Unitatea de producție Cobb-Douglas

Funcțiile de producție Cobb-Douglas sunt o clasă de funcții de producție care pot fi reprezentate ca $Q:\mathbb {R} ^{N}\mapsto \mathbb {R}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbb {R} ^ {N} \ mapsto \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle Q: \ mathbb {R} ^ {N} \ mapsto \ mathbb {R}}$ , unde este:

Q(x_{1},\ldots ,x_{N})=b\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha _{i}},\ b>0,\ \alpha _{i}\geq 0,\ x_{i}\geq 0,\ i=1,\ldots ,N

{\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) = b \ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}, \ b> 0 , \ \ alpha _ {i} \ geq 0, \ x_ {i} \ geq 0, \ i = 1, \ ldots, N}

{\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) = b \ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}, \ b> 0 , \ \ alpha _ {i} \ geq 0, \ x_ {i} \ geq 0, \ i = 1, \ ldots, N}

unde Q indică cantitatea produsă, x _i al i-lea factor de producție utilizat în producție, în timp ce b și α ₁ , α ₂ , ..., α _n sunt constante.

Constanta b este o constantă multiplicativă care poate fi considerată un indicator al gradului de eficiență în utilizarea tuturor factorilor de producție. Prin urmare, este un parametru de eficiență care indică nivelul tehnologiei . ^[1]

Suma constantei α determină tipul de reveniri la scară . Astfel, vom avea:

reveniri descrescătoare la scară dacă $\ \sum _{i}\alpha _{i}<1$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i} <1}$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i} <1}$ ;
revine constant la scară dacă $\ \sum _{i}\alpha _{i}=1$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i} = 1}$ ;
randamente crescânde la scară dacă $\ \sum _{i}\alpha _{i}>1$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i}> 1}$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i}> 1}$ .

Funcțiile Cobb-Douglas se mai numesc log-liniare , deoarece sunt liniare în logaritmi. De fapt, prin transformarea în logaritmi: ^[2]

\log Q=\log b+\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\log x_{i}

{\ displaystyle \ log Q = \ log b + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ alpha _ {i} \ log x_ {i}}

{\ displaystyle \ log Q = \ log b + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ alpha _ {i} \ log x_ {i}}

Datorită proprietăților deosebit de convenabile ( diferențialitate , cvasiconcavitate ) și ușurinței cu care este posibilă tratarea lor analitică, acestea sunt utilizate pe scară largă în modelele economice.

Funcțiile de cost și utilitate Cobb-Douglas au aceeași formă ca și funcțiile de producție considerate aici.

Proprietate

Productivitatea marginală

Având în vedere o funcție generică de producție Cobb-Douglas, productivitatea marginală a factorului i este dată de:

{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}={\frac {\alpha _{i}}{x_{i}}}b\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha _{i}}=\alpha _{i}{\frac {Q}{x_{i}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {x_ {i}}} b \ prod _ {i = 1} ^ { N} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = \ alpha _ {i} {\ frac {Q} {x_ {i}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {x_ {i}}} b \ prod _ {i = 1} ^ { N} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = \ alpha _ {i} {\ frac {Q} {x_ {i}}}}

Rata marginală de înlocuire tehnică

Rata marginală de substituție tehnică (SMST) a factorului i cu factorul j este dată de:

SMST_{ij}={\frac {\partial Q/\partial x_{i}}{\partial Q/\partial x_{j}}}={\frac {\alpha _{i}x_{j}}{\alpha _{j}x_{i}}}

{\ displaystyle SMST_ {ij} = {\ frac {\ partial Q / \ partial x_ {i}} {\ partial Q / \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i} x_ {j }} {\ alpha _ {j} x_ {i}}}}

{\ displaystyle SMST_ {ij} = {\ frac {\ partial Q / \ partial x_ {i}} {\ partial Q / \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i} x_ {j }} {\ alpha _ {j} x_ {i}}}}

Elasticitatea înlocuirii

Elasticitatea substituției (σ) este constantă și unitară. De fapt, din ecuația anterioară derivă:

\log SMST_{ij}=\log {\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}+\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}

{\ displaystyle \ log SMST_ {ij} = \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alpha _ {j}}} + \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}} }}

{\ displaystyle \ log SMST_ {ij} = \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alpha _ {j}}} + \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}} }}

din care rezultă că:

\sigma ={\frac {d\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}}{d\log SMST_{ij}}}=1

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}}} {d \ log SMST_ {ij}}} = 1}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}}} {d \ log SMST_ {ij}}} = 1}

.

Funcțiile Cobb-Douglas pot fi, de asemenea, văzute ca un caz special al funcțiilor ESC , unde parametrul ρ al ESC este egal cu zero.

Geneza și averea funcției de producție Cobb-Douglas

În specificația cu doi factori - forța de muncă (L) și terenul (T) - cu reveniri constante la scară , funcția de producție Cobb-Douglas a fost inițial utilizată de Philip Wicksteed și Knut Wicksell :

\ Q=b\ L^{\alpha }T^{1-\alpha }\ \ 0<\alpha <1\ \ L,T\geq 0\ b>0

{\ displaystyle \ Q = b \ L ^ {\ alpha} T ^ {1- \ alpha} \ \ 0 <\ alpha <1 \ \ L, T \ geq 0 \ b> 0}

{\ displaystyle \ Q = b \ L ^ {\ alpha} T ^ {1- \ alpha} \ \ 0 <\ alpha <1 \ \ L, T \ geq 0 \ b> 0}

(1)

(1) este o funcție omogenă de gradul I, pentru care, prin urmare, conform teoremei lui Euler privind funcțiile omogene , are loc următoarea relație:

Q={\frac {\partial Q}{\partial L}}L+{\frac {\partial Q}{\partial T}}T

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} L + {\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} T}

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} L + {\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} T}

Presupunând egalitatea între productivitatea marginală a factorilor de producție ( $\ \partial Q/\partial L$ ${\ displaystyle \ \ partial Q / \ partial L}$ ${\ displaystyle \ \ partial Q / \ partial L}$ Și $\ \partial Q/\partial T$ ${\ displaystyle \ \ partial Q / \ partial T}$ ${\ displaystyle \ \ partial Q / \ partial T}$ ) și remunerația lor în termeni fizici, această formă funcțională permite să nu aibă reziduuri în distribuția produsului. De fapt, indicând cu w ponderea produsului care merge la muncă ( salarii ) și cu r că datorită terenului ( chirie ), putem scrie:

{\frac {\partial Q}{\partial L}}L+{\frac {\partial Q}{\partial T}}T=Q=wL+rT

{\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} L + {\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} T = Q = wL + rT}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} L + {\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} T = Q = wL + rT}

Exemplu de funcție Cobb-Douglas

În cazul revenirilor constante la scară, în care este, prin urmare, posibil să presupunem că fiecare factor este remunerat pe baza productivității sale marginale fără ca acesta să genereze reziduuri, exponenții α și (1-α) au atunci un sens economic precis. De fapt, ele reprezintă cota din produsul total atribuibil fiecărui factor. De fapt, avem:

{\frac {wL}{Q}}={\frac {\partial Q}{\partial L}}{\frac {L}{Q}}=\alpha

{\ displaystyle {\ frac {wL} {Q}} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} {\ frac {L} {Q}} = \ alpha}

{\ displaystyle {\ frac {wL} {Q}} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} {\ frac {L} {Q}} = \ alpha}

{\frac {rT}{Q}}={\frac {\partial Q}{\partial T}}{\frac {T}{Q}}=1-\alpha

{\ displaystyle {\ frac {rT} {Q}} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} {\ frac {T} {Q}} = 1- \ alpha}

{\ displaystyle {\ frac {rT} {Q}} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} {\ frac {T} {Q}} = 1- \ alpha}

În (1) există apoi reveniri constante la scară (funcția este omogenă de gradul I), dar scade productivitatea marginală pentru factorii unici. Intr-adevar:

{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial L^{2}}}=-\alpha (1-\alpha ){\frac {Q}{L^{2}}}<0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial L ^ {2}}} = - \ alpha (1- \ alpha) {\ frac {Q} {L ^ {2}}} < 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial L ^ {2}}} = - \ alpha (1- \ alpha) {\ frac {Q} {L ^ {2}}} < 0}

{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial T^{2}}}=-\alpha (1-\alpha ){\frac {Q}{T^{2}}}<0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial T ^ {2}}} = - \ alpha (1- \ alpha) {\ frac {Q} {T ^ {2}}} < 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial T ^ {2}}} = - \ alpha (1- \ alpha) {\ frac {Q} {T ^ {2}}} < 0}

În plus, productivitatea marginală a fiecărui factor crește pe măsură ce crește nivelul de ocupare a celuilalt factor. În simboluri:

{\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {\partial Q}{\partial L}}\right)={\frac {\partial }{\partial L}}\left({\frac {\partial Q}{\partial T}}\right)=\alpha (1-\alpha ){\frac {Q}{LT}}>0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial T}} \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial L}} \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} \ right) = \ alpha (1- \ alpha) {\ frac {Q} {LT}}> 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial T}} \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial L}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial L}} \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial T}} \ right) = \ alpha (1- \ alpha) {\ frac {Q} {LT}}> 0}

Din aceasta derivă izoquante înclinate negativ și convexe. Intr-adevar:

{\frac {dT}{dL}}=-SMST_{LT}=-{\frac {\partial Q/\partial L}{\partial Q/\partial T}}=-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}{\frac {T}{L}}<0

{\ displaystyle {\ frac {dT} {dL}} = - SMST_ {LT} = - {\ frac {\ partial Q / \ partial L} {\ partial Q / \ partial T}} = - {\ frac {\ alfa} {1- \ alpha}} {\ frac {T} {L}} <0}

{\ displaystyle {\ frac {dT} {dL}} = - SMST_ {LT} = - {\ frac {\ partial Q / \ partial L} {\ partial Q / \ partial T}} = - {\ frac {\ alfa} {1- \ alpha}} {\ frac {T} {L}} <0}

(2)

{\frac {d^{2}T}{dL^{2}}}={\frac {d}{dL}}\left(-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}{\frac {T}{L}}\right)=-{\frac {\alpha }{(1-\alpha )L}}\left({\frac {dT}{dL}}-{\frac {T}{L}}\right)>0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} T} {dL ^ {2}}} = {\ frac {d} {dL}} \ left (- {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha} } {\ frac {T} {L}} \ right) = - {\ frac {\ alpha} {(1- \ alpha) L}} \ left ({\ frac {dT} {dL}} - {\ frac {T} {L}} \ dreapta)> 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} T} {dL ^ {2}}} = {\ frac {d} {dL}} \ left (- {\ frac {\ alpha} {1- \ alpha} } {\ frac {T} {L}} \ right) = - {\ frac {\ alpha} {(1- \ alpha) L}} \ left ({\ frac {dT} {dL}} - {\ frac {T} {L}} \ dreapta)> 0}

(3)

(2) demonstrează înclinația negativă a izoquanților și (3) convexitatea acestora.

Această clasă de funcții a devenit faimoasă după ce a fost folosită de Paul Douglas și Charles Cobb (matematicianul care i-a studiat proprietățile analitice), într-un studiu empiric al economiei americane publicat inițial în 1928 (de unde și numele). În acest studiu, a fost adoptată o formă a funcției, cum ar fi:

\ Q=b\ L^{\alpha }K^{1-\alpha }

{\ displaystyle \ Q = b \ L ^ {\ alpha} K ^ {1- \ alpha}}

{\ displaystyle \ Q = b \ L ^ {\ alpha} K ^ {1- \ alpha}}

unde K reprezintă valoarea agregată a capitalului fizic, adică ansamblul mijloacelor de producție.

De atunci, au existat numeroase aplicații empirice și modelări teoretice care au folosit această specificație a funcției de producție, iar toate celelalte forme funcționale dezvoltate ulterior (de la funcția de producție CES la translogaritmică ) pot fi considerate, oricât de complicate, sunt încercările simple de a face Cobb-Douglas mai general și mai flexibil.

Funcția de cost dublu a unei funcții de producție Cobb-Douglas

Având o funcție de producție Cobb-Douglas, de tipul:

b\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}=q

{\ displaystyle b \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = q}

{\ displaystyle b \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = q}

funcția de cost asociată, adică funcția de valoare a problemei de minimizare a costurilor cu constrângere constituită de funcția de producție Cobb-Douglas, în simboluri:

\ C(p_{1},\ldots ,p_{n},q)=\min _{x_{1},\ldots ,x_{n}}\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ x_{i}\ \mid \ b\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\geq q\}

{\ displaystyle \ C (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = \ min _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ x_ {i} \ \ mid \ b \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ geq q \}}

{\ displaystyle \ C (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = \ min _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ x_ {i} \ \ mid \ b \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ geq q \}}

este dat de:

\ C(p_{1},\ldots ,p_{n},q)=Bq^{1/\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}/\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}

{\ displaystyle \ C (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = Bq ^ {1 / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}} \ prod _ { i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i} / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}}

{\ displaystyle \ C (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = Bq ^ {1 / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}} \ prod _ { i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {\ alpha _ {i} / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}}

unde B este o combinație constantă pozitivă, neliniară, a parametrilor funcției de producție.

O proprietate interesantă a acestei funcții de cost este că este de tip Cobb-Douglas. De fapt, este o proprietate a funcțiilor de producție Cobb-Douglas de a genera funcții de cost Cobb-Douglas și invers. Din acest motiv, Cobb-Douglas sunt numite funcții auto-duale (literalmente „duale de la sine”).

Mai mult, indiferent de elasticitatea scării funcției de producție, funcția de cost nu este în scădere în producție și liniar omogenă în prețurile factorilor.

Dacă funcția de producție Cobb-Douglas are reveniri constante la scară, funcția de cost devine:

C(P,q)={\frac {q}{b}}\ P

{\ displaystyle C (P, q) = {\ frac {q} {b}} \ P}

{\ displaystyle C (P, q) = {\ frac {q} {b}} \ P}

unde este

\ P(p_{1},\ldots ,p_{n})=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i}}{\alpha _{i}}}\right)^{\alpha _{i}}

{\ displaystyle \ P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {p_ {i}} {\ alpha _ {i }}} \ right) ^ {\ alpha _ {i}}}

{\ displaystyle \ P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {p_ {i}} {\ alpha _ {i }}} \ right) ^ {\ alpha _ {i}}}

este un indice al nivelului general al prețurilor factorilor asociați cu tehnologia Cobb-Douglas.

Notă

^ Rata modificării parametrului b măsoară progresul tehnic Hicks-neutru sau productivitatea factorului total .
^ Dacă factorii de producție sunt definiți într-un continuum (adică presupunem un număr infinit de intrări intermediare), ecuația devine:
$\log Q=b\int _{0}^{n}\alpha (i)\log x(i)\ di$ ${\ displaystyle \ log Q = b \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ ${\ displaystyle \ log Q = b \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ .

Bibliografie

Chiang, AC Introducere în economia matematică , Bollati Boringhieri, Torino, 2002;
Cobb, CW & Douglas, PH "A Theory of Production", American Economic Review , 1928, 18 (1), 139-165;
Douglas, PH "Funcția de producție Cobb-Douglas încă o dată: istoria sa, testarea și câteva valori empirice noi", Journal of Political Economy , 1976, 84 (5), 903-916;
Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Teoria microeconomică . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1
Pasinetti, Luigi L., "Critica teoriei neoclasice a creșterii și distribuției", 2005;
Shaikh, A. Legile producției și legile algebrei: funcția de producție Humbug, Revista de economie și statistici , 1974, 56, 115-120;
Sylos-Labini, P. „De ce interpretarea funcției de producție Cobb-Douglas trebuie schimbată radical”, Schimbare structurală și dinamică economică , 1995, 6, 485-504

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre instalația de producție Cobb-Douglas

linkuri externe

( EN ) Funcția de producție Cobb-Douglas , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

[tfp-1] Rata modificării parametrului b măsoară progresul tehnic Hicks-neutru sau productivitatea factorului total .

[continuo-2] Dacă factorii de producție sunt definiți într-un continuum (adică presupunem un număr infinit de intrări intermediare), ecuația devine:
$\log Q=b\int _{0}^{n}\alpha (i)\log x(i)\ di$ ${\ displaystyle \ log Q = b \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ ${\ displaystyle \ log Q = b \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ .

[1]

[2]