Unghi

∠ este simbolul unghiului

În matematică definim unghiul (din latinescul angulus , din grecescul ἀγκύλος ( ankýlos ), derivat din rădăcina indo-europeană ank , a îndoi, a îndoi) fiecare dintre cele două porțiuni ale planului între două jumătăți de linie având aceeași origine. De asemenea, poate fi definit ca unghi plan pentru a-l distinge de conceptul derivat de unghi solid . Razele sunt denumite laturile unghiului și originea vârfului lor al unghiului. Termenul, astfel definit, se referă la noțiuni de utilizare foarte largă, în primul rând în geometrie și trigonometrie .

Fiecare unghi este asociat cu o amplitudine, măsura corelată cu poziția unei raze față de cealaltă și, prin urmare, cu conformația porțiunii de plan care constituie unghiul: este exprimată în grade sexagesimale , în grade șase zecimale , în grade centesimale sau în radiani , întotdeauna cu valori reale .

Prin asocierea unui vers la unghi, se introduc amplitudinile unghiurilor semnate, care permit definirea funcțiilor trigonometrice cu argumente reale și chiar negative. Amplitudinile semnate oferă contribuții esențiale la posibilitățile calculului infinitesimal și la aplicațiile fizicii clasice și disciplinelor cantitative consecvente.

Unghiul convex și concav

Unghiul convex

Unghiul concav este unghiul care conține extensiile razelor (laturilor) care îl formează. Unghiul convex este porțiunea planului care nu conține extensiile razelor care împart planul. Unghiurile convexe au o amplitudine cuprinsă între 0 și 180 grade sexagesimale, de la 0 la 200 grade centesimale, de la 0 la $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ radiani; în timp ce amplitudinea unghiurilor concav măsoară între 180 și 360 de grade, de la 200 la 400 de grade centesimale, de la $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ la $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ radiani. Amplitudinile sunt întotdeauna non-negative.

Dacă razele sunt diferite, ele aparțin aceleiași linii $R.,$ ${\ displaystyle R,}$ ${\ displaystyle R,}$ fiecare dintre cele două semiplane definite de $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ prevăzut cu vârful (care distinge razele) se numește unghi plat .

În afară de cazul particular al unghiului plan, planul este împărțit în trei seturi: marginea unghiului , adică setul de puncte aparținând celor două semidrepte $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.,$ ${\ displaystyle T,}$ ${\ displaystyle T,}$ inclusiv vârful și două seturi conectate $K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ Și $K_{2}$ ${\ displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ și separat de punctele frontierei. Dintre aceste două seturi, numai $K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ este alcătuit din puncte aparținând unor segmente cu o extremă pe o rază și cealaltă pe cealaltă; cu alte cuvinte numai $K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ este un set convex . Al treilea împreună $K_{2}$ ${\ displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ nu este convex. Unghiul convex determinat de este definit $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ unirea acestui întreg convex și a graniței, $K_{1}\cup S\cup T$ ${\ displaystyle K_ {1} \ cup S \ cup T}$ $K_1 \ cup S \ cup T$ . Unghiul concav este definit așa cum este determinat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ uniunea celui de-al treilea set neconvex și granița, $K_{2}\cup S\cup T$ ${\ displaystyle K_ {2} \ cup S \ cup T}$ $K_2 \ cup S \ cup T$ . Cele două unghiuri definite de cele două raze se numesc unghiuri exemplare .

Unghiul și triunghiul ABC ca subset.

Unghiurile convexe și concave sunt subseturi nelimitate ale planului, deci sunt mulțimi nemăsurabile prin aria lor care are o valoare infinită. De multe ori colțul (convex) indică și partea planului delimitată de două segmente cu un capăt comun (vârf). Această definiție poate fi urmărită înapoi la cea anterioară prin prelungirea celor două segmente de pe partea extremă a acestora, diferite de vârf, pentru a obține cele două jumătăți de linie. Această extensie a definiției face legitimă atribuirea fiecărui triunghi trei unghiuri (convexe) asociate biunivoc celor trei vârfuri ale sale.

Cu toate acestea, triunghiul, fiind un subgrup închis și limitat al planului, are o zonă finită, de fapt este intersecția unghiurilor corespunzătoare celor trei vârfuri ale sale.

Măsurarea amplitudinii unghiurilor convexe și concave

Considerații preliminare

Este firesc să punem problema „măsurării unui unghi”: unghiurile pot fi utilizate pentru multe construcții și dacă măsurile numerice sunt asociate cu acestea, este de așteptat ca calculele numerice ale acestor măsuri să fie utile pentru multe construcții.

Problema măsurării unui unghi nu poate fi rezolvată printr-o măsurare a suprafeței sale care nu este limitată și care, în orice caz, nu ar fi semnificativă chiar și în cazul unghiurilor subtendute de segmente ca în cazul triunghiului: de exemplu, ia în considerare triunghiuri similare.

Dacă aveți două colțuri convexe sau concave $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu același vârf e $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este un subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (situație care se determină numai dacă părțile din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt subseturi de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ) este rezonabil să se ceară ca măsura de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este mai mare decât măsura lui $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Având un unghi convex $LA,$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle A,}$ jumătatea liniei având vârful lui se numește jumătate bisectoare a unghiului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la fel de extreme și ale căror puncte sunt echidistante față de laturile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Puteți construi cu ușurință bisectoarea cu o busolă. Demi-bisectoarea unui unghi concav este definită ca jumătate de linie având vârful unghiului ca extrem aliniat cu bisectoarea unghiului său exemplar (convex).

Raza bisectoare $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ a unui colț $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ convex sau concav și fiecare dintre cele două laturi ale acestuia determină două unghiuri convexe. Reflecția cu privire la linia care conține $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ schimbați cele două părți ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și transformă unul din cele două colțuri în celălalt. Prin urmare, este rezonabil să atribuiți celor două unghiuri determinate de bisectoare o măsură care este jumătate din măsura lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Este la fel de rezonabil să considerăm că măsurătorile celor două unghiuri determinate de raza bisectoare sunt jumătate din măsurarea unghiului de pornire. Procesul de înjumătățire a unui colț poate fi repetat $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ ori cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ mare la gust.

Un unghi convex se numește unghi drept dacă cele două laturi ale sale sunt ortogonale, adică un unghi drept este jumătate dintr-un unghi plat.

Un unghi convex conținut într-un unghi drept având același vârf se numește unghi acut . Un unghi convex care conține un unghi drept având același vârf se numește unghi obtuz .

Două colțuri $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ care au o singură rază în comun și nu au un punct intern comun sunt numite unghiuri consecutive . Dacă două unghiuri consecutive au raze opuse care nu sunt comune (adică unirea lor este o linie dreaptă) atunci ele se numesc unghiuri adiacente . În ceea ce privește unghiurile consecutive, dacă acestea sunt unghiuri convexe, unirea lor este un unghi care ar putea fi convex sau concav: acesta este unghiul definit de cele două jumătăți de linie care sunt laturile doar ale unuia dintre cele două unghiuri. Acestui unghi comun este rezonabil să se atribuie suma măsurătorilor consecutive de unghi ca măsură. Unghiul de unire se numește „suma” celor două unghiuri $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Pe baza considerațiilor anterioare, este legitim să se atribuie unghiurilor măsuri constând din numere reale.

Se spune că două unghiuri care pot fi transformate între ele prin izometrii sunt congruente. Evident, o măsură a unghiurilor invariante pentru izometrii constituie un instrument cu multe avantaje: în special, permite identificarea claselor de congruență ale unghiurilor. Prin urmare, cerem o măsură a unghiurilor cu valori reale și invariante prin congruență.

De la măsurarea unghiului până la măsurarea lățimii unghiului

Dacă unghiul este definit ca porțiunea planului dintre două raze, unitatea sa de măsură ar trebui să aibă o lungime pătrată, dar această măsurare nu are nici sens, nici utilizare practică. Prin urmare, s-a decis să nu se ia în considerare măsura unghiului în sine, ci aceea a amplitudinii mișcării care duce una dintre raze să se suprapună pe cealaltă.

Modul de determinare a lățimii unui unghi a cerut cu siguranță mai mult efort din partea intelectului uman decât a necesitat măsurarea lungimilor și a suprafețelor. A măsura înseamnă a exprima o măreție $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în raport cu o altă cantitate dată, omogenă acesteia, care acționează ca o unitate de măsură . Dacă acest proces apare suficient de spontan pentru cantități spațiale, repetați doar un segment sau plasați un pătrat lângă acesta $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori până când lungimea sau suprafața este epuizată ( $A=nU$ ${\ displaystyle A = nU}$ ${\ displaystyle A = nU}$ ), același lucru devine mai puțin intuitiv pentru cantitățile unghiulare, unde chiar și aceeași elaborare mentală a unei unități de măsură adecvate necesită un grad mai mare de abstractizare.

Luați în considerare cele patru unghiuri de amplitudine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ a figurii. Dorind să le cuantificăm cu aria delimitată de laturi în verde, extinzând laturile la infinit în carcasă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se obține o zonă infinită și în celelalte cazuri $B.,$ ${\ displaystyle B,}$ ${\ displaystyle B,}$ $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.,$ ${\ displaystyle D,}$ ${\ displaystyle D,}$ luând în considerare numai suprafețele din liniile punctate, trei zone specifice și, prin urmare, măsurabile, dar vizibil diferite între ele, chiar dacă provin din același unghi. De asemenea, presupuneți să împărțiți $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ exact în două unghiuri egale, astfel încât să poată fi exprimat în raport cu acesta din urmă, ca $\alpha =2\beta$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha = 2 \ beta}$ , $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . După cum sa discutat mai sus, $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ poate fi deci considerată o unitate de măsură și, dacă aria sa este acum considerată, egalitatea va fi satisfăcută doar de cazuri $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.,$ ${\ displaystyle D,}$ ${\ displaystyle D,}$ dar nu din $B.,$ ${\ displaystyle B,}$ ${\ displaystyle B,}$ unde cele două triunghiuri au zone diferite, chiar dacă sunt două unghiuri $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ perfect stivuibile. Rezultă că unghiul nu poate fi măsurat corespunzător din punct de vedere al ariei .

De aceea, imaginați-vă o rază care, pornind de la poziția verticală, se întoarce în jurul extremității sale până devine orizontală; raza a virat un unghi $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ iar în mișcarea sa a acoperit suprafața dintre cele două raze. În mod ideal, suprapunerea imaginilor $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ observăm că, la fel ca într-o busolă , îndepărtându-se de centrul de rotație fiecare punct urmărește un arc mai lung pe plan, menținând în același timp raportul dintre lungimea acestuia din urmă și raza. Mai mult, dacă raza a completat doar unghiul $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ lungimea arcurilor produse ar fi invariabil jumătate din lungimea omologilor lor din $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ .

Acum luați în considerare o rotație completă care aduce raza înapoi la poziția de pornire, adică un unghi de amplitudine maximă. În acest caz, raza acoperă întreaga suprafață a planului urmărind cercuri infinite; luând oricare dintre acestea și segmentându-l în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ părți egale, un număr egal de porțiuni plane echivalente poate fi identificat pentru fiecare arcadă, în practică o unitate generică de măsură pentru unghi. Prin urmare, numai prin înțelegerea faptului că măsurarea unghiului nu poate fi realizată prin cuantificarea unei arii, se înțelege că este necesar să se abstractizeze conceptul de unghi ca parte a planului și să se considere cinematic ca o porțiune a suprafeței acoperite de un rază rotindu-se la extremă. Doar așa poate fi măsurat.

Deși această noțiune nu este imediată, ea trebuie totuși să fie o realizare conceptuală veche, dacă sistemul de măsurare a unghiurilor încă folosit în prezent în mod obișnuit, sistemul sexagesimal , a ajuns la noi din vechea civilizație babiloniană neschimbată de-a lungul secolelor.

Sisteme de măsurare a lățimii unghiului

În sistemul sexagesimal, unghiul complet sau unghiul rotund este împărțit în 360 de segmente, echivalent cu unitatea convențională de măsură numită grad sexagesimal , indicată de simbolul ° . Motivul împărțirii în 360 de părți ale unghiului rotund poate fi urmărit înapoi la utilizarea astronomică pe care au făcut-o babilonienii acestei măsurători: de vreme ce Soarele finalizează o revoluție completă pe bolta cerească în spațiul unui an, estimat la acel moment la aproximativ 360 de zile, un grad corespunde aproximativ deplasării Soarelui pe ecliptică într-o singură zi.

Denumirea de „grad sexagesimal” derivă din faptul că subunitățile gradului, minutul și al doilea , sunt împărțite în șaizeci; prin urmare, ca și în ceas, fiecare grad este împărțit în 60 de minute indicate cu simbolul „ și numite pur și simplu minute și fiecare minut este împărțit în 60 de minute secunde indicate cu simbolul ” și numite pur și simplu secunde. Alte subdiviziuni ale celei de-a doua urmează sistemul zecimal comun. Această subdiviziune derivă din faptul că în vechiul Babilon era în vogă un sistem numeric pe bază sexagesimală , care a ajuns la noi ca moștenire istorică în ceas și pe goniometre .

Prin urmare, amplitudinea unui unghi ar putea fi exprimată într-o formă precum: $57^{\circ }\;17'\;44{,}8''.$ ${\ displaystyle 57 ^ {\ circ} \; 17 '\; 44 {,} 8' '.}$ ${\ displaystyle 57 ^ {\ circ} \; 17 '\; 44 {,} 8' '.}$

De-a lungul timpului, au fost adoptate alte sisteme de măsurare pentru a facilita măsurarea amplitudinii unghiului. La sfârșitul secolului al XVIII-lea, nici măcar sistemul sexagesimal nu a scăpat de încercările de raționalizare: a fost propus un sistem centesimal , bazat tocmai pe gradul centesimal ca o sută de părți în unghiul drept, ales ca un unghi fundamental pentru a înlocui 90 cu mai mult rotund și confortabil 100, de asemenea, dacă a găsit o utilizare practică doar în jurul anului 1850, când Ignazio Porro ^[1] l-a folosit pentru a construi primele sale instrumente cu diviziune centesimală. Cu acest sistem, unghiul rotund este împărțit în 400 de segmente egale cu submultipli la fracții zecimale. Este încă o unitate de măsură convențională care nu este motivată de niciun motiv matematic.

Din dezvoltarea analizei infinitesimale, o altă unitate de măsură a căpătat din ce în ce mai multă importanță, în unele privințe mai „motivată” sau „naturală”: radianul , înțeles ca raportul dintre lungimea unui arc de circumferință și raza circumferinței în sine în ce măsură acest raport nu depinde de rază, ci doar de unghiul inclus. În acest fel unghiul rotund măsoară 2 π , adică raportul dintre lungimea circumferinței și raza acesteia.

Pe scurt, pentru a măsura lățimea unghiului, cele mai atestate sisteme de măsurare sunt:

sistemul centesimal , cu unitatea de măsură de grad centesimal ;
sistemul sexagesimal , cu unitate de măsură gradul sexagesimal ;
sistemul sexadecimal , unitatea de măsură fiind gradul sexadecimal . Este o variantă a celei anterioare cu împărțirea unghiului rotund în 360 de părți în care submultiplii de grade sunt exprimați în formă zecimală;
sistemul radiant sau sistemul matematic , cu unitatea de măsură radianul .
în domeniul militar, se folosește și mie de radian , denumit în mod obișnuit „mileniu”, care este utilizat pentru a determina aruncările și corecțiile relative în focurile cu artilerie. Pe o circumferință cu o rază de un km este echivalentă cu o frânghie lungă de un metru. De exemplu, pentru a corecta o lovitură la 100 de metri la dreapta unei ținte plasate la o distanță de 10 km, va fi necesar să efectuați o corecție de 10 °° (miimi) roșu. Scara gradată care este observată în interiorul unor binocluri este exprimată în mii de radiani, culoarea roșie înseamnă rotație spre stânga, în timp ce culoarea verde înseamnă rotație spre dreapta.

Primul este utilizat în cea mai mare parte într-un context strict topografic , în timp ce acestea din urmă sunt cele mai frecvent utilizate, al doilea prin obicei, al treilea pentru o mai mare simplitate a calculelor din formulele matematice. Relația care leagă sistemul radiant și sistemul sexagesimal și permite trecerea de la unul la altul este

{\frac {180^{\circ }}{\alpha }}={\frac {\pi }{x}},

{\ displaystyle {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ alpha}} = {\ frac {\ pi} {x}},}

{\ displaystyle {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ alpha}} = {\ frac {\ pi} {x}},}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este măsura amplitudinii unghiului exprimată în grade e $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este măsura exprimată în radiani.

Conversii unghiulare

Indicarea lățimii unui unghi cu:

\alpha ^{\circ }\;p^{\prime }\;s^{\prime \prime }

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ} \; p ^ {\ prime} \; s ^ {\ prime \ prime}}

\ alpha ^ \ circ \; p ^ \ prime \; s ^ {\ prime \ prime}

în sistemul sexagesimal , unde

\alpha ,p,s

{\ displaystyle \ alpha, p, s}

\ alfa, p, s

sunt grade, minute și respectiv secunde de arc (numere întregi)

\alpha ^{\circ }

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ}}

\ alpha ^ \ circ

în sistemul sexadecimal

\alpha ^{gon}

{\ displaystyle \ alpha ^ {gon}}

\ alpha ^ {gon}

în sistemul centesimal

\alpha ^{rad}

{\ displaystyle \ alpha ^ {rad}}

\ alpha ^ {rad}

în sistemul matematic ,

indicând cu $Int[\;]$ ${\ displaystyle Int [\;]}$ $Int [\; ]$ partea întreagă a unui număr real și amintind că proporția generală este valabilă

{\frac {\alpha ^{rad}}{\pi }}={\frac {\alpha ^{\circ }}{180}}={\frac {\alpha ^{gon}}{200}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {rad}} {\ pi}} = {\ frac {\ alpha ^ {\ circ}} {180}} = {\ frac {\ alpha ^ {gon}} {200 }}}

\ frac {\ alpha ^ {rad}} {\ pi} = \ frac {\ alpha ^ \ circ} {180} = \ frac {\ alpha ^ {gon}} {200}

Următoarele formule de conversie se aplică de la un sistem de măsurare la altul

Conversia din $\downarrow \quad$ ${\ displaystyle \ downarrow \ quad}$ $\ downarrow \ quad$ la $\longrightarrow$ ${\ displaystyle \ longrightarrow}$ $\ longrightarrow$	Sexagesimal	Sexadecimal	Centezimal	Matematic
Sexagesimal		$\alpha ^{\circ }\;=\;\alpha +{\frac {p}{60}}+{\frac {s}{3600}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ} \; = \; \ alpha + {\ frac {p} {60}} + {\ frac {s} {3600}}}$ $\ alpha ^ \ circ \; = \; \ alpha + \ frac {p} {60} + \ frac {s} {3600}$	$\alpha ^{gon}={\frac {10}{9}}\alpha ^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {gon} = {\ frac {10} {9}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {gon} = \ frac {10} {9} \ alpha ^ \ circ$ unde este $\alpha ^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ \ circ$ se calculează cu formula anterioară	$\alpha ^{rad}={\frac {\pi }{180}}\alpha ^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {rad} = {\ frac {\ pi} {180}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {rad} = \ frac {\ pi} {180} \ alpha ^ \ circ$ unde este $\alpha ^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ \ circ$ se calculează cu formula anterioară
Sexadecimal	$\alpha =Int[\alpha ^{\circ }]$ ${\ displaystyle \ alpha = Int [\ alpha ^ {\ circ}]}$ $\ alpha = Int [\ alpha ^ \ circ]$ $p=Int[(\alpha ^{\circ }-\alpha )\cdot 60]$ ${\ displaystyle p = Int [(\ alpha ^ {\ circ} - \ alpha) \ cdot 60]}$ $p = Int [(\ alpha ^ \ circ- \ alpha) \ cdot 60]$ $s=(((\alpha ^{\circ }-\alpha )\cdot 60)-p)\cdot 60$ ${\ displaystyle s = (((\ alpha ^ {\ circ} - \ alpha) \ cdot 60) -p) \ cdot 60}$ $s = (((\ alpha ^ \ circ- \ alpha) \ cdot 60) -p) \ cdot 60$		$\alpha ^{gon}={\frac {10}{9}}\alpha ^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {gon} = {\ frac {10} {9}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {gon} = \ frac {10} {9} \ alpha ^ \ circ$	$\alpha ^{rad}={\frac {\pi }{180}}\alpha ^{\circ }$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {rad} = {\ frac {\ pi} {180}} \ alpha ^ {\ circ}}$ $\ alpha ^ {rad} = \ frac {\ pi} {180} \ alpha ^ \ circ$
Centezimal	$\alpha ^{\circ }={\frac {9}{10}}\alpha ^{gon}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {9} {10}} \ alpha ^ {gon}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {9} {10} \ alpha ^ {gon}$ atunci se aplică formulele anterioare pentru conversia de la sexadecimal la sexagesimal	$\alpha ^{\circ }={\frac {9}{10}}\alpha ^{gon}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {9} {10}} \ alpha ^ {gon}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {9} {10} \ alpha ^ {gon}$		$\alpha ^{rad}={\frac {\pi }{200}}\alpha ^{gon}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {rad} = {\ frac {\ pi} {200}} \ alpha ^ {gon}}$ $\ alpha ^ {rad} = \ frac {\ pi} {200} \ alpha ^ {gon}$
Matematic	$\alpha ^{\circ }={\frac {180}{\pi }}\alpha ^{rad}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {180} {\ pi}} \ alpha ^ {rad}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {180} {\ pi} \ alpha ^ {rad}$ atunci se aplică formulele anterioare pentru conversia de la sexadecimal la sexagesimal	$\alpha ^{\circ }={\frac {180}{\pi }}\alpha ^{rad}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ circ} = {\ frac {180} {\ pi}} \ alpha ^ {rad}}$ $\ alpha ^ \ circ = \ frac {180} {\ pi} \ alpha ^ {rad}$	$\alpha ^{gon}={\frac {200}{\pi }}\alpha ^{rad}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {gon} = {\ frac {200} {\ pi}} \ alpha ^ {rad}}$ $\ alpha ^ {gon} = \ frac {200} {\ pi} \ alpha ^ {rad}$

Amplitudini ale unghiurilor particulare

Același subiect în detaliu: Unghi acut , Unghi obuz , Unghi drept , Unghi plat și Unghi rotund .

Un unghi acut are o amplitudine mai mică decât cea a unui unghi drept, adică

0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }(\pi /2).

{\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha <90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

{\ displaystyle 0 ^ {\ circ} <\ alpha <90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

Un unghi drept are lățimea egală cu un sfert din lățimea unui unghi rotund, adică

\alpha =90^{\circ }(\pi /2).

{\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

{\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2).}

Un unghi obtuz are amplitudinea dintre cele ale unui unghi drept și un unghi plat, adică

90^{\circ }(\pi /2)<\alpha <180^{\circ }(\pi ).

{\ displaystyle 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2) <\ alpha <180 ^ {\ circ} (\ pi).}

{\ displaystyle 90 ^ {\ circ} (\ pi / 2) <\ alpha <180 ^ {\ circ} (\ pi).}

Un unghi plat are o lățime egală cu jumătate din cea a unui unghi rotund, adică

\alpha =180^{\circ }(\pi ).

{\ displaystyle \ alpha = 180 ^ {\ circ} (\ pi).}

{\ displaystyle \ alpha = 180 ^ {\ circ} (\ pi).}

Un unghi rotund are o lățime egală cu

\alpha =360^{\circ }(2\pi )

{\ displaystyle \ alpha = 360 ^ {\ circ} (2 \ pi)}

\ alpha = 360 ^ \ circ (2 \ pi)

și corespunde unei rotații complete a unei raze în jurul extremității sale.

Un colț concav are o lățime mai mare decât cea a unui colț plat, $\alpha >180^{\circ }.$ ${\ displaystyle \ alpha> 180 ^ {\ circ}.}$ ${\ displaystyle \ alpha> 180 ^ {\ circ}.}$
Un unghi convex are o lățime mai mică decât cea a unui unghi plat, $\alpha <180^{\circ }.$ ${\ displaystyle \ alpha <180 ^ {\ circ}.}$ ${\ displaystyle \ alpha <180 ^ {\ circ}.}$

Unghiuri complementare

În nomenclatura unghiurilor de amplitudine cuprinse între 0 și $360^{\circ }$ ${\ displaystyle 360 ^ {\ circ}}$ $360 ^ \ circ$ se obișnuiește să se utilizeze adjective particulare pentru unghiurile asociate cu un unghi dat ca „unghiuri complementare” ale acestuia în raport cu unghiurile drepte, plane și rotunde fundamentale.

Se spune că este complementară unui unghi de amplitudine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ fiecare unghi având ca amplitudine la $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ „lipsă” pentru a obține un unghi drept, adică astfel încât să fie $\beta =90^{\circ }-\alpha$ ${\ displaystyle \ beta = 90 ^ {\ circ} - \ alpha}$ $\ beta = 90 ^ \ circ - \ alpha$ . Din această definiție rezultă că două unghiuri complementare trebuie să fie ambele acute și că are sens să atribuiți un complement numai unui unghi acut.

Se spune că este suplimentar unui unghi de amplitudine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ fiecare unghi având ca amplitudine la $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ „lipsă” pentru a obține un unghi plat, adică astfel încât să fie $\beta =180^{\circ }-\alpha$ ${\ displaystyle \ beta = 180 ^ {\ circ} - \ alpha}$ $\ beta = 180 ^ \ circ - \ alpha$ . Din această definiție rezultă că fiecare supliment al unui unghi acut este un unghi obtuz și invers, în timp ce fiecare supliment al unui unghi drept este, de asemenea, un unghi drept. Când două unghiuri suplimentare sunt, de asemenea, consecutive , adică au o singură rază în comun, ele sunt numite și unghiuri adiacente .

Se spune că exemplifică un unghi de amplitudine $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ fiecare unghi având ca amplitudine la $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ „lipsă” pentru a obține un unghi rotund, adică astfel încât să fie $\beta =360^{\circ }-\alpha$ ${\ displaystyle \ beta = 360 ^ {\ circ} - \ alpha}$ $\ beta = 360 ^ \ circ - \ alpha$ . Rezultă că fiecare exemplu de unghi concav este un unghi convex și invers, în timp ce fiecare exemplu de unghi plat este, de asemenea, plat.

Unghiuri opuse vârfului

Două linii care se intersectează împart planul în patru unghiuri; considerat oricare dintre aceste unghiuri: două dintre celelalte sunt adiacente acestuia, în timp ce al treilea, cu care împarte doar vârful, este numit colț opus vârfului . Două unghiuri sunt opuse unul la altul la vârf dacă extensiile laturilor unuia se dovedesc a fi laturile celeilalte.

Teorema unghiurilor opuse

Două unghiuri opuse la vârf sunt întotdeauna congruente.

Demonstrație

Prin definiție, două unghiuri adiacente sunt echivalente cu un unghi plat, deci se mențin următoarele egalități

\alpha +\beta =180^{\circ }\qquad \beta +\gamma =180^{\circ }

{\ displaystyle \ alpha + \ beta = 180 ^ {\ circ} \ qquad \ beta + \ gamma = 180 ^ {\ circ}}

\ alpha + \ beta = 180 ^ \ circ \ qquad \ beta + \ gamma = 180 ^ \ circ

de la care

\alpha +\beta =\beta +\gamma

{\ displaystyle \ alpha + \ beta = \ beta + \ gamma}

\ alpha + \ beta = \ beta + \ gamma

\alpha =\gamma

{\ displaystyle \ alpha = \ gamma}

\ alpha = \ gamma

cvd .

Unghiurile perechilor (α, β) , (β, γ) , (γ, δ) și (α, δ) sunt adiacente.

În schimb, unghiurile perechilor (α, γ) și (β, δ) sunt opuse vârfului.

Unghiuri formate din linii tăiate de o transversală

Când se află în plan două linii distincte $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ sunt tăiate printr-o transversală $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ (incident atât a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ că a $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ), își au originea opt unghiuri, fiecare dintre ele fiind plasat în raport cu cele care nu au același vârf.

Intersecția liniilor de la strasversale.png

Cu referire la cele două semiplane separate de transversal $t,$ ${\ displaystyle t,}$ ${\ displaystyle t,}$ două unghiuri cu vârfuri distincte dispuse pe același semiplan sunt definite ca conjugate . Comparativ cu liniile $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s,$ ${\ displaystyle s,}$ ${\ displaystyle s,}$ în schimb, două unghiuri cu vârfuri distincte care nu intersectează linia pe care se află o parte a celuilalt colț sunt definite externe , în timp ce două unghiuri cu vârfuri distincte care intersectează linia pe care se află o parte a celuilalt colț sunt considerate interne . Două unghiuri conjugate sunt, de asemenea, definite ca corespunzătoare astfel încât o parte a unuia dintre cele două unghiuri să fie conținută într-o parte a celuilalt colț. Cu referire la figură există următorul exemplu.

Perechile corespund:

\alpha ,\alpha ';\quad \beta ,\beta ';\quad \gamma ,\gamma ';\quad \delta ,\delta '.

{\ displaystyle \ alpha, \ alpha '; \ quad \ beta, \ beta'; \ quad \ gamma, \ gamma '; \ quad \ delta, \ delta'.}

{\ displaystyle \ alpha, \ alpha '; \ quad \ beta, \ beta'; \ quad \ gamma, \ gamma '; \ quad \ delta, \ delta'.}

Cuplurile sunt conjugate interne:

\beta ,\alpha ';\quad \gamma ,\delta '.

{\ displaystyle \ beta, \ alpha '; \ quad \ gamma, \ delta'.}

{\ displaystyle \ beta, \ alpha '; \ quad \ gamma, \ delta'.}

Cuplurile sunt conjugate externe:

\alpha ,\beta ';\quad \delta ,\gamma '.

{\ displaystyle \ alpha, \ beta '; \ quad \ delta, \ gamma'.}

{\ displaystyle \ alpha, \ beta '; \ quad \ delta, \ gamma'.}

Perechile sunt alternative interne:

\beta ,\delta ';\quad \gamma ,\alpha '.

{\ displaystyle \ beta, \ delta '; \ quad \ gamma, \ alpha'.}

{\ displaystyle \ beta, \ delta '; \ quad \ gamma, \ alpha'.}

Perechile sunt alternative externe:

\alpha ,\gamma ';\quad \delta ,\beta '.

{\ displaystyle \ alpha, \ gamma '; \ quad \ delta, \ beta'.}

{\ displaystyle \ alpha, \ gamma '; \ quad \ delta, \ beta'.}

În cazul în care cele două linii drepte $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ unghiurile corespunzătoare sunt paralele, iar unghiurile alternative, de același tip, sunt congruente. În schimb, unghiurile conjugate, de asemenea, de același tip, sunt suplimentare .

Suma unghiurilor interne

În geometria euclidiană suma unghiurilor interne ale unui triunghi este întotdeauna de 180 de grade. Mai general, având în vedere orice figură geometrică convexă a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturi, suma tuturor unghiurilor sale interne este egală cu $(n-2)\times 180$ ${\ displaystyle (n-2) \ times 180}$ $(n-2) \ ori 180$ grade. Deci, de exemplu, suma totală a tuturor unghiurilor interioare ale unui patrulater este egală cu $(4-2)\times 180=2\times 180=360$ ${\ displaystyle (4-2) \ times 180 = 2 \ times 180 = 360}$ $(4-2) \ times 180 = 2 \ times 180 = 360$ grade. Un caz special este dat de pătrat, care are patru unghiuri drepte, a căror sumă este de fapt 360 de grade. În mod similar, suma tuturor unghiurilor interne ale unui pentagon, regulat sau nu, este egal cu 540 de grade.

În alte geometrii , numite geometrii neeuclidiene , suma unghiurilor interne ale unui triunghi poate presupune atât mai mare, cât și mai mică de 180 de grade.

Colțuri cu semn

Multe probleme conduc la lărgirea noțiunii de unghi pentru a avea o entitate căreia îi putem atribui o amplitudine dată de un număr real și, prin urmare, mai mare de 360 de grade și negativă. Pentru aceasta este necesar să se abandoneze asocierea unghi - subset a planului. Se spune că un colț $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este mai mare decât un unghi $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ când o porțiune de colț $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este congruent cu unghiul $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . Un colț convex sau concav poate fi descris cinematic ca partea planului „măturată” de o rază mobilă care se rotește păstrându-și capătul fix; acesta este vârful unghiului, iar pozițiile de început și de sfârșit ale razei sunt laturile unghiului. Această descriere conduce la distingerea a două direcții ale mișcării rotative. Si definisce verso negativo o verso orario il verso della rotazione che, osservata dal di sopra del piano, corrisponde al movimento delle lancette di un orologio tradizionale; si definisce verso positivo o verso antiorario il verso opposto (ad esempio $-135^{\circ }\;=-{\frac {3}{4}}\pi =225^{\circ }\;={\frac {5}{4}}\pi$ $-135^{\circ }\;=-{\frac {3}{4}}\pi =225^{\circ }\;={\frac {5}{4}}\pi$ $-135^\circ\;=-\frac{3}{4}\pi=225^\circ\;=\frac{5}{4}\pi$ ).

Per sviluppare considerazioni quantitative si considera una circonferenza $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ il cui centro ha il ruolo del vertice $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ per gli angoli che si prendono in considerazione. Il raggio $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ di questa circonferenza può essere scelto ad arbitrio e talora risulta comodo avere $r=1$ ${\displaystyle r=1}$ $r=1$ ; quando si riferisce il piano a una coppia di assi cartesiani risulta comodo porre il vertice degli angoli nell'origine, in modo che la circonferenza corrisponda all'equazione $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ .

Ogni angolo di vertice $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ determina un arco sulla circonferenza. Si consideri ora un movimento di una semiretta con estremo in $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ in un verso o nell'altro da una posizione iniziale $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ fino a una posizione finale $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ : esso determina sulla $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ un arco orientato che ha come estremo iniziale il punto in cui $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ viene intersecata dalla $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ e come estremo finale il punto in cui viene intersecato dalla $T$ ${\displaystyle T}$ $T$ . Si può pensare l'arco orientato come se fosse "tracciato" dalla penna di un compasso avente l'altro braccio nel punto $V .$ ${\displaystyle V.}$ $V.$ Gli archi orientati con verso positivo si possono chiamare semplicemente archi (di circonferenza) positivi, quelli con verso negativo archi negativi.

Si può estendere la nozione di arco orientato pensando che il compasso possa compiere più di un giro, in verso positivo o negativo.

Si possono identificare gli angoli convessi con gli angoli relativi agli archi positivi interamente contenuti in una semicirconferenza; gli angoli concavi con gli archi positivi che contengono una semicirconferenza e sono contenuti in una circonferenza.

A questo punto si possono definire come angoli con segno di vertice $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ le entità che generalizzano gli angoli convessi e concavi con vertice in $V$ ${\displaystyle V}$ $V$ e sono associate biunivocamente agli archi orientati sulla circonferenza $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ .

Gli angoli con segno possono essere sommati senza le restrizioni degli angoli associati a parti di piano e gli archi relativi risultano essere giustapposti; angolo opposto a un angolo dato corrisponde all'arco considerato con il verso opposto. Di conseguenza agli angoli con segno si attribuisce un'ampiezza rappresentata da un numero reale tale che alla somma di due angoli con segno corrisponda la somma algebrica delle ampiezze.

A questo punto si è indotti naturalmente ad associare all'ampiezza di un angolo con segno la lunghezza con segno del corrispondente arco. Questo richiede di precisare cosa si intenda per lunghezza di un arco e più in particolare richiede di definire la lunghezza di una circonferenza

Le considerazioni sulla rettificazione di una circonferenza portano alla definizione del numero $\pi$ $\pi$ $\pi$ e, sul piano computazionale, alle valutazioni del suo valore.

Angoli solidi

Lo stesso argomento in dettaglio: Angolo solido .

Un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo.

Note

^ Strumenti navali Archiviato il 9 giugno 2006 in Internet Archive .

Voci correlate

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario « angolo »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su angolo

Collegamenti esterni

( EN ) Angolo , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) IUPAC Gold Book, "angle" , su goldbook.iupac.org .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 30974 · LCCN ( EN ) sh85005042 · GND ( DE ) 4189964-7 · BNF ( FR ) cb14519948f (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[Ignazio_porro-1] Strumenti navali Archiviato il 9 giugno 2006 in Internet Archive .

[1]