Metoda de încărcare a imaginii

Metoda de încărcare a imaginii este o metodă utilizată pentru rezolvarea problemelor electrostatice în prezența conductorilor . Denumirea derivă din faptul că conductorii problemei fizice inițiale sunt înlocuiți cu distribuții de sarcini imaginare, care reproduc condițiile limită originale. Prin urmare, această metodă permite trasarea problemelor complexe la analiza câmpurilor electrice generate de distribuții de sarcini geometrice simple, în majoritatea cazurilor chiar punctiforme . Aplicabilitatea acestei metode constă în unicitatea soluției ecuației Poisson care descrie proprietățile unui sistem electrostatic.

Unicitatea soluției ecuației Poisson

Același subiect în detaliu: ecuația Poisson .

Ecuația Poisson a unui sistem generic de sarcini și conductori este:

\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {o}}} \}

\ nabla ^ {2} V = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {o}}} \

Unde este $V\$ ${\ displaystyle V \}$ $V \$ este funcția potențialului electric , $\rho \$ ${\ displaystyle \ rho \}$ $\ rho \$ densitatea sarcinii și $\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon_0$ constanta dielectrică în vid. Luați în considerare o regiune finită a spațiului $\tau \$ ${\ displaystyle \ tau \}$ $\ tau \$ delimitat de suprafață $S\$ ${\ displaystyle S \}$ $S \$ . Dacă în această regiune funcția $\rho \$ ${\ displaystyle \ rho \}$ $\ rho \$ este integrabil și funcțional $V\$ ${\ displaystyle V \}$ $V \$ la suprafață $S\$ ${\ displaystyle S \}$ $S \$ își asumă o valoare foarte specifică $V_{S}\$ ${\ displaystyle V_ {S} \}$ $V_ {S} \$ , atunci soluția ecuației este unică.

Teorema se dovedește a fi absurdă. Să presupunem că există două soluții la ecuație, adică două funcții $V_{1}\$ ${\ displaystyle V_ {1} \}$ $V_ {1} \$ Și $V_{2}\$ ${\ displaystyle V_ {2} \}$ $V_ {2} \$ astfel încât:

\nabla ^{2}V_{1}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\qquad V_{1}=V_{S}\ su\ S\qquad \nabla ^{2}V_{2}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{o}}}\qquad V_{2}=V_{S}\ su\ S

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V_ {1} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {o}}} \ qquad V_ {1} = V_ {S} \ su \ S \ qquad \ nabla ^ {2} V_ {2} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {o}}} \ qquad V_ {2} = V_ {S} \ su \ S}

\ nabla ^ {2} V_ {1} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {o}}} \ qquad V_ {1} = V_ {S} \ su \ S \ qquad \ nabla ^ {2 } V_ {2} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {o}}} \ qquad V_ {2} = V_ {S} \ su \ S

Prin scăderea unui membru din membru, obținem:

\nabla ^{2}(V_{1}-V_{2})=0\

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} (V_ {1} -V_ {2}) = 0 \}

\ nabla ^ {2} (V_ {1} -V_ {2}) = 0 \

Apelare $f=V_{1}-V_{2}\$ ${\ displaystyle f = V_ {1} -V_ {2} \}$ $f = V_ {1} -V_ {2} \$ funcția de diferență, care este zero la suprafață $S\$ ${\ displaystyle S \}$ $S \$ , se ia în considerare cantitatea ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot (f{\overrightarrow {\nabla }}f)$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot (f {\ overrightarrow {\ nabla}} f)}$ $\ overrightarrow {\ nabla} \ cdot (f \ overrightarrow {\ nabla} f)$ iar integralul acesteia se calculează pe volum $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ . Aplicând teorema divergenței , integralul se scrie astfel:

\int _{\tau }{\overrightarrow {\nabla }}\cdot (f{\overrightarrow {\nabla }}f)\,d\tau =\int _{S}(f{\overrightarrow {\nabla }}f)\cdot {\overrightarrow {dS}}

{\ displaystyle \ int _ {\ tau} {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot (f {\ overrightarrow {\ nabla}} f) \, d \ tau = \ int _ {S} (f {\ overrightarrow { \ nabla}} f) \ cdot {\ overrightarrow {dS}}}

\ int _ {{\ tau}} \ overrightarrow {\ nabla} \ cdot (f \ overrightarrow {\ nabla} f) \, d \ tau = \ int _ {{S}} (f \ overrightarrow {\ nabla} f ) \ cdot \ overrightarrow {dS}

.

Integrala din dreapta este zero, deoarece prin ipoteză $f=0$ ${\ displaystyle f = 0}$ $f = 0$ pe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Cu toate acestea, integrala din stânga poate fi dezvoltată, utilizând proprietățile calculului vectorial, după cum urmează:

\int _{\tau }{\overrightarrow {\nabla }}\cdot (f{\overrightarrow {\nabla }}f)\,d\tau =\int _{\tau }f\nabla ^{2}f\,d\tau +\int _{\tau }({\overrightarrow {\nabla }}f)^{2}\,d\tau

{\ displaystyle \ int _ {\ tau} {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot (f {\ overrightarrow {\ nabla}} f) \, d \ tau = \ int _ {\ tau} f \ nabla ^ { 2} f \, d \ tau + \ int _ {\ tau} ({\ overrightarrow {\ nabla}} f) ^ {2} \, d \ tau}

\ int _ {{\ tau}} \ overrightarrow {\ nabla} \ cdot (f \ overrightarrow {\ nabla} f) \, d \ tau = \ int _ {{\ tau}} f \ nabla ^ {2} f \, d \ tau + \ int _ {{\ tau}} (\ overrightarrow {\ nabla} f) ^ {2} \, d \ tau

Sistem real

Sistemul și imaginea acestuia

și de atunci $\nabla ^{2}f\ =0$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f \ = 0}$ $\ nabla ^ {2} f \ = 0$ obțineți relația $\int _{\tau }({\overrightarrow {\nabla }}f)^{2}\,d\tau =0$ ${\ displaystyle \ int _ {\ tau} ({\ overrightarrow {\ nabla}} f) ^ {2} \, d \ tau = 0}$ $\ int _ {{\ tau}} (\ overrightarrow {\ nabla} f) ^ {2} \, d \ tau = 0$ . Deoarece funcția integrand este întotdeauna pozitivă sau nulă, iar integrala sa este nulă, aceasta trebuie să fie neapărat ${\overrightarrow {\nabla }}f=0$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f = 0}$ $\ overrightarrow {\ nabla} f = 0$ ceea ce implică asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constantă. Dar de atunci $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ da ai $f=0$ ${\ displaystyle f = 0}$ $f = 0$ ajungem la concluzia că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este nimic despre tot $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ asa de $V_{1}=V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {1} = V_ {2}}$ $V_ {1} = V_ {2}$ , adică soluția este unică.

Exemplu de sarcină deasupra unui plan conductor infinit

Pentru a aplica metoda de încărcare a imaginii este considerată o suprafață $S\$ ${\ displaystyle S \}$ $S \$ cea a conductorului , care este întotdeauna echipotențială; conductorul este eliminat din problema fizică și sarcinile sunt aranjate în așa fel încât să impună că în regiunea spațiului în care se afla suprafața conductorului, potențialul își asumă o valoare constantă sau, în cel mai simplu caz, zero.

Cel mai simplu caz este cel al unei sarcini punctuale + q , plasată în punctul (0, a , 0) deasupra unui plan infinit care se conduce către sol (adică: V = 0) paralel cu planul xz . Calculul distribuției sarcinii în plan (datorită inducției electrostatice ) sau a forței exercitate asupra sarcinii nu este banal.

Problema este simplificată dacă înlocuim suprafața echipotențială cu o sarcină poziționată în punctul (0, - a , 0) dar cu sarcină - q . Această situație produce aceeași configurație potențială care a generat încărcarea punctuală + q și distribuția (necunoscută) a sarcinilor induse $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în orice punct pentru care y > 0 (adică: deasupra planului conductor). Mai mult, condiția la limită este satisfăcută că potențialul pe plan este zero. Acest sistem echivalent este prezentat în figura din dreapta.

Bibliografie

Purcell, Edward Mills , Curs de fizică Berkeley , 2: Electricitate și magnetism (ediția a doua), McGraw-Hill. O carte introductivă excelentă care introduce ideile electromagnetismului într-un mod logic logic. De asemenea, conține diagrame frumoase .
Griffiths, David J., Introducere în electrodinamică (ediția a treia) , Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-805326-X .
AN Tichonov și AA Samarskii, Ecuations of Mathematical Physics , New York, Dover Publications, 1963, ISBN 0-486-66422-8 .
LD Landau , EM Lifshitz , LP Pitaevskii, Electrodynamics of Continuous Media 2nd Edition , Londra, Elsevier, 1960, ISBN 978-0-7506-2634-7 .
John David Jackson, Electrodinamică clasică , John Wiley & Sons, Inc., 1962.
Feynman, Richard ; Leighton, Robert; Sands, Matthew, Feynman Lectures on Physics , Principally Electromagnetism and Matter , Addison-Wesley, 1989, ISBN 0-201-51003-0 .
James Jeans (1908) The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism , Capitolul 8, Cambridge University Press .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe metoda de încărcare a imaginilor

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism