Densitatea spectrală a puterii

În teoria semnalului, dat un semnal de putere generic $x(t)\in \mathbb {C} ^{1}$ ${\ displaystyle x (t) \ in \ mathbb {C} ^ {1}}$ ${\ displaystyle x (t) \ in \ mathbb {C} ^ {1}}$ cu transformata Fourier $X(f)$ ${\ displaystyle X (f)}$ ${\ displaystyle X (f)}$ și valoarea puterii ${\mathcal {P}}_{x}\$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} \}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} \}$ , următoarea funcție de frecvență este definită ca densitate spectrală de putere (sau, de asemenea, spectru bilateral de densitate de putere) $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

${\mathcal {P}}_{x}(f):=\lim _{T\to +\infty }\left({\frac {|X_{T}(f)|^{2}}{T}}\right),\quad \forall f\quad$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f): = \ lim _ {T \ to + \ infty} \ left ({\ frac {| X_ {T} (f) | ^ {2} } {T}} \ right), \ quad \ forall f \ quad}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f): = \ lim _ {T \ to + \ infty} \ left ({\ frac {| X_ {T} (f) | ^ {2} } {T}} \ right), \ quad \ forall f \ quad}$

unde este $X_{T}(f):={\mathcal {F}}\{x_{T}(t)\}$ ${\ displaystyle X_ {T} (f): = {\ mathcal {F}} \ {x_ {T} (t) \}}$ ${\ displaystyle X_ {T} (f): = {\ mathcal {F}} \ {x_ {T} (t) \}}$ este Transformata Fourier a semnalului:

$x_{T}(t):=x(t)rect\left({\frac {t}{T}}\right)\equiv {\begin{cases}x(t),&{\mbox{se }}0\leq |t|\leq T/2\\0,&{\mbox{se }}|t|>T/2\end{cases}}$ ${\ displaystyle x_ {T} (t): = x (t) rect \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) \ equiv {\ begin {cases} x (t) și {\ mbox {se}} 0 \ leq | t | \ leq T / 2 \\ 0, & {\ mbox {se}} | t |> T / 2 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle x_ {T} (t): = x (t) rect \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) \ equiv {\ begin {cases} x (t) și {\ mbox {se}} 0 \ leq | t | \ leq T / 2 \\ 0, & {\ mbox {se}} | t |> T / 2 \ end {cases}}}$

Rețineți că acest lucru se aplică numai dacă $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este un semnal de putere; dacă semnalul ar fi energie , ar avea sens să cercetăm în schimb densitatea de energie spectrală .

Puteți calcula puterea semnalului ${\mathcal {P}}_{x}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x}}$ evaluând aria subtendută de funcție ${\mathcal {P}}_{x}(f)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f)}$ pentru toate frecvențele spectrului electromagnetic sau calculând:

${\mathcal {P}}_{x}\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }{\mathcal {P}}_{x}(f)df\quad$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathcal {P}} _ {x} (f) df \ quad}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ mathcal {P}} _ {x} (f) df \ quad}$

Proprietate

Este o funcție reală, non-negativă a frecvenței $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , adică ${\mathcal {P}}_{x}(f)\in \mathbb {R} ^{1}\geq 0,\quad \forall f$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f) \ in \ mathbb {R} ^ {1} \ geq 0, \ quad \ forall f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f) \ in \ mathbb {R} ^ {1} \ geq 0, \ quad \ forall f}$ ;
Cand $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ este atunci la valori reale ${\mathcal {P}}_{x}(f)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f)}$ este o funcție uniformă, adică ${\mathcal {P}}_{x}(-f)={\mathcal {P}}_{x}(f),\quad \forall f\geq 0,\quad (x(t)\in \mathbb {R} ^{1})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (- f) = {\ mathcal {P}} _ {x} (f), \ quad \ forall f \ geq 0, \ quad (x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {1})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (- f) = {\ mathcal {P}} _ {x} (f), \ quad \ forall f \ geq 0, \ quad (x (t) \ in \ mathbb {R} ^ {1})}$ ;
${\mathcal {P}}_{x}(f)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f)}$ poate fi obținută prin Teorema Wiener-Khintchine odată cunoscută funcția de autocorelație $p_{xx}(t)$ ${\ displaystyle p_ {xx} (t)}$ ${\ displaystyle p_ {xx} (t)}$ , în special ${\mathcal {P}}_{x}(f):={\mathcal {F}}\{p_{xx}(t)\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f): = {\ mathcal {F}} \ {p_ {xx} (t) \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {x} (f): = {\ mathcal {F}} \ {p_ {xx} (t) \}}$ .

Elemente conexe

Densitatea spectrală a energiei

Portal de inginerie

Portalul de matematică