Funcția utilitară Cobb-Douglas

În microeconomie , funcțiile utilitare Cobb-Douglas sunt o clasă de funcții utilitare care pot fi reprezentate ca $u:\mathbb {R} ^{N}\mapsto \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {N} \ mapsto \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {N} \ mapsto \ mathbb {R}}$ , unde este:

u(x_{1},\ldots ,x_{N})=\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha _{i}},\quad \alpha _{i}\geq 0,\ i=1,\ldots ,N

{\ displaystyle u (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) = \ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}, \ quad \ alpha _ {i} \ geq 0, \ i = 1, \ ldots, N}

{\ displaystyle u (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) = \ prod _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}, \ quad \ alpha _ {i} \ geq 0, \ i = 1, \ ldots, N}

unde u indică nivelul de utilitate și x _{i este} consumul bunului i, în timp ce α ₁ , α ₂ , ..., α _n sunt constante.

Exemplu de funcție de utilitate Cobb-Douglas în cazul a două bunuri

Este obișnuit să se impună normalizarea $\ \sum _{i}\alpha _{i}=1$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i} \ alpha _ {i} = 1}$ , dar în general nu este necesar. ^[1]

Funcțiile utilitare Cobb-Douglas se mai numesc log-liniare , deoarece sunt liniare în logaritmi. De fapt, prin transformarea în logaritmi: ^[2]

\log u=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\log x_{i}

{\ displaystyle \ log u = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ alpha _ {i} \ log x_ {i}}

{\ displaystyle \ log u = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ alpha _ {i} \ log x_ {i}}

Datorită proprietăților lor deosebit de convenabile ( diferențialitate , cvasiconcavitate ) și ușurinței cu care este posibilă tratarea lor analitică, acestea sunt adesea utilizate în cursurile introductive de microeconomie .

Funcțiile de cost și producție Cobb-Douglas au aceeași formă algebrică ca funcțiile de utilitate considerate aici.

Proprietate

Utilității marginale

Având în vedere o funcție generică de utilitate Cobb-Douglas , utilitatea marginală a bunului i este dată de:

{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}={\frac {\alpha _{i}}{x_{i}}}\prod _{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha _{i}}={\frac {\alpha _{i}}{x_{i}}}U

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {x_ {i}}} \ prod _ {i = 1} ^ {N } x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {x_ {i}}} U}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial x_ {i}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {x_ {i}}} \ prod _ {i = 1} ^ {N } x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {x_ {i}}} U}

Rata marginală de substituție

Rata marginală de substituție (SMS) a bunului i cu bunul j este dată de:

SMS_{ij}={\frac {\partial U/\partial x_{i}}{\partial U/\partial x_{j}}}={\frac {\alpha _{i}x_{j}}{\alpha _{j}x_{i}}}

{\ displaystyle SMS_ {ij} = {\ frac {\ partial U / \ partial x_ {i}} {\ partial U / \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i} x_ {j }} {\ alpha _ {j} x_ {i}}}}

{\ displaystyle SMS_ {ij} = {\ frac {\ partial U / \ partial x_ {i}} {\ partial U / \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i} x_ {j }} {\ alpha _ {j} x_ {i}}}}

Elasticitatea înlocuirii

Elasticitatea substituției (σ) este constantă și unitară. De fapt, din ecuația anterioară derivă:

\log SMS_{ij}=\log {\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}+\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}

{\ displaystyle \ log SMS_ {ij} = \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alpha _ {j}}} + \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}} }}

{\ displaystyle \ log SMS_ {ij} = \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alpha _ {j}}} + \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}} }}

din ecuația anterioară rezultă că

\sigma ={\frac {\operatorname {d} \log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}}{\operatorname {d} \log SMS_{ij}}}=1

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ operatorname {d} \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}}} {\ operatorname {d} \ log SMS_ {ij}}} = 1 }

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ operatorname {d} \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}}} {\ operatorname {d} \ log SMS_ {ij}}} = 1 }

.

Funcțiile Cobb-Douglas pot fi, de asemenea, văzute ca un caz special al funcțiilor ESC , unde parametrul ρ al ESC este egal cu zero.

Funcția de cerere Walrasiană

Având în vedere o funcție de utilitate Cobb-Douglas, funcția de cerere Walrasiană asociată, adică nivelul de consum al bunului i corespunzător oricărei combinații date de prețuri și bogăție (w) care maximizează funcția de utilitate sub constrângerea disponibilității, este dată de:

x_{i}(p_{i},w)={\frac {\alpha _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}}{\frac {w}{p_{i}}}

{\ displaystyle x_ {i} (p_ {i}, w) = {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}} {\ frac {w} {p_ {i}}}}

{\ displaystyle x_ {i} (p_ {i}, w) = {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}} {\ frac {w} {p_ {i}}}}

care se reduce la:

x_{i}(p_{i},w)={\frac {\alpha _{i}w}{p_{i}}}

{\ displaystyle x_ {i} (p_ {i}, w) = {\ frac {\ alpha _ {i} w} {p_ {i}}}}

{\ displaystyle x_ {i} (p_ {i}, w) = {\ frac {\ alpha _ {i} w} {p_ {i}}}}

dacă suma lui α _i este egală cu una.

Este important să rețineți că, având în vedere o funcție de utilitate Cobb-Douglas, cererea de bine i nu este o funcție a prețului altor bunuri. În plus, ponderea veniturilor cheltuite pentru cumpărarea bunului i este constantă și egală cu α _i , fiind:

\alpha _{i}={\frac {p_{i}x_{i}}{w}}

{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {\ frac {p_ {i} x_ {i}} {w}}}

{\ displaystyle \ alpha _ {i} = {\ frac {p_ {i} x_ {i}} {w}}}

Funcția de cheltuieli și cerere hicksiană

Având în vedere o funcție de utilitate Cobb-Douglas în care exponenții adaugă la una, funcția de cheltuială asociată, adică funcția de valoare a problemei de minimizare a cheltuielilor, dată fiind constrângerea constituită de funcția de utilitate Cobb-Douglas, în simboluri:

\ E(p_{1},\ldots ,p_{n},U)=\min _{x_{1},\ldots ,x_{n}}\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ x_{i}\ \mid \ \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\geq U\}

{\ displaystyle \ E (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ min _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ x_ {i} \ \ mid \ \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ geq U \}}

{\ displaystyle \ E (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ min _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ x_ {i} \ \ mid \ \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ geq U \}}

este dat de:

\ E(P,U)=U\ P

{\ displaystyle \ E (P, U) = U \ P}

{\ displaystyle \ E (P, U) = U \ P}

unde este

\ P(p_{1},\ldots ,p_{n})=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i}}{\alpha _{i}}}\right)^{\alpha _{i}}

{\ displaystyle \ P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {p_ {i}} {\ alpha _ {i }}} \ right) ^ {\ alpha _ {i}}}

{\ displaystyle \ P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {p_ {i}} {\ alpha _ {i }}} \ right) ^ {\ alpha _ {i}}}

este un indice al nivelului general de preț asociat funcției utilitare Cobb-Douglas.

Funcția de cerere Hicksiană asociată este:

\ h_{i}(p_{i},\ldots ,p_{n},U)={\frac {\alpha _{i}}{p_{i}}}UP

{\ displaystyle \ h_ {i} (p_ {i}, \ ldots, p_ {n}, U) = {\ frac {\ alpha _ {i}} {p_ {i}}} UP}

{\ displaystyle \ h_ {i} (p_ {i}, \ ldots, p_ {n}, U) = {\ frac {\ alpha _ {i}} {p_ {i}}} UP}

Ilustrație: funcții de cerere cu utilitarul Cobb-Douglas

Luați în considerare problema unui consumator care intenționează să-și maximizeze utilitatea derivând din consumul a două bunuri, sub rezerva constrângerii impuse de averea sa $\ w$ ${\ displaystyle \ w}$ ${\ displaystyle \ w}$ . În special, să presupunem că consumatorul este caracterizat de o funcție de utilitate Cobb-Douglas; prin urmare, intenționăm să rezolvăm problema maximă:

\ \max _{x_{1},x_{2}}u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }\quad {\textrm {s.t.}}\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w

{\ displaystyle \ \ max _ {x_ {1}, x_ {2}} u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} x_ {2} ^ {\ beta} \ quad {\ textrm {st}} \ p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq w}

{\ displaystyle \ \ max _ {x_ {1}, x_ {2}} u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} x_ {2} ^ {\ beta} \ quad {\ textrm {st}} \ p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq w}

Problema se ridică la:

\ \max _{x_{1},x_{2}}\ln u(x_{1},x_{2})=\alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2}\quad {\textrm {s.t.}}\ p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq w

{\ displaystyle \ \ max _ {x_ {1}, x_ {2}} \ ln u (x_ {1}, x_ {2}) = \ alpha \ ln x_ {1} + \ beta \ ln x_ {2} \ quad {\ textrm {st}} \ p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq w}

{\ displaystyle \ \ max _ {x_ {1}, x_ {2}} \ ln u (x_ {1}, x_ {2}) = \ alpha \ ln x_ {1} + \ beta \ ln x_ {2} \ quad {\ textrm {st}} \ p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq w}

Problema se confruntă cu metoda multiplicatorilor Lagrange . Lagrangianul asociat cu această din urmă problemă este:

\ {\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\lambda )=\alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2}-\lambda (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-w)

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}, \ lambda) = \ alpha \ ln x_ {1} + \ beta \ ln x_ {2} - \ lambda (p_ {1 } x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -w)}

{\ displaystyle \ {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}, \ lambda) = \ alpha \ ln x_ {1} + \ beta \ ln x_ {2} - \ lambda (p_ {1 } x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -w)}

Condițiile pentru prima comandă pentru un maxim sunt:

\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{1}}}={\frac {\alpha }{x_{1}}}-\lambda p_{1}=0

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x_ {1}}} = {\ frac {\ alpha} {x_ {1}}} - \ lambda p_ {1} = 0}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x_ {1}}} = {\ frac {\ alpha} {x_ {1}}} - \ lambda p_ {1} = 0}

\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{2}}}={\frac {\beta }{x_{2}}}-\lambda p_{2}=0

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x_ {2}}} = {\ frac {\ beta} {x_ {2}}} - \ lambda p_ {2} = 0}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x_ {2}}} = {\ frac {\ beta} {x_ {2}}} - \ lambda p_ {2} = 0}

\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-w=0

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ lambda}} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -w = 0}

{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ lambda}} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -w = 0}

Din primele două expresii obținem:

\ x_{2}={\frac {\beta }{\alpha }}{\frac {p_{1}}{p_{2}}}x_{1}

{\ displaystyle \ x_ {2} = {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} x_ {1}}

{\ displaystyle \ x_ {2} = {\ frac {\ beta} {\ alpha}} {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} x_ {1}}

Înlocuind în a treia condiție avem:

\ x_{2}={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}{\frac {w}{p_{2}}}

{\ displaystyle \ x_ {2} = {\ frac {\ beta} {\ alpha + \ beta}} {\ frac {w} {p_ {2}}}}

{\ displaystyle \ x_ {2} = {\ frac {\ beta} {\ alpha + \ beta}} {\ frac {w} {p_ {2}}}}

precum și:

\ x_{1}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}{\frac {w}{p_{1}}}

{\ displaystyle \ x_ {1} = {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}} {\ frac {w} {p_ {1}}}}

{\ displaystyle \ x_ {1} = {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}} {\ frac {w} {p_ {1}}}}

Observați că cvasi- concavitatea funcției obiectiv , care devine o concavitate îngustă , în cazul în care $\ \alpha +\beta <1$ ${\ displaystyle \ \ alpha + \ beta <1}$ ${\ displaystyle \ \ alpha + \ beta <1}$ , și faptul că se caută soluții în ortantul pozitiv implică faptul că nu este necesar să se ia în considerare condițiile de ordinul doi. Prin urmare, expresiile de mai sus reprezintă funcțiile cererii consumatorului pentru bunurile 1 și 2, care depind de bogăție (sau venit) $\ w$ ${\ displaystyle \ w}$ ${\ displaystyle \ w}$ , precum și prețurile $\ p_{1}$ ${\ displaystyle \ p_ {1}}$ ${\ displaystyle \ p_ {1}}$ Și $\ p_{2}$ ${\ displaystyle \ p_ {2}}$ ${\ displaystyle \ p_ {2}}$ .

Notă

^ Deoarece, în cazul funcțiilor de utilitate, orice transformare monotonă strict în creștere care lasă neschimbată rata marginală de substituție reprezintă același sistem de preferințe , pornind de la un Cobb-Douglas în care suma exponenților este diferită de 1 este posibil să ajungă la unul în care suma dă 1 prin aplicarea următoarei transformări:
$f(U)=U^{1/\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {1 / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {1 / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}}$ .
^ Dacă bunurile sunt definite într-un continuum (adică presupunem un număr infinit de bunuri), ecuația devine:
$\log u=\int _{0}^{n}\alpha (i)\log x(i)\ di$ ${\ displaystyle \ log u = \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ ${\ displaystyle \ log u = \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ .

Elemente conexe

[trasformazione-1] Deoarece, în cazul funcțiilor de utilitate, orice transformare monotonă strict în creștere care lasă neschimbată rata marginală de substituție reprezintă același sistem de preferințe , pornind de la un Cobb-Douglas în care suma exponenților este diferită de 1 este posibil să ajungă la unul în care suma dă 1 prin aplicarea următoarei transformări:
$f(U)=U^{1/\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {1 / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {1 / \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}}}$ .

[continuo-2] Dacă bunurile sunt definite într-un continuum (adică presupunem un număr infinit de bunuri), ecuația devine:
$\log u=\int _{0}^{n}\alpha (i)\log x(i)\ di$ ${\ displaystyle \ log u = \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ ${\ displaystyle \ log u = \ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) \ log x (i) \ di}$ .

[1]

[2]