Funcția de cheltuieli

Funcția de cheltuială în microeconomie poate fi definită ca acea funcție care, având în vedere prețurile bunurilor ( $\ p_{1},\ldots ,p_{n}$ ${\ displaystyle \ p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$ ${\ displaystyle \ p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$ ), se asociază la orice nivel dat de utilitate ( $\ {\bar {U}}$ ${\ displaystyle \ {\ bar {U}}}$ ${\ displaystyle \ {\ bar {U}}}$ ) a consumatorului cheltuiala minimă necesară satisfacției sale.

În mod formal avem:

E(p_{1},\ldots ,p_{n},U)=\min _{c_{1},\ldots ,c_{n}}\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}c_{i}\mid \ U(c_{1},\ldots ,c_{n})\geq {\bar {U}}\}

{\ displaystyle E (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ min _ {c_ {1}, \ ldots, c_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ { n} p_ {i} c_ {i} \ mid \ U (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}) \ geq {\ bar {U}} \}}

{\ displaystyle E (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ min _ {c_ {1}, \ ldots, c_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ { n} p_ {i} c_ {i} \ mid \ U (c_ {1}, \ ldots, c_ {n}) \ geq {\ bar {U}} \}}

unde c _i este consumul bunului i și U (.) este funcția de utilitate continuă.

Funcția de cheltuieli este, prin urmare, funcția de valoare a problemei de minimizare a cheltuielilor, o problemă de minimizare constrânsă care reprezintă problema duală a celei de maximizare a utilității, dată fiind constrângerea constituită de resursele disponibile, a căror funcție de valoare este funcția de utilitate indirectă .^[1]

Proprietățile funcției de cheltuială

Având în vedere o funcție de utilitate continuă care reprezintă un sistem de preferințe nesatisfăcut local, funcția de cheltuială este:

nu scade în comparație cu prețurile : $\ \mathbf {p} _{1}\geq \mathbf {p} _{2}\Rightarrow E(\mathbf {p} _{1},U)\geq E(\mathbf {p} _{2},U)$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {p} _ {1} \ geq \ mathbf {p} _ {2} \ Rightarrow E (\ mathbf {p} _ {1}, U) \ geq E (\ mathbf {p} _ {2}, U)}$ ${\ displaystyle \ \ mathbf {p} _ {1} \ geq \ mathbf {p} _ {2} \ Rightarrow E (\ mathbf {p} _ {1}, U) \ geq E (\ mathbf {p} _ {2}, U)}$ ;
crescând strict în ceea ce privește utilitatea : $\ {\bar {U}}_{1}>{\bar {U}}_{2}\Rightarrow E(\mathbf {p} ,{\bar {U}}_{1})>E(\mathbf {p} ,{\bar {U}}_{2})$ ${\ displaystyle \ {\ bar {U}} _ {1}> {\ bar {U}} _ {2} \ Rightarrow E (\ mathbf {p}, {\ bar {U}} _ {1})> E (\ mathbf {p}, {\ bar {U}} _ {2})}$ ${\ displaystyle \ {\ bar {U}} _ {1}> {\ bar {U}} _ {2} \ Rightarrow E (\ mathbf {p}, {\ bar {U}} _ {1})> E (\ mathbf {p}, {\ bar {U}} _ {2})}$ ;
gradul I omogen în raport cu prețurile : $\ \forall \lambda \in \mathbb {R} _{+}$ ${\ displaystyle \ \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ \ forall \ lambda \ in \ mathbb {R} _ {+}}$ da ai $\ E(\lambda \mathbf {p} ,U)=\lambda \ E(\mathbf {p} ,U)$ ${\ displaystyle \ E (\ lambda \ mathbf {p}, U) = \ lambda \ E (\ mathbf {p}, U)}$ ${\ displaystyle \ E (\ lambda \ mathbf {p}, U) = \ lambda \ E (\ mathbf {p}, U)}$ ;
concav în comparație cu prețurile : $\ \forall 0\leq \theta \leq 1$ ${\ displaystyle \ \ forall 0 \ leq \ theta \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ \ forall 0 \ leq \ theta \ leq 1}$ avem asta $\ E(\theta \mathbf {p} _{1}+(1-\theta )\mathbf {p} _{2},U)\geq \theta E(\mathbf {p} _{1},U)+(1-\theta )E(\mathbf {p} _{2},U)$ ${\ displaystyle \ E (\ theta \ mathbf {p} _ {1} + (1- \ theta) \ mathbf {p} _ {2}, U) \ geq \ theta E (\ mathbf {p} _ {1 }, U) + (1- \ theta) E (\ mathbf {p} _ {2}, U)}$ ${\ displaystyle \ E (\ theta \ mathbf {p} _ {1} + (1- \ theta) \ mathbf {p} _ {2}, U) \ geq \ theta E (\ mathbf {p} _ {1 }, U) + (1- \ theta) E (\ mathbf {p} _ {2}, U)}$ ;
continuă în ceea ce privește prețurile și utilitatea .

Proprietatea 4 derivă din faptul că creșterea cheltuielilor ca urmare a unei creșteri a prețului bunului i ( $\ \Delta p_{i}$ ${\ displaystyle \ \ Delta p_ {i}}$ ${\ displaystyle \ \ Delta p_ {i}}$ ) nu poate fi niciodată mai mare decât $\ c_{i}\Delta p_{i}$ ${\ displaystyle \ c_ {i} \ Delta p_ {i}}$ ${\ displaystyle \ c_ {i} \ Delta p_ {i}}$ , unde este $\ c_{i}$ ${\ displaystyle \ c_ {i}}$ ${\ displaystyle \ c_ {i}}$ este cantitatea bunului i consumat înainte de creșterea prețului. Cu cât este mai mare substituibilitatea între bunuri, cu atât este mai mare concavitatea funcției de cheltuială în raport cu prețurile, deoarece consumatorul va tinde să înlocuiască bunul care a devenit relativ mai scump cu altele al căror preț a rămas constant, astfel „sterilizând” o parte din cresterea preturilor. La limită, în cazul unei complementarități perfecte între mărfuri, va exista o funcție de cheltuieli liniare în ceea ce privește prețurile.

Notă

^ Funcția de cheltuieli este în multe feluri analogă funcției de cost în economia producției .

Bibliografie

Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Teoria microeconomică . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1

Elemente conexe

[funzione_di_costo-1] Funcția de cheltuieli este în multe feluri analogă funcției de cost în economia producției .

[1]