Puterea unui punct

Figura 1. Desenul arată poziția punctelor utilizate pentru a calcula puterea punctului P în raport cu cercul centrat în O. Distanța s este marcată cu portocaliu, raza r este marcată cu albastru și segmentul tangent PT este marcat cu roșu.

În geometria plană , puterea unui punct sau chiar puterea unui punct față de un cerc este un număr real H care indică distanța relativă a punctului de la un cerc dat. Puterea unui punct variază de fapt cu variația atât a centrului, cât și a razei circumferinței alese. Pentru a fi exact, definim puterea punctului P în raport cu cercul C de rază r și centrul O în felul următor:

H_{C}(P)=s^{2}-r^{2},

{\ displaystyle H_ {C} (P) = s ^ {2} -r ^ {2},}

{\ displaystyle H_ {C} (P) = s ^ {2} -r ^ {2},}

unde s indică distanța dintre P și centrul O al cercului:

s=d(P,O).

{\ displaystyle s = d (P, O).}

{\ displaystyle s = d (P, O).}

Cu această definiție observăm imediat că un punct care se află în interiorul circumferinței are o putere negativă, cele externe au putere pozitivă și cele care sunt pe circumferință au putere zero. Pentru punctele care se află în exterior, acesta susține, de asemenea, că puterea este egală cu pătratul distanței de la punctul P la punctul T. Punctul T este identificat ca fiind unul dintre cele două puncte prin care o linie trece tangentă la circumferință și trece prin punctul P , aceste două puncte sunt echidistante de P, deci nu este important care dintre ele este ales. Cu o altă considerație, se poate observa că, având în vedere orice linie dreaptă care trece prin P externă și care intersectează circumferința în două puncte M și N , atunci avem:

\mathbf {\overline {PT}} ^{2}=\mathbf {\overline {PM}} \times \mathbf {\overline {PN}} =\mathbf {\overline {PA}} \times \mathbf {\overline {PB}} =(s-r)\times (s+r)=s^{2}-r^{2}=H_{C}(P).

{\ displaystyle \ mathbf {\ overline {PT}} ^ {2} = \ mathbf {\ overline {PM}} \ times \ mathbf {\ overline {PN}} = \ mathbf {\ overline {PA}} \ times \ mathbf {\ overline {PB}} = (sr) \ times (s + r) = s ^ {2} -r ^ {2} = H_ {C} (P).}

{\ displaystyle \ mathbf {\ overline {PT}} ^ {2} = \ mathbf {\ overline {PM}} \ times \ mathbf {\ overline {PN}} = \ mathbf {\ overline {PA}} \ times \ mathbf {\ overline {PB}} = (sr) \ times (s + r) = s ^ {2} -r ^ {2} = H_ {C} (P).}

Această egalitate este cunoscută și sub denumirea de „ teorema secant-tangentă ” sau „puterea teoremei punctului” . Rețineți că, dacă P este intern circumferinței, cele două puncte de intersecție trebuie să fie pe două laturi opuse ale liniei în raport cu punctul P. Dacă orientăm linia luând P ca origine și dând o direcție, atunci produsul lungimii acestor două segmente va fi un număr negativ, așa cum ne așteptăm să fie puterea H (P) .

Cercuri ortogonale

Figura 2: Cercul punctat centrat în P intersectează cercul de inversare (nu punctat) astfel încât tangențele respective la punctul de intersecție T să fie perpendiculare, motiv pentru care se spune că cele două cercuri sunt ortogonale. Raza pătrată a cercului întrerupt corespunde deci puterii lui P față de cercul stâng.

Pentru un punct P în afara cercului puterea H (P) = R ² , adică pătratul razei R a unui al doilea cerc centrat în P , care intersectează cercul inițial astfel încât unghiurile de intersecție să fie perpendiculare, adică un cerc ortogonal la primul (vezi Figura 2). Dacă două cercuri se intersectează la T astfel încât tangențele din punct să fie ortogonale, atunci raza R trasă de la T la P și raza r trasată de la T la O sunt perpendiculare una pe cealaltă (sunt segmentele albastre din Figura 2). Prin urmare, prin definiție, aceste două raze se află pe liniile tangente la circumferințele din T. Se știe că unghiul are amplitudine $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ putem folosi teorema lui Pitagora pe triunghiul OTP .

R^{2}=s^{2}-r^{2}=H(P),

{\ displaystyle R ^ {2} = s ^ {2} -r ^ {2} = H (P),}

{\ displaystyle R ^ {2} = s ^ {2} -r ^ {2} = H (P),}

unde s este și aici distanța lui P de O.

În mai multe dimensiuni

Această definiție se poate extinde în mod natural la un spațiu vectorial în mai mult de două dimensiuni. De fapt, noțiunea de sferă a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dimensiunea și distanța rămân practic neschimbate. Atunci puterea unui punct în raport cu o sferă este definită exact ca înainte. Pentru a fi precis, definim puterea punctului P în raport cu sfera B de rază r și centrul O după cum urmează:

H_{B}(P)=s^{2}-r^{2},

{\ displaystyle H_ {B} (P) = s ^ {2} -r ^ {2},}

{\ displaystyle H_ {B} (P) = s ^ {2} -r ^ {2},}

unde s indică distanța dintre P și centrul O al cercului:

s=d(P,O).

{\ displaystyle s = d (P, O).}

{\ displaystyle s = d (P, O).}

Având în vedere orice linie dreaptă care trece prin P externă la B, dar care intersectează sfera B în cele două puncte M și N , atunci, similar cu cazul în două dimensiuni, observăm că pentru produsul intern avem

\langle \mathbf {\vec {PM}} ,\mathbf {\vec {PN}} \rangle =s^{2}-r^{2}=H_{B}(P).

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {\ vec {PM}}, \ mathbf {\ vec {PN}} \ rangle = s ^ {2} -r ^ {2} = H_ {B} (P).}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {\ vec {PM}}, \ mathbf {\ vec {PN}} \ rangle = s ^ {2} -r ^ {2} = H_ {B} (P).}

De asemenea, în acest caz se dovedește folosind teorema lui Pitagora ca și până acum. Definiția multidimensională moștenește, de asemenea, proprietățile cazului ortogonal în același mod de această dată, având în vedere sferele ortogonale. Se poate arăta, de asemenea, că două sfere $B(C,R)$ ${\ displaystyle B (C, R)}$ ${\ displaystyle B (C, R)}$ Și $B'(C',R')$ ${\ displaystyle B '(C', R ')}$ ${\ displaystyle B '(C', R ')}$ ele sunt ortogonale numai atunci când puterea centrului primului în raport cu al doilea este egală cu pătratul razei primului. În mod formal, scriem că este:

B\perp B'

{\ displaystyle B \ perp B '}

{\ displaystyle B \ perp B '}

dacă și numai dacă

H_{B}(C')=R'^{2}

{\ displaystyle H_ {B} (C ') = R' ^ {2}}

{\ displaystyle H_ {B} (C ') = R' ^ {2}}

.

Bibliografie

HSM Coxeter, Introduction to Geometry , 2nd, New York, Wiley, 1969.
( FR ) Gaston Darboux , Sur les relations between the groupes de points, de cercles et de sphéres in the plan and the space , în Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , vol. 1, 1872, p. 323–392.
( FR ) Edmond , Oeuvres de Laguerre: Géométrie , Gauthier-Villars et fils, 1905, p. 20.
Jakob Steiner , Einige geometrische Betrachtungen , vol. 1, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1826, p. 161–184.
( EN ) Marcel Berger , Geometry I , Springer , 1987, p. 300–303, ISBN 978-3-540-11658-5 .

Elemente conexe

Inversia circulară

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Puterea unui punct