Legea cubului pătrat

Discursuri și demonstrații matematice în jurul a două noi științe de Galileo Galilei, 1638

Legea cubului pătrat este un principiu matematic, aplicabil în diverse domenii științifice, care descrie relația dintre volum și aria unui corp pe baza creșterii sau scăderii dimensiunii sale. A fost descris pentru prima dată în 1638 de Galileo Galilei în Discursuri și demonstrații matematice în jurul a două noi științe .

Legea cubului pătrat afirmă că odată cu creșterea dimensiunii unei forme, volumul acesteia crește mai mult decât suprafața. Acest principiu este important în mai multe domenii, cum ar fi ingineria mecanică sau biomecanica : ajută la explicarea mai multor fenomene, inclusiv de ce mamiferele mari, cum ar fi elefanții, pierd mai greu căldura corpului decât mamiferele mici ^[1] și de ce construirea unor zgârie-nori mai înalți este mai dificilă .

Descriere

Diagrama suprafeței versus volum în solidele principale

Legea cubului pătrat poate fi enunțată după cum urmează:

„Când un obiect suferă o creștere proporțională a dimensiunii, noul său volum este proporțional cu cubul multiplicatorului, iar noua sa suprafață este proporțională cu pătratul multiplicatorului.”

Reprezentat matematic: ^[2]

A_{2}=A_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{2}

{\ displaystyle A_ {2} = A_ {1} \ left ({\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle A_ {2} = A_ {1} \ left ({\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} \ right) ^ {2}}

V_{2}=V_{1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)^{3}

{\ displaystyle V_ {2} = V_ {1} \ left ({\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} \ right) ^ {3}}

{\ displaystyle V_ {2} = V_ {1} \ left ({\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} \ right) ^ {3}}

unde este $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ sunt suprafața și volumul original, în timp ce $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ sunt noua suprafață și volum când trece marginea $\ell _{1}$ ${\ displaystyle \ ell _ {1}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {1}}$ la $\ell _{2}$ ${\ displaystyle \ ell _ {2}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {2}}$ .

De exemplu, un cub cu o margine lungă de 1 metru are o suprafață de 6 m ² și un volum de 1 m ³ . Dacă dimensiunea cubului este dublată (prin urmare, ${\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}=2$ ${\ displaystyle {\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} = 2}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} = 2}$ ), suprafața sa este înmulțită cu 2 ² și devine 24 m²; Volumul său, pe de altă parte, este înmulțit cu 2 ³ și are ca rezultat 8 m ³ .

Cubul original (marginea de 1m) are un raport suprafață / volum de 6: 1. Cubul mărit (2m muchie) are un raport suprafață / volum de 3: 1 (24/8). Acest principiu se aplică tuturor solidelor. ^[3]