i_ {3}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

F_{B}^{(3)}(a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}(a_{2})_{i_{2}}(a_{3})_{i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}

{\ displaystyle F_ {B} ^ {(3)} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c; x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}) _ { i_ {1}} (a_ {2}) _ {i_ {2}} (a_ {3}) _ {i_ {3}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3}}} {(c) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} i_ {1}! i_ {2 }! i_ {3}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

{\ displaystyle F_ {B} ^ {(3)} (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c; x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}) _ { i_ {1}} (a_ {2}) _ {i_ {2}} (a_ {3}) _ {i_ {3}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3}}} {(c) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} i_ {1}! i_ {2 }! i_ {3}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

F_{C}^{(3)}(a,b,c_{1},c_{2},c_{3};x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}}{(c_{1})_{i_{1}}(c_{2})_{i_{2}}(c_{3})_{i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}

{\ displaystyle F_ {C} ^ {(3)} (a, b, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}; x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} ( b) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} (c_ {2}) _ {i_ {2}} (c_ { 3}) _ {i_ {3}} i_ {1}! I_ {2}! I_ {3}!}} X_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

{\ displaystyle F_ {C} ^ {(3)} (a, b, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}; x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} ( b) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} (c_ {2}) _ {i_ {2}} (c_ { 3}) _ {i_ {3}} i_ {1}! I_ {2}! I_ {3}!}} X_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

F_{D}^{(3)}(a,b_{1},b_{2},b_{3},c;x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{i_{1},i_{2},i_{3}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}(b_{1})_{i_{1}}(b_{2})_{i_{2}}(b_{3})_{i_{3}}}{(c)_{i_{1}+i_{2}+i_{3}}i_{1}!i_{2}!i_{3}!}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}x_{3}^{i_{3}}

{\ displaystyle F_ {D} ^ {(3)} (a, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c; x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} ( b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3}}} {(c) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} i_ {1}! i_ {2}! i_ {3}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

{\ displaystyle F_ {D} ^ {(3)} (a, b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, c; x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = \ sum _ {i_ {1}, i_ {2}, i_ {3} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} ( b_ {1}) _ {i_ {1}} (b_ {2}) _ {i_ {2}} (b_ {3}) _ {i_ {3}}} {(c) _ {i_ {1} + i_ {2} + i_ {3}} i_ {1}! i_ {2}! i_ {3}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} x_ {2} ^ {i_ {2}} x_ {3} ^ {i_ {3}}}

unde este $(a)_{i}$ ${\ displaystyle (a) _ {i}}$ ${\ displaystyle (a) _ {i}}$ denotă simbolul lui Pochhammer , adică

(a)_{i}:=a(a+1)\dots (a+i-1).\,

{\ displaystyle (a) _ {i}: = a (a + 1) \ dots (a + i-1). \,}

{\ displaystyle (a) _ {i}: = a (a + 1) \ dots (a + i-1). \,}

Lauricella a indicat, de asemenea, existența altor zece funcții hipergeometrice interesante din trei variabile. Acestea au fost identificate și studiate de Saran în 1954. Se vorbește și despre cele 14 funcții hipergeometrice ale Lauricella-Saran .

Generalizări

Cele patru serii introduse de Lauricella pot fi extinse direct la cât mai multe funcții ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile după cum urmează.

$F_{A}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\ldots (c_{n})_{i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}$ ${\ displaystyle F_ {A} ^ {(n)} (a, b_ {1}, \ ldots, b_ {n}, c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n }} (b_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (b_ {n}) _ {i_ {n}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (c_ { n}) _ {i_ {n}} i_ {1}! \ ldots i_ {n}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$ ${\ displaystyle F_ {A} ^ {(n)} (a, b_ {1}, \ ldots, b_ {n}, c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n }} (b_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (b_ {n}) _ {i_ {n}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (c_ { n}) _ {i_ {n}} i_ {1}! \ ldots i_ {n}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$

$F_{B}^{(n)}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{3},c;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{i_{1}}\ldots (a_{n})_{i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}$ ${\ displaystyle F_ {B} ^ {(n)} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, b_ {1}, \ ldots, b_ {3}, c; x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots ( a_ {n}) _ {i_ {n}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (b_ {n}) _ {i_ {n}}} {(c) _ {i_ {1 } + \ ldots + i_ {n}} i_ {1}! \ ldots i_ {n}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$ ${\ displaystyle F_ {B} ^ {(n)} (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, b_ {1}, \ ldots, b_ {3}, c; x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots ( a_ {n}) _ {i_ {n}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (b_ {n}) _ {i_ {n}}} {(c) _ {i_ {1 } + \ ldots + i_ {n}} i_ {1}! \ ldots i_ {n}!}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$

$F_{C}^{(n)}(a,b,c_{1},\ldots ,c_{n};x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}}{(c_{1})_{i_{1}}\ldots (c_{n})_{i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}$ ${\ displaystyle F_ {C} ^ {(n)} (a, b, c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}} (b) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (c_ {n}) _ {i_ {n}} i_ {1}! \ ldots i_ {n} !}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$ ${\ displaystyle F_ {C} ^ {(n)} (a, b, c_ {1}, \ ldots, c_ {n}; x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}} (b) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}}} {(c_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (c_ {n}) _ {i_ {n}} i_ {1}! \ ldots i_ {n} !}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$

$F_{D}^{(n)}(a,b_{1},\ldots ,b_{n},c;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}=0}^{\infty }{\frac {(a)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}(b_{1})_{i_{1}}\ldots (b_{n})_{i_{n}}}{(c)_{i_{1}+\ldots +i_{n}}i_{1}!\ldots i_{n}!}}x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}$ ${\ displaystyle F_ {D} ^ {(n)} (a, b_ {1}, \ ldots, b_ {n}, c; x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (b_ {n}) _ {i_ {n}}} {(c) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}} i_ {1}! \ Ldots i_ {n} !}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$ ${\ displaystyle F_ {D} ^ {(n)} (a, b_ {1}, \ ldots, b_ {n}, c; x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {n} = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}} (b_ {1}) _ {i_ {1}} \ ldots (b_ {n}) _ {i_ {n}}} {(c) _ {i_ {1} + \ ldots + i_ {n}} i_ {1}! \ Ldots i_ {n} !}} x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}}}$

Uneori termenul de serie hipergeometrică Lauricella denotă aceleași serii.

Reduceri

Când reducem variabilele la două, obținem seria hipergeometrică a lui Appell după cum urmează:

F_{A}\equiv F_{2},\,F_{B}\equiv F_{3},\,F_{C}\equiv F_{4},\,F_{D}\equiv F_{1}.

{\ displaystyle F_ {A} \ equiv F_ {2}, \, F_ {B} \ equiv F_ {3}, \, F_ {C} \ equiv F_ {4}, \, F_ {D} \ equiv F_ { 1}.}

{\ displaystyle F_ {A} \ equiv F_ {2}, \, F_ {B} \ equiv F_ {3}, \, F_ {C} \ equiv F_ {4}, \, F_ {D} \ equiv F_ { 1}.}

Dacă ne reducem la o variabilă, toate cele patru funcții sunt reduse la seria hipergeometrică a lui Gauss

\,_{2}F_{1}(a;b;c;x).

{\ displaystyle \, _ {2} F_ {1} (a; b; c; x).}

{\ displaystyle \, _ {2} F_ {1} (a; b; c; x).}

Aceste definiții sunt generalizări ale definiției seriei hipergeometrice .

Bibliografie

G. Lauricella: Pe funcții hipergeometrice multi-variabile , Rend. Circ. Mat. Palermo, 7 , p.111-158 (1893).
( FR ) Paul Émile Appell , Joseph Kampé de Fériet : Fonctions hypergéométriques et hypersphériques (Paris, Gauthier-Villars, 1926)
S. Saran: Funcții hipergeometrice ale trei variabile , Ganita, 5, nr. 1, p77-91 (1954).
( RO ) Lucy Joan Slater: Funcții hipergeometrice generalizate capitolul 8 (Cambridge University Press, 1966) ISBN 052106483X MR 0201688
( EN ) H. Exton: Funcții hipergeometrice multiple (Halsted Press, 1976) ISBN 0470151900

linkuri externe

Funcțiile Lauricella MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică