H-infinit

H _∞ (adică H -finity ) este o metodă utilizată în teoria controlului pentru a sintetiza controlere pentru a obține stabilitate și performanță garantate. Pentru a utiliza o metodă H _∞ , un proiectant de controler exprimă problema de control ca o problemă de optimizare matematică și, în consecință, proiectează controlerul care rezolvă această optimizare. În comparație cu tehnicile de control clasice, tehnicile H _∞ au avantajul de a fi ușor aplicabile problemelor sistemelor multi-variabile cu cuplări între canale; printre dezavantajele tehnicilor H _∞ este nivelul ridicat de înțelegere matematice necesare pentru a le aplica cu succes și necesitatea unui model bun pentru ca sistemul să fie controlat. Este important să ne amintim că controlerul rezultat este optim numai în ceea ce privește funcția de cost aleasă și nu reprezintă neapărat cel mai bun controler în ceea ce privește măsurile de performanță utilizate în mod normal pentru evaluarea controlerelor precum tranzitorii, depășiri etc. De asemenea, trebuie adăugat că constrângerile neliniare, cum ar fi saturația, nu sunt în general bine tolerate de astfel de metode. Aceste metode au fost introduse în teoria controlului la sfârșitul anilor 1970 și începutul anilor 1980 de George Zames (minimizarea sensibilității) ^[1] , J. William Helton (potrivirea în bandă largă) ^[2] și Allen Tannenbaum (optimizarea marjei de câștig) ^[3] .

Terminologia de control H _∞ derivă din numele spațiului matematic în care are loc optimizarea: H _∞ este spațiul Hardy al funcțiilor matricei analitice și mărginite în jumătatea dreaptă a planului complex definit de Re ( s )> 0 ; norma H _∞ este valoarea maximă unică a funcției în acest spațiu.

Formularea matematică

În primul rând, problema trebuie reprezentată cu configurația standard, cunoscută sub numele de plantă generalizată :

Prin urmare, blocul P are două intrări: w , care include atât perturbările, cât și referința, și variabilele u . Cele două ieșiri, z care conține erorile de minimizat și variabilele măsurate v , utilizate pentru controlul sistemului. Controlerul K calculează apoi valoarea variabilelor u . necesare pentru a minimiza eroarea și pentru a respecta referința. Toate aceste semnale pot fi atât scalare, cât și vectori, în consecință K și P pot fi matrice.

Prin urmare, formularea matematică este următoarea:

{\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=\mathbf {P} (s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} z ​​\\ v \ end {bmatrix}} = \ mathbf {P} (s) \, {\ begin {bmatrix} w \\ u \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} P_ {11} (s) & P_ {12} (s) \\ P_ {21} (s) & P_ {22} (s) \ end {bmatrix}} \, {\ begin {bmatrix } w \\ u \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} z ​​\\ v \ end {bmatrix}} = \ mathbf {P} (s) \, {\ begin {bmatrix} w \\ u \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} P_ {11} (s) & P_ {12} (s) \\ P_ {21} (s) & P_ {22} (s) \ end {bmatrix}} \, {\ begin {bmatrix } w \\ u \ end {bmatrix}}}

u=\mathbf {K} (s)\,v

{\ displaystyle u = \ mathbf {K} (s) \, v}

{\ displaystyle u = \ mathbf {K} (s) \, v}

Prin urmare, putem exprima dependența de z față de w ca:

z=F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )\,w

{\ displaystyle z = F _ {\ ell} (\ mathbf {P}, \ mathbf {K}) \, w}

{\ displaystyle z = F _ {\ ell} (\ mathbf {P}, \ mathbf {K}) \, w}

F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )=P_{11}+P_{12}\,\mathbf {K} \,(I-P_{22}\,\mathbf {K} )^{-1}\,P_{21}

{\ displaystyle F _ {\ ell} (\ mathbf {P}, \ mathbf {K}) = P_ {11} + P_ {12} \, \ mathbf {K} \, (I-P_ {22} \, \ mathbf {K}) ^ {- 1} \, P_ {21}}

{\ displaystyle F _ {\ ell} (\ mathbf {P}, \ mathbf {K}) = P_ {11} + P_ {12} \, \ mathbf {K} \, (I-P_ {22} \, \ mathbf {K}) ^ {- 1} \, P_ {21}}

Scopul sintezei ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ infty}}$ controlerului este apoi de identificat $\mathbf {K}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$ astfel încât $F_{\ell }(\mathbf {P} ,\mathbf {K} )$ ${\ displaystyle F _ {\ ell} (\ mathbf {P}, \ mathbf {K})}$ ${\ displaystyle F _ {\ ell} (\ mathbf {P}, \ mathbf {K})}$ este minim conform normei ${\mathcal {H}}_{\infty }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ infty}}$ . Aceeași definiție se aplică sintezei controlerelor ${\mathcal {H}}_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {2}}$ .