Lema lui Shephard

Lema lui Shephard ( lema lui Shephard) este o proprietate importantă a funcțiilor de cost pe care în „ economia producției le permite să derive, în ceea ce este cunoscut sub denumirea de abordare duală (abordare duală), ecuațiile întrebărilor condiționale de intrare (cereri de intrare condiționate ), adică cererea de intrare constrânsă la un vector de ieșire dat, de funcția de cost.

În conformitate cu lema lui Shephard, în punctele în care funcția de cost este diferențiată în raport cu prețurile, cererea condiționată de intrare coincide cu gradientul funcției de cost în raport cu prețurile :

\ {\frac {\partial \ C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}{\partial \ \mathbf {p} }}=\mathbf {x} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ mathbf {p}}} = \ mathbf {x} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ mathbf {p}}} = \ mathbf {x} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}

unde p este vectorul prețurilor de intrare, q vectorul ieșirilor, C ( p , q ) funcția cost, adică funcția care exprimă costul minim necesar pentru a produce q la prețurile p ale intrărilor, x ( p , q ) este vectorul potrivirilor întrebărilor condiționate de intrare.

Din lema rezultă în mod direct că, odată ce funcția de cost a fost estimată, pentru a obține cererea condiționată pentru i-a intrare, este suficient să se obțină funcția de cost în raport cu prețul intrării în sine:

\ {\frac {\partial \ C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}{\partial \ p_{i}}}=x_{i}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} {\ partial \ p_ {i}}} = x_ {i} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})} {\ partial \ p_ {i}}} = x_ {i} (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}

Acest tip de abordare este numit precis dual pentru al distinge de abordarea primară , în care cererea condiționată de intrare este derivată direct din funcția de producție .

De fapt, abordarea duală este mai utilizată decât cea primară, deoarece estimarea funcțiilor de cost este mai simplă.

Demonstrație

Având în vedere funcția de cost:

C({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )={\bar {\mathbf {p} }}'\ \mathbf {x} ({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )=\sum _{i=1}^{n}{\bar {p_{i}}}\ x_{i}({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )

{\ displaystyle C ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q}) = {\ bar {\ mathbf {p}}} '\ \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf { p}}}, \ mathbf {q}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {p_ {i}}} \ x_ {i} ({\ bar {\ mathbf {p}} }, \ mathbf {q})}

{\ displaystyle C ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q}) = {\ bar {\ mathbf {p}}} '\ \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf { p}}}, \ mathbf {q}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {p_ {i}}} \ x_ {i} ({\ bar {\ mathbf {p}} }, \ mathbf {q})}

unde este $\ \mathbf {x} ({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})}$ este vectorul cererilor condiționate de intrare la prețuri de intrare $\ {\bar {\mathbf {p} }}$ ${\ displaystyle \ {\ bar {\ mathbf {p}}}}$ ${\ displaystyle \ {\ bar {\ mathbf {p}}}}$ și pentru producția de cantități $\ \mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q}}$ , putem defini o altă funcție $g(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ astfel încât:

g(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )-\mathbf {p} '\ \mathbf {x} ({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )

{\ displaystyle g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) - \ mathbf {p} '\ \ mathbf {x} ({\ bar { \ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})}

{\ displaystyle g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) - \ mathbf {p} '\ \ mathbf {x} ({\ bar { \ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})}

Prin definiție, avem:

g({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )=0

{\ displaystyle g ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q}) = 0}

{\ displaystyle g ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q}) = 0}

Din moment ce:

\ C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\leq \mathbf {p} '\ \mathbf {x} ({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )

{\ displaystyle \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) \ leq \ mathbf {p} '\ \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q} )}}

{\ displaystyle \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) \ leq \ mathbf {p} '\ \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q} )}}

urmează:

\ g(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\leq 0

{\ displaystyle \ g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) \ leq 0}

{\ displaystyle \ g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) \ leq 0}

Prin urmare în $\ {\bar {\mathbf {p} }}$ ${\ displaystyle \ {\ bar {\ mathbf {p}}}}$ ${\ displaystyle \ {\ bar {\ mathbf {p}}}}$ functia $g(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle g (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ admite un maxim cu privire la $\ \mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {p}}$ . Mai mult, deoarece, prin ipoteză, funcția de cost este diferențiată, g va fi, de asemenea, diferențiată și vom avea:

\ {\frac {\partial \ g({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )}{\partial \ \mathbf {p} }}={\frac {\partial \ C({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )}{\partial \ \mathbf {p} }}-\mathbf {x} ({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )=\mathbf {0}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ g ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ mathbf {p}}} = {\ frac {\ partial \ C ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ mathbf {p}}} - \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}} }, \ mathbf {q}) = \ mathbf {0}}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ g ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ mathbf {p}}} = {\ frac {\ partial \ C ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ mathbf {p}}} - \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}} }, \ mathbf {q}) = \ mathbf {0}}

din care rezultă:

\ {\frac {\partial \ C({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )}{\partial \ \mathbf {p} }}=\mathbf {x} ({\bar {\mathbf {p} }},\mathbf {q} )

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ C ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ \ mathbf {p}}} = \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial \ C ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})} {\ partial \ \ \ mathbf {p}}} = \ mathbf {x} ({\ bar {\ mathbf {p}}}, \ mathbf {q})}

Bibliografie

Chambers, RG (1988), Analiza producției aplicate: o abordare duală , Cambridge University Press, New York;
Tani, P. (1986), Analiza microeconomică a producției , La Nuova Italia Scientifica, Roma;

Elemente conexe

Funcția de cost

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică