Funcția de cost

În microeconomie , funcția de cost este funcția care, având în vedere prețurile intrărilor și ieșirilor, le asociază pe acestea din urmă cu costul minim care trebuie suportat pentru producția lor.

Definiție

În mod oficial, funcția de cost este definită ca:

C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\min _{\mathbf {x} }\{\mathbf {p} '\ \mathbf {x} \ :\ \mathbf {x} \in L(\mathbf {q} )\}

{\ displaystyle C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = \ min _ {\ mathbf {x}} \ {\ mathbf {p} '\ \ mathbf {x} \: \ \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q}) \}}

{\ displaystyle C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = \ min _ {\ mathbf {x}} \ {\ mathbf {p} '\ \ mathbf {x} \: \ \ mathbf {x} \ în L (\ mathbf {q}) \}}

unde x este vectorul intrărilor, p vectorul prețurilor respective, q vectorul producțiilor și L ( q ) setul de cerințe de intrare relativ la vectorul producțiilor q , adică setul de combinații de intrări care permit producerea de q .

Pentru ca problema anterioară de minimizare să dea naștere efectivă unei funcții, este necesar, de asemenea, să facem câteva presupuneri despre caracteristicile setului de producție , adică despre procesele de producție potențial activabile și, prin urmare, despre tehnologie .

Cerința minimă este de a utiliza o așa - numită tehnologie de intrare regulată . O tehnologie este definită ca „intrare regulată” dacă dă naștere la seturi care îndeplinesc următoarele proprietăți:

a definit întregul $\ Q\subset \mathbb {R} _{+}^{n}$ ${\ displaystyle \ Q \ subset \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Q \ subset \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ din vectorii de ieșire producibili, acesta este închis și include cel puțin un vector non-negativ q ;
setul de cerințe de intrare este regulat, adică:
- $\ L(\mathbf {q} )\neq \varnothing$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q}) \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q}) \ neq \ varnothing}$ ; ^[1]
- $\ L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ L (\ mathbf {q})}$ este un set închis în $\ \mathbb {R} _{+}^{n}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ; ^[2]
- de sine $\ \mathbf {0} \in L(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {0} \ în L (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {0} \ în L (\ mathbf {q})}$ , asa de $\ \mathbf {q} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} = \ mathbf {0}}$ . ^[3]

Proprietățile funcției de cost

Funcțiile de cost sunt:

nu negativ : $\ \forall \mathbf {q} \in Q,\ \mathbf {p} \in \mathbb {R} _{+}^{n}$ ${\ displaystyle \ \ forall \ mathbf {q} \ în Q, \ \ mathbf {p} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ \ forall \ mathbf {q} \ în Q, \ \ mathbf {p} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ vei avea $\ C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\geq \mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) \ geq \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q}) \ geq \ mathbf {0}}$ ;
nu scade în comparație cu prețurile : $\ \mathbf {p} _{1}\geq \mathbf {p} _{2}\Rightarrow C(\mathbf {p} _{1},\mathbf {q} )\geq C(\mathbf {p} _{2},\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {p} _ {1} \ geq \ mathbf {p} _ {2} \ Rightarrow C (\ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {q}) \ geq C (\ mathbf {p} _ {2}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {p} _ {1} \ geq \ mathbf {p} _ {2} \ Rightarrow C (\ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {q}) \ geq C (\ mathbf {p} _ {2}, \ mathbf {q})}$ ;
care nu scade în raport cu rezultatele : $\ \mathbf {q} _{1}\geq \mathbf {q} _{2}\Rightarrow C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} _{1})\geq C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} _{2})$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {1} \ geq \ mathbf {q} _ {2} \ Rightarrow C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q} _ {1}) \ geq C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q} _ {2})}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {q} _ {1} \ geq \ mathbf {q} _ {2} \ Rightarrow C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q} _ {1}) \ geq C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q} _ {2})}$ ;
gradul I omogen în raport cu prețurile : $\ \forall \lambda \in \mathbb {R} _{+}$ ${\ displaystyle \ \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} _ {+}}$ da ai $\ C(\lambda \mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\lambda \ C(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ C (\ lambda \ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = \ lambda \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ C (\ lambda \ mathbf {p}, \ mathbf {q}) = \ lambda \ C (\ mathbf {p}, \ mathbf {q})}$ ;
concav în ceea ce privește prețurile : $\ \forall 0\leq \theta \leq 1$ ${\ displaystyle \ \ forall 0 \ leq \ theta \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ \ forall 0 \ leq \ theta \ leq 1}$ avem asta $\ C(\theta \mathbf {p} _{1}+(1-\theta )\mathbf {p} _{2},\mathbf {q} )\geq \theta C(\mathbf {p} _{1},\mathbf {q} )+(1-\theta )C(\mathbf {p} _{2},\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ C (\ theta \ mathbf {p} _ {1} + (1- \ theta) \ mathbf {p} _ {2}, \ mathbf {q}) \ geq \ theta C (\ mathbf {p } _ {1}, \ mathbf {q}) + (1- \ theta) C (\ mathbf {p} _ {2}, \ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ C (\ theta \ mathbf {p} _ {1} + (1- \ theta) \ mathbf {p} _ {2}, \ mathbf {q}) \ geq \ theta C (\ mathbf {p } _ {1}, \ mathbf {q}) + (1- \ theta) C (\ mathbf {p} _ {2}, \ mathbf {q})}$ ;
continuați cu privire la prețuri .

Proprietatea 5 derivă din faptul că creșterea costurilor ca urmare a unei creșteri a prețului intrării i-a ( $\ \Delta p_{i}$ ${\ displaystyle \ \ Delta p_ {i}}$ ${\ displaystyle \ \ Delta p_ {i}}$ ) nu poate fi niciodată mai mare decât $\ x_{i}\Delta p_{i}$ ${\ displaystyle \ x_ {i} \ Delta p_ {i}}$ ${\ displaystyle \ x_ {i} \ Delta p_ {i}}$ , unde este $\ x_{i}$ ${\ displaystyle \ x_ {i}}$ $\ x_ {i}$ este cantitatea de intrare a i-a utilizată înainte de creșterea costului. Cu cât este mai mare substituibilitatea între intrări, cu atât este mai mare concavitatea funcției de cost în raport cu prețurile, deoarece antreprenorul va tinde să înlocuiască intrarea care a devenit relativ mai scumpă cu altele al căror preț a rămas constant, astfel „amortizând” o parte din creșterea costurilor. La limită, în cazul unei complementarități perfecte a intrărilor, va exista o funcție de cost liniar în raport cu prețurile.

Ilustrație: Funcții de cost cu funcțiile de fabricație Cobb-Douglas

Luați în considerare o firmă care produce o singură producție cu două intrări, forță de muncă și capital și este supusă unei constrângeri de producție de tip Cobb-Douglas :

\ q=A\ L^{\alpha }K^{\beta }

{\ displaystyle \ q = A \ L ^ {\ alpha} K ^ {\ beta}}

{\ displaystyle \ q = A \ L ^ {\ alpha} K ^ {\ beta}}

cu

\ \alpha ,\beta ,L,K\geq 0

{\ displaystyle \ \ alpha, \ beta, L, K \ geq 0}

{\ displaystyle \ \ alpha, \ beta, L, K \ geq 0}

Și

\ A>0

{\ displaystyle \ A> 0}

{\ displaystyle \ A> 0}

(1)

Luați în considerare problema antreprenorului care intenționează să reducă la minimum costurile cu care se confruntă producerea unei cantități date q. Prin urmare, intenționăm să rezolvăm problema minimă:

\ C(w,r,q)=\min _{L,K}wL+rK

{\ displaystyle \ C (w, r, q) = \ min _ {L, K} wL + rK}

{\ displaystyle \ C (w, r, q) = \ min _ {L, K} wL + rK}

astfel încât

\ A\ L^{\alpha }K^{\beta }-q=0

{\ displaystyle \ A \ L ^ {\ alpha} K ^ {\ beta} -q = 0}

{\ displaystyle \ A \ L ^ {\ alpha} K ^ {\ beta} -q = 0}

(2)

din care prin înlocuire obținem:

\ C(w,r,q)=\min _{K}\ rK+w\left({\frac {K^{-\beta }q}{A}}\right)^{\frac {1}{\alpha }}

{\ displaystyle \ C (w, r, q) = \ min _ {K} \ rK + w \ left ({\ frac {K ^ {- \ beta} q} {A}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}

{\ displaystyle \ C (w, r, q) = \ min _ {K} \ rK + w \ left ({\ frac {K ^ {- \ beta} q} {A}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha}}}

Pentru condiții de primă comandă pentru un minim avem:

\ {\frac {\partial C}{\partial K}}=r-{\frac {A^{-{\frac {1}{\alpha }}}K^{-{\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}}w\ q^{\frac {1}{\alpha }}\beta }{\alpha }}=0

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial C} {\ partial K}} = r - {\ frac {A ^ {- {\ frac {1} {\ alpha}}} K ^ {- {\ frac {\ alpha + \ beta} {\ alpha}}} w \ q ^ {\ frac {1} {\ alpha}} \ beta} {\ alpha}} = 0}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial C} {\ partial K}} = r - {\ frac {A ^ {- {\ frac {1} {\ alpha}}} K ^ {- {\ frac {\ alpha + \ beta} {\ alpha}}} w \ q ^ {\ frac {1} {\ alpha}} \ beta} {\ alpha}} = 0}

din care obțineți funcția cerere condițională pentru intrare (funcție cerere condițională) intrare în capitală:

K=\left({\frac {A^{-{\frac {1}{\alpha }}}w\ q^{\frac {1}{\alpha }}\beta }{r\ \alpha }}\right)^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}

{\ displaystyle K = \ left ({\ frac {A ^ {- {\ frac {1} {\ alpha}}} w \ q ^ {\ frac {1} {\ alpha}} \ beta} {r \ \ alpha}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}}}

{\ displaystyle K = \ left ({\ frac {A ^ {- {\ frac {1} {\ alpha}}} w \ q ^ {\ frac {1} {\ alpha}} \ beta} {r \ \ alpha}} \ right) ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}}}

(3)

Înlocuind (3) cu (1) obținem funcția de cerere condiționată pentru job:

L=\left(A^{-\alpha }r^{\alpha \beta }w^{-\alpha \beta }q^{\alpha }\alpha ^{\alpha \beta }\beta ^{-\alpha \beta }\right)^{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}

{\ displaystyle L = \ left (A ^ {- \ alpha} r ^ {\ alpha \ beta} w ^ {- \ alpha \ beta} q ^ {\ alpha} \ alpha ^ {\ alpha \ beta} \ beta ^ {- \ alpha \ beta} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha (\ alpha + \ beta)}}}

{\ displaystyle L = \ left (A ^ {- \ alpha} r ^ {\ alpha \ beta} w ^ {- \ alpha \ beta} q ^ {\ alpha} \ alpha ^ {\ alpha \ beta} \ beta ^ {- \ alpha \ beta} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha (\ alpha + \ beta)}}}

(4)

În cele din urmă, substituind (3) și (4) în (2) obținem funcția de cost:

\ C(w,r,q)=(\alpha +\beta )\left(A\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }\right)^{-{\frac {1}{\alpha +\beta }}}\ w^{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\ r^{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}\ q^{\frac {1}{\alpha +\beta }}

{\ displaystyle \ C (w, r, q) = (\ alpha + \ beta) \ left (A \ alpha ^ {\ alpha} \ beta ^ {\ beta} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ alpha + \ beta}}} \ w ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}} \ r ^ {\ frac {\ beta} {\ alpha + \ beta}} \ q ^ {\ frac {1} {\ alpha + \ beta}}}

{\ displaystyle \ C (w, r, q) = (\ alpha + \ beta) \ left (A \ alpha ^ {\ alpha} \ beta ^ {\ beta} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ alpha + \ beta}}} \ w ^ {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}} \ r ^ {\ frac {\ beta} {\ alpha + \ beta}} \ q ^ {\ frac {1} {\ alpha + \ beta}}}

O proprietate interesantă a acestei funcții de cost este că este de tip Cobb-Douglas. De fapt, este o proprietate a funcțiilor de producție Cobb-Douglas de a genera funcții de cost Cobb-Douglas și invers. Din acest motiv, Cobb-Douglas sunt numite funcții auto-duale (literalmente „duale de la sine”).

Mai mult, indiferent de elasticitatea scării funcției de producție, funcția de cost nu este în scădere în producție și liniar omogenă în prețurile factorilor.

Notă

^ Acest lucru, cunoscut și sub numele de ipoteza productivității , necesită cel puțin un proces care utilizează o intrare și dă naștere la cel puțin o ieșire pozitivă;
^ Se spune că o mulțime S este închisă dacă conține toate punctele sale de acumulare . x este punctul de acumulare al lui S și numai dacă există cel puțin în vecinătatea unui punct x aparținând lui S excluzând x însuși. Prin urmare, un punct izolat nu este un punct de acumulare. Pentru ca condiția în cauză să fie satisfăcută, este, prin urmare, suficient ca mulțimea L ( q ) să fie alcătuită dintr-un număr finit de combinații de intrare sau dintr-un număr infinit de combinații izolate . În acest caz, de fapt, mulțimea L ( q ) nu conține puncte de acumulare și, prin urmare, este închisă. Dacă presupunem atunci existența punctelor de acumulare în mulțimea L ( q ), presupunând că acestea fac parte din L ( q ) „facilitează analiza fără a impune restricții semnificative din punct de vedere economic” (Tani, 1986, p.18 ).
^ Această presupunere este, de asemenea, cunoscută sub numele de inexistența Țării Cuccagna , deoarece dictează că producerea unor rezultate necesită întotdeauna o intrare.

Bibliografie

Chambers, RG (1988), Analiza producției aplicate: o abordare duală , Cambridge University Press, New York;
Tani, P. (1986), Analiza microeconomică a producției , La Nuova Italia Scientifica, Roma;

Elemente conexe

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85107215 · GND (DE) 4047354-5 · NDL (EN, JA) 00.570.377

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie

[nota_produttività-1] Acest lucru, cunoscut și sub numele de ipoteza productivității , necesită cel puțin un proces care utilizează o intrare și dă naștere la cel puțin o ieșire pozitivă;

[nota_chiuso-2] Se spune că o mulțime S este închisă dacă conține toate punctele sale de acumulare . x este punctul de acumulare al lui S și numai dacă există cel puțin în vecinătatea unui punct x aparținând lui S excluzând x însuși. Prin urmare, un punct izolat nu este un punct de acumulare. Pentru ca condiția în cauză să fie satisfăcută, este, prin urmare, suficient ca mulțimea L ( q ) să fie alcătuită dintr-un număr finit de combinații de intrare sau dintr-un număr infinit de combinații izolate . În acest caz, de fapt, mulțimea L ( q ) nu conține puncte de acumulare și, prin urmare, este închisă. Dacă presupunem atunci existența punctelor de acumulare în mulțimea L ( q ), presupunând că acestea fac parte din L ( q ) „facilitează analiza fără a impune restricții semnificative din punct de vedere economic” (Tani, 1986, p.18 ).

[nota_cuccagna-3] Această presupunere este, de asemenea, cunoscută sub numele de inexistența Țării Cuccagna , deoarece dictează că producerea unor rezultate necesită întotdeauna o intrare.

[1]

[2]

[3]