Paradoxul ascensorului

În matematică , paradoxul ascensorului este un fenomen studiat pentru prima dată în 1958 de către fizicianul George Gamow și matematicianul Marvin Stern , ^[1] care au avut studiile pe două etaje diferite ale aceleiași clădiri.

Gamow, care își avea biroul la etajele inferioare ale clădirii, a observat că atunci când a sunat la lift, acesta venea de obicei de la etajele superioare, în timp ce Stern, al cărui birou se afla la etajele superioare, a observat că invers versiunea ascensorului pe care îl numea aproape întotdeauna venea de jos. Combinând observațiile lor, s-a creat impresia amuzantă că lifturile au fost construite la un etaj intermediar al clădirii și trimise în sus și în jos și apoi demontate: acest lucru i-a determinat pe cei doi să își publice analiza și justificarea matematică a problemei ^[2] . Interesant, în ciuda aparentei simplități a problemei, Donald Knuth în 1969 a dezvăluit ^[3] că analiza lui Gamow și Stern a fost greșită.

Martin Gardner , în 1986 ^[4] , a adus prezența mai multor ascensoare.

Formularea paradoxului

Să presupunem că locuiți la penultimul etaj al unei clădiri cu șapte etaje; apelând liftul de acolo, va veni mai des (aproximativ 5/6 din timp) de jos decât de sus. Acest fenomen este ușor de explicat: liftul este utilizat în mod egal de chiriașii de la diferitele etaje și, prin urmare, petrece mai mult timp pe primele 5 etaje decât pe ultimul.

Într-un hotel mare, întotdeauna cu 7 etaje, dar cu 5 ascensoare în loc de unul, toate cele 5 utilizate într-un mod nediferențiat de oaspeții diferitelor etaje, fenomenul va fi aproape dispărut.

Analize

Model continuu

În cazul specific abia văzut, veți vedea cum liftul ajunge de sus nu mai mult o dată din 6, ci aproape jumătate din timp. De fapt, atunci când apăsați butonul de solicitare a liftului, primul lift care va ajunge va fi cel mai apropiat. Presupunând din nou că lifturile sunt distribuite uniform în diferite etaje, lifturile de deasupra vor fi mai puține, dar vor fi mai susceptibile de a fi aproape de apelant decât cele de mai jos.

Soluția poate fi mai clară dacă este extrasă din problema specifică: să presupunem că alegem aleatoriu unele numere reale între 0 și 1 și ne întrebăm dacă numărul cel mai apropiat de 0,9 este mai probabil să fie mai mare sau mai mic de 0,9. Este evident că, dacă numărul ales la întâmplare este doar unul, este mai probabil să fie mai mic de 0,9. Dacă, pe de altă parte, numerele alese sunt 1000, ne așteptăm ca acestea să fie distribuite aleator, astfel încât numărul cel mai apropiat de 0,9 să fie aproape cu aceeași probabilitate mai mare sau mai mică .

Revenind la problema inițială, probabilitatea exactă ca liftul să vină de sus este dată de următoarea formulă:

$1-\left[\left({\frac {p-2}{p}}\right)^{n}+1/2\cdot \left(1-\left({\frac {p-2}{p}}\right)^{n}\right)\right]={\frac {1-\left({\frac {p-2}{p}}\right)^{n}}{2}}$ ${\ displaystyle 1- \ left [\ left ({\ frac {p-2} {p}} \ right) ^ {n} +1/2 \ cdot \ left (1- \ left ({\ frac {p- 2} {p}} \ right) ^ {n} \ right) \ right] = {\ frac {1- \ left ({\ frac {p-2} {p}} \ right) ^ {n}} { 2}}}$ ${\ displaystyle 1- \ left [\ left ({\ frac {p-2} {p}} \ right) ^ {n} +1/2 \ cdot \ left (1- \ left ({\ frac {p- 2} {p}} \ right) ^ {n} \ right) \ right] = {\ frac {1- \ left ({\ frac {p-2} {p}} \ right) ^ {n}} { 2}}}$ ,

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ indică numărul de etaje și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cea a lifturilor. În cazul a 7 etaje și 5 ascensoare, această probabilitate este de aproximativ 0,41, dar cu 10 ascensoare este deja 0,48.

Dovada formulei :

Să luăm în considerare liftul cel mai apropiat de etajul pe care ne aflăm, adică penultimul etaj. Probabilitatea $P_{u}$ ${\ displaystyle P_ {u}}$ ${\ displaystyle P_ {u}}$ faptul că liftul vine de sus este egal cu probabilitatea ca cel mai apropiat lift să fie între penultimul și ultimul etaj. Probabilitatea $P_{d}$ ${\ displaystyle P_ {d}}$ $P_ {d}$ faptul că liftul vine de jos este egal cu probabilitatea ca cel mai apropiat lift să fie între primul și penultimul etaj. Evident că avem asta

$P_{u}+P_{d}=1$ ${\ displaystyle P_ {u} + P_ {d} = 1}$ ${\ displaystyle P_ {u} + P_ {d} = 1}$

Putem împărți $P_{d}$ ${\ displaystyle P_ {d}}$ $P_ {d}$ în două: va fi suma probabilității $P_{d1}$ ${\ displaystyle P_ {d1}}$ ${\ displaystyle P_ {d1}}$ că cel mai apropiat lift este între primul și al treilea etaj și probabilitate $P_{d2}$ ${\ displaystyle P_ {d2}}$ ${\ displaystyle P_ {d2}}$ adică între al treilea din ultimul și penultimul etaj:

$P_{d}=P_{d1}+P_{d2}$ ${\ displaystyle P_ {d} = P_ {d1} + P_ {d2}}$ ${\ displaystyle P_ {d} = P_ {d1} + P_ {d2}}$

Probabilitatea $P_{d1}$ ${\ displaystyle P_ {d1}}$ ${\ displaystyle P_ {d1}}$ este ușor de calculat. Este probabilitatea ca toate lifturile să fie situate între etajele trei și ultimele. Dacă presupunem că lifturile sunt independente, aceasta este probabilitatea ca primul lift să fie, că al doilea este etc. Prin urmare

$P_{d1}=\left[{\frac {\left(p-2\right)}{p}}\right]^{n}$ ${\ displaystyle P_ {d1} = \ left [{\ frac {\ left (p-2 \ right)} {p}} \ right] ^ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {d1} = \ left [{\ frac {\ left (p-2 \ right)} {p}} \ right] ^ {n}}$

Probabilități $P_{d2}$ ${\ displaystyle P_ {d2}}$ ${\ displaystyle P_ {d2}}$ Și $P_{u}$ ${\ displaystyle P_ {u}}$ ${\ displaystyle P_ {u}}$ sunt egali. Pentru că? Să presupunem că știm că cel mai apropiat lift este între etajul trei și ultimul. Deoarece suntem în planul mijlociu dintre acestea, adică penultimul, probabilitatea ca acesta să fie deasupra sau dedesubtul nostru este identică. Prin urmare

$P_{u}=P_{d2}$ ${\ displaystyle P_ {u} = P_ {d2}}$ ${\ displaystyle P_ {u} = P_ {d2}}$

Din cele patru ecuații scrise mai sus se poate obține $P_{u}$ ${\ displaystyle P_ {u}}$ ${\ displaystyle P_ {u}}$ , care este cantitatea căutată și se obține ca mai sus

$P_{u}={\frac {1-\left({\frac {p-2}{p}}\right)^{n}}{2}}$ ${\ displaystyle P_ {u} = {\ frac {1- \ left ({\ frac {p-2} {p}} \ right) ^ {n}} {2}}}$ ${\ displaystyle P_ {u} = {\ frac {1- \ left ({\ frac {p-2} {p}} \ right) ^ {n}} {2}}}$

Model discret

În analiza efectuată, am presupus că poziția ascensorului la orice înălțime a clădirii, indiferent dacă corespunde sau nu exact unui etaj, este echipabilă. Aceasta este evident o întindere a modelului, deoarece lifturile vor fi adesea oprite la un etaj.

Prin urmare, alți autori au preferat să presupună, dimpotrivă, că, în momentul în care se face apelul ascensorului, toate ascensoarele sunt oprite, fiecare pe un anumit etaj (și că, evident, nu există lift ascuns deja la penultimul etaj, unde se face apelul). În cazul unei singure ascensoare, această abordare diferită nu schimbă substanța problemei, dar în cazul mai multor ascensoare o face. De fapt, observăm că, dacă există un lift la ultimul etaj, acesta va fi cu siguranță cel mai apropiat lift, cel mult „la egalitate” cu un posibil ascensor parcat la etajul trei. În acest moment, ne putem imagina diferite modele ^[5] (indicăm cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ numărul de etaje și cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numărul de ascensoare):

se consideră că liftul de la ultimul etaj este de fapt cel mai apropiat și, prin urmare, primul care ajunge, chiar dacă pe picior de egalitate. Atunci probabilitatea ca cel mai apropiat lift să vină de sus este pur și simplu probabilitatea ca la ultimul etaj să existe un lift, adică:

$1-\left({\frac {p-2}{p-1}}\right)^{n}$ ${\ displaystyle 1- \ left ({\ frac {p-2} {p-1}} \ right) ^ {n}}$ ${\ displaystyle 1- \ left ({\ frac {p-2} {p-1}} \ right) ^ {n}}$

sunt luate în considerare numai cazurile în care ascensorul care vine de sus este strict mai aproape, adică nu există ascensor la etajul trei:

$\left({\frac {p-2}{p-1}}\right)^{n}\cdot \left(1-\left({\frac {p-3}{p-2}}\right)^{n}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p-2} {p-1}} \ right) ^ {n} \ cdot \ left (1- \ left ({\ frac {p-3} {p-2} } \ right) ^ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p-2} {p-1}} \ right) ^ {n} \ cdot \ left (1- \ left ({\ frac {p-3} {p-2} } \ right) ^ {n} \ right)}$

În primul caz, cu 7 etaje și 5 ascensoare, probabilitatea ca ascensorul să vină de sus este de aproximativ 0,60, în al doilea caz de aproximativ 0,27. Dacă există 10 ascensoare, probabilitățile sunt 0,84 și respectiv 0,14.

Ambele modele par să se distanțeze considerabil de rezultatul scontat (și probabil de realitate), având în vedere că în primul, pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ că probabilitatea ca ascensorul să vină de sus tinde spre infinit tinde la 1, în timp ce în al doilea tinde la 0 (deoarece scade probabilitatea ca niciun ascensor să nu fie la etajul trei până la ultimul etaj). Un model destul de eficient ar putea fi obținut prin medierea dintre cele două modele tocmai date și stabilind că, dacă există un lift la ultimul etaj și unul la etajul trei, probabilitatea ca acesta să ajungă de sus este ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ frac {1} {2}$ , sau raportul dintre numărul de lifturi situate la ultimul și numărul celor situate la penultim. Aceste modele oferă rezultate similare modelului continuu, dar sunt semnificativ mai complicate.

Probabilitatea modelelor

După cum sa subliniat deja, fiecare dintre modelele studiate are unele forțări necesare pentru a simplifica problema și care se referă la ipoteza că lifturile se mișcă sau nu atunci când chiriașul de la penultimul etaj își face apelul.

În realitate, factorul care modifică cel mai mult rezultatele, care nu este luat în considerare în aceste modele, este că lifturile sunt utilizate într-un mod departe de a fi omogen pentru a circula între etaje. Chiar și presupunând că utilizatorii de la fiecare etaj folosesc lifturile în mod egal, în cele mai multe situații deplasările de la parter sau la parter vor fi mult mai frecvente decât celelalte. Acest lucru mărește percepția paradoxului, ceea ce înseamnă că, dacă există un singur lift, probabilitatea ca acesta să vină de jos este chiar mai mare; în schimb, amortizează percepția „egalizării” care are loc cu mai multe lifturi.

Notă

^ (EN) Paul J. Nahin, Digital spune: Computational Solutions to Practical Probability Problems , Princeton University Press, 2013, p. 45.
^ (EN) George Gamow, Marvin Stern, Puzzle Math , New York, Viking, 1958.
^ Donald Ervin Knuth. „Problema elevatorului Gamow-Stern”, „ Journal of Recreational Mathematics ”, 1969, 2, 131-137
^ (EN) Martin Gardner , Ascensoare , pentru gogoși înnodate și alte distracții matematice, New York, WH Freeman, 1986, pp. 123 -132, ISBN 0-7167-1799-9 .
^ Modele pe care le-am putea asocia cu moduri ipotetice de programare a sistemului de lift al acelui hotel.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Elevator Paradox

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Elevator Paradox , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Paul J. Nahin, Digital spune: Computational Solutions to Practical Probability Problems , Princeton University Press, 2013, p. 45.

[2] (EN) George Gamow, Marvin Stern, Puzzle Math , New York, Viking, 1958.

[3] Donald Ervin Knuth. „Problema elevatorului Gamow-Stern”, „ Journal of Recreational Mathematics ”, 1969, 2, 131-137

[4] (EN) Martin Gardner , Ascensoare , pentru gogoși înnodate și alte distracții matematice, New York, WH Freeman, 1986, pp. 123 -132, ISBN 0-7167-1799-9 .

[5] Modele pe care le-am putea asocia cu moduri ipotetice de programare a sistemului de lift al acelui hotel.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]